Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 6
Текст из файла (страница 6)
рис. 1.6б). Концентрация этих фотонов описывается формулой(1.37). За время dt площадки достигнут фотоны, находящиеся вобъемеГл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны31dV = d Σ ⋅ cdt cos θ .(1.38)Число фотонов с заданным направлением (θ, ϕ) импульса, ударяющихся о площадку за время dt:dN θ,ϕ = δnθ,ϕdV . (1.39)Каждый из попадающих подуглом θ на площадку фотонов упруго отражается и передает площадке импульс, равный по модулюизменению импульса фотона2hν cos θ / c .(1.40)Рис. 1.7.
Зависимость от частотыспектральной плотности излучения uω = ϖω абсолютно черноготела.Получаемый площадкой за время dt импульс dрθ,ϕ от фотонов,имеющих направление движения (θ, ϕ) , равенhνcos θ ⋅ dN θ,ϕ .(1.41)cОказываемое ими давление на площадкуdpθ,ϕ.(1.42)dPθ,ϕ =dt ⋅ d ΣС учетом формул (1.37)–(1.41) выражение (1.42) принимает видnhνdPθ,ϕ =cos2 θ sin θd θd ϕ .(1.43)2πУчитывая возможные направления движения фотонов0 ≤ θ ≤ π / 2 и 0 ≤ ϕ ≤ 2π , окончательно находимdpθ,ϕ = 2P = ∫ dPθ,ϕ =2πnhν dϕ2π ∫0π/2∫01cos 2 θ sin θd θd ϕ = nhν .3(1.44)Поскольку nhν = ϖ – плотность энергии фотонного газа, тополучаем1P= ϖ.3Замечания1.
Плотность энергии равновесного излучения ϖ зависит оттемпературы:ϖ = σ cT 4 .(1.45)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ32Соотношение (1.45) выражает закон Стефана–Больцмана:плотность энергии, испускаемой абсолютно черным телом, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры Т. Постоянная σc закона Стефана–Больцмана равна:σc = 7,64 ⋅ 10−16 Дж/(K 4 ⋅ м3 ) .(1.46)Первоначально закон был сформулирован на основании опытных данных, а впоследствии значение постоянной σc было теоретически рассчитано на основе закона излучения Планка.2. В задаче для простоты расчетов по умолчанию предполагалось, что все фотоны имеют одну и ту же частоту.
В действительности фотонный газ представляет собой совокупность фотоновразличных частот, но это не изменяет полученных выше уравненийсостояния. Следует лишь под плотностью энергии ϖ пониматьполную плотность энергии по всем частотам:∞ϖ = ∫ ϖωd ω ,0где ϖω — спектральная плотность энергии излучения абсолютночерного тела, которая описывается формулой Планка (рис.
1.7)=ω21.π c exp [ =ω / ( k BT )] − 1Частота ωm , соответствующая максимуму спектральной плотностиэнергии,увеличиваетсясростомтемпературы:ϖω =2 3ωm ≈ 6,5 ⋅ 1011 ⋅ T [ радиан/с ] (закон смещения Вина).Ответ. P = ϖ / 3 .Задача 1.10. Лазер, мощность которого равна W = 700 МВт, аплощадь поперечного сечения светового пучка Σ = 1 см2 , освещаетповерхность, расположенную перпендикулярно направлению распространения света.
Рассчитать давление света на поверхность приполном поглощении.Решение. По формуле (1.34) при R = 0 имеемP=I W / Σ 700 ⋅ 106 / 10−4=== 2,3 ⋅ 104 Па ≈ 0,2 атм .8cc3 ⋅ 10(1.47)Гл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. ФотоныОтвет. P =33W= 2,3 ⋅ 104 Па .c ⋅ΣЗамечания1. Сравним давление лазерного излучения с избыточным давлением в акустической волне.
На пороге слышимости звука амплитуда давления в акустической волне на частоте 1 000 Гц равнаP0 = 2 ⋅ 10−5 Па ,адавлению(1.47)соответствуетгромкость20 lg ( P P0 ) = 140 дБ (шум выстрела пистолета).2. При фокусировке света и уменьшении поперечного сеченияпучка света до Σ1 ≈ λ 2 давление возрастает в Σ / Σ1 раз.
Например,при λ = 7 ⋅ 10−7 м и Σ1 ≈ λ 2 = 5 ⋅ 10−13 м 2 давление достигает значения P ≈ 3 ⋅ 1010 Па (в 3 ⋅ 105 раз больше атмосферного давления).§1.6. Фотоны и электроны. Эффект Комптона.Рассеяние ТомсонаЗадача 1.11. (Свободный электрон, классический случай.)Плоская световая волна рассеивается на свободном электроне. Показать, что в классическом (нерелятивистском) случае частота рассеянной волны равна частоте падающей.Решение1. Пусть электрон в момент времени t = 0 находится в началесистемы координат. Запишем уравнение движения электрона вэлектрическом поле падающей волны с напряженностьюE = E0 sin ( ωt − kz ) :mr = e E0 sin ωt .(1.48)Интегрируя уравнение (2.48) по времени, получаем закон движения электронаe E0 sin ( ωt )(1.49)r (t ) =+ v 0t .m ω2При решении уравнения движения электрона предполагалось,что амплитуда колебаний электрона e E0 ( m ω2 ) много меньшедлины падающей световой волны.ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ342.
Колебательное движение электрона (1.49) сопровождаетсяизлучением. Напряженность переизлученной волны (в рамках теории классического дипольного излучения) задается формулойμ er ( t ) × r1 ⎤⎦ × r1 ⎤⎦ ,(1.50)δE ( r1 , t ) = 0 3 ⎡⎣ ⎡⎣4πr1где r1 – радиус-вектор, проведенный из точки r ( t ) , где находитсяэлектрон, в точку наблюдения, а r ( t ) определяется законом движения электрона (1.49). Данная схема решения (с разделением наэтапы 1 и 2) справедлива при δE << E0 .Из формул (1.49) и (1.50) следует, что падающая электромагнитная волна переизлучается во всех направлениях (кроме случаяr r1 , когда δE = 0 ).
Частота вторичного излучения совпадает счастотой падающей волны, а полная мощность рассеянного излучения I рас равнаI рас =e46πε02 m 2c 4I ,(1.51)где I = cε0 E0 2 / 2 — интенсивность падающего света. Коэффициентe42 2 4= 6,65 ⋅ 10−29 м2 в формуле (1.51) называется сече-6πε0 m cнием рассеяния, а само рассеяние называется томсоновским рассеянием.Задача 1.12.
(Невозможность процессов рождения фотоновна свободных электронах.) Показать, что свободный электрон неможет излучать отдельный квант света.Решение. Формально не существует «закона сохранения числафотонов», но процесс с рождением одного фотона при изменениисостояния свободного электрона противоречит законам сохраненияэнергии и импульса. Для доказательства этого утверждения перейдем в систему отсчета, в которой свободный электрон покоится висходном состоянии. Пусть затем электрон испускает фотон сэнергией Eф и импульсом pф .Взаимодействие частиц (в том числе фотонов и электронов)описывается как упругое взаимодействие, для которого можно записать следующую систему уравнений.Гл.
1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны35Закон сохранения импульса0 = pe + pф .(1.52)Закон сохранения энергииmc 2 = Ee + Eф .(1.53)Закон дисперсии электронаEe = m 2 c 4 + pe 2c 2 . (1.54)Закон дисперсии фотонаEф = pфc .(1.55)Решая систему уравнений (1.52)–(1.55), получаем из (1.53)Eф = mc 2 − Ee ,учитывая (1.54), имеемEф = mc 2 − pe2с 2 + m 2 c 4 ,используя (1.52) и (1.55), получимEф = mc 2 − Eф2 + m 2 c 4 .Решая последнее уравнение относительно энергии фотона, находим 2 Eфmc 2 = 0 и Eф = 0 , что и требовалось доказать.Задача 1.13 (Эффект Комптона.) Эффект Комптона — упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны.
Фотон сдлиной волны λ рассеивается на неподвижном электроне и отклоняется от первоначального направления движения на угол θ(рис. 1.8). На сколько изменится длина волны падающего излучения после взаимодействия?Решение. Схема рассеяния фотона на электроне изображена нарис. 1.8.
Параметры электрона до взаимодействия отмечены индексом 0, после взаимодействия — индексом 1.Считая взаимодействие фотона и электрона абсолютно упругое, для системы (электрон + фотон) записываем законы сохранения энергии и импульса:закон сохранения энергииEф + Ee0 = Eф1 + Ee1 ,(1.56)ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ36закон сохранения импульсаpф = pф1 + pe1 .(1.57)Рис. 1.8.
Схема рассеяния фотона нанеподвижном электроне. Фотоны впроцессах взаимодействия графическиизображаются волнистыми линиями,электроны — сплошными линиями (какна фейнмановских диаграммах).С учетом закона дисперсии электрона, для энергии электронадо и после взаимодействия имеем:Ee0 = mc 2 = 511 кэВ ≈ 0,5 МэВ ,Ee1 =pe21c 2 + m 2 c 4 ;(1.58)(1.59)а из закона дисперсии для фотона следуетEф = cpф ,(1.60)Eф1 = cpф1 .(1.61)В законе сохранения импульса (векторное уравнение (1.57)перенесем импульс рассеянного кванта в левую часть и возведем вквадрат обе части равенства:( pф − pф1 )2 = p2e .В результате получаем2pф2 − pфpф1 + pф1= p e2 ,или, в скалярном виде,2pф2 − 2 pф pф1 cos θ + pф1= pe21 .(1.62)Возводя в квадрат обе части равенства Eф + Ee0 − Eф1 = Ee1 (закон сохранения (1.56)) и используя законы дисперсии (1.58)–(1.61),находим:Гл.
1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны37pe21 = ( pф − pф1 ) 2 + 2mc( pф − pф1 ) .Подставляя полученное выражение для импульса электрона в(1.62), имеем2pф2 − 2 pф pф1 cos θ + pф1= ( pф − pф1 )2 + 2mc( pф − pф1 ) .Считаязаданным первоначальный импульс фотонаpф = = (2π λ ) , решаем полученное уравнение относительно pф1 инаходим⎛ 11 ⎞−1 − cos θ = mc ⎜⎟.⎜ pф1 pф ⎟⎝⎠Из (1.63) для разности длин волн имеемλ1 − λ =где λ K =2π=(1 − cos θ) = λ K (1 − cos θ) ,mc2 π== 2,43 ⋅ 10−12 мmc(1.63)(1.64)– комптоновская длина волныэлектрона.Так как cos θ ≤ 1 , то комптоновское рассеяние фотона на неподвижном электроне идет с увеличением длины волны фотона.2π=(1 − cos θ) .Ответ. λ1 = λ +mcЗамечание.
Комптоновская длина волны электрона λ K стольмала, что изменение длины волны в эффекте Комптона заметнотолько для гамма-диапазона ( =ω > 100кэВ ) электромагнитногоспектра.Задача 1.14 (Определение угла рассеяния электрона.) Фотонс энергией Eф = 400кэВ рассеялся под углом θ = π 4 на неподвижном свободном электроне. Определить угол ϕ между направлением скорости, которую получил электрон в результате взаимодействия, и направлением первоначальной скорости фотона (см.рис.
1.8).Решение. Запишем закон сохранения импульса (1.61) в проекциях на координатные оси (см. рис. 1.8):ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ38pф = pф1 cos θ + pe1 cos ϕ ,(1.65)0 = pф1 sin θ − pe1 sin ϕ .(1.66)Из системы уравнений (1.65) и (1.66) находимsin θtg ϕ =.pф / pф1 − cos θ(1.67)Используя результат (1.63) предыдущей задачи, а именно —pф / pф1 = 1 + pф (1 − cos θ ) / ( mc ) , окончательно получаемtg ϕ =sin θsin θ=.(1 − cos θ ) 1 + pф / (mc) (1 − cos θ ) 1 + Eф / (mc2 )(Посколькуимеемtg ϕ =Eфmc 2()=4 ⋅ 105 эВ5 ⋅ 105 эВ)= 0,8 , то для численной оценкиsin θ(1 − cos θ)(1 + Eф / ( mc 2 ))=1/ 2= 1,36(1 − 1 / 2)(1 + 0,8)и ϕ = 0,94 рад = 54D .Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
