Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Длина волны де Бройля частицы определяется ееимпульсом λ = 2 π k = 2π= p (2.1), а импульс частицы связан с ееэнергий законом дисперсии: для фотона E = cp , а для свободныхp2⎛ 2π= ⎞(2.3). Поэтому для фотона получаем λ f = c ⎜⎟2m⎝ E ⎠2π=и для свободных частиц λ =. Длина волны фотона с кинети2mEческой энергиейE = 156эВ = 156 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Дж =2,5 ⋅ 10−17Дж :частиц E =λf =2πc= 2π ⋅ 3 ⋅ 108 ⋅ 10−34=≈ 7,7 ⋅ 10−9 м =7,7 нм .−17E2,5 ⋅ 10Учитывая значения масс электрона me = 0,9 ⋅ 10−30 кг , протона m p = 1,67 ⋅ 10−27 кг , атома урана mv =238,0 ⋅ 10−36 ⋅ 1023≈ 4 ⋅ 10−25кг ,находим соответствующие им длины волнλe =λp =2 π=2π ⋅ 10−34=≈ 1,0 ⋅ 10−10 м=0,10нм ,−31−172me E2 ⋅ 0,9 ⋅ 10 ⋅ 2,5 ⋅ 102 π=2 π ⋅ 1,05 ⋅ 10−34=≈ 2,2 ⋅ 10−12 м=2,2 ⋅ 10−3 нм ,−27−172m p E2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 ⋅ 2,5 ⋅ 10ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ46λU =2 π==2mU EОтвет.λp =2π ⋅ 10−342 ⋅ 4 ⋅ 10λf =−25⋅ 2,5 ⋅ 10−172 πc=≈ 7,7нм ,E≈ 1,4 ⋅ 10−13 м=1,4 ⋅ 10−4 нм .λe =2 π=≈ 0,10нм ,2me E2 π=2 π=≈ 1,4 ⋅ 10−4 нм .≈ 2,2 ⋅ 10−3 нм , λU =2mU E2m p EВопрос для самопроверки.
Изменится ли длина волны частицы, если она попадет в потенциальное поле?Ответ. Длина волны частицы изменится, так как по законусохранения механической энергии часть кинетической энергиичастицы переходит в потенциальную, что приводит к изменениюимпульса частицы и соответственно длины волны.Задача 2.3. Напряжение, разгоняющее электрон в кинескопе,равно U = 20 000 В, а диаметр электронного пучка d = 0,1 мм.1) Почему электрон, проявляя волновые свойства в кристаллической структуре металла, не проявляет волновых свойств в кинескопе телевизора?2) Объясните, почему электронный микроскоп обладает большей разрешающей способностью, чем обычный. Разрешающаяспособность обычного микроскопа ограничена длиной волны используемого для освещения света.Решение.
Пусть импульс электрона до попадания в электростатическое поле в момент времени t1 начала движения равен нулю. Тогда его механическая энергия в момент времени t1 такжеравна нулю. Сразу перед попаданием на экран (момент времени t2)pe2и потенциальную энергиюэлектрон имеет кинетическую2m(−eU ) , где e – модуль заряда электрона. По закону сохранения механической энергии для моментов времени t1 и t2 имеемp2p20 = e − eU , или e = eU .2m2mГл.2.
Волновые свойства частиц. Волны де БройляВыражая из (2.1) импульс pe =474π2 = 22 π=, получаем: 2= eU .λeλ e 2mОтсюда следует2 π=2π ⋅ 10−34=≈ 0,8 ⋅ 10−11 м = 0,08 Å.−30−1942meU2 ⋅ 0,9 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10Для электрона в меди с энергией Ферми (см. ниже гл. 6, 9)(ЕF = 7 эВ = 1,1⋅10–18 Дж) длина волны порядка межатомного расстояния а:λe =λe =2 π=2π ⋅ 10−34=≈ 4 ⋅ 10−10 м = 4Å ~ a ,−30−182mEF2 ⋅ 0,9 ⋅ 10 ⋅ 1,1 ⋅ 10и волновые свойства электронов в меди (дифракция, интерференция и др.) проявляются в кристаллической структуре, обладающейпериодичностью а порядка нескольких ангстрем.Длина волны электрона, движущегося в трубке кинескопа, значительноменьшехарактерныхразмеровпучка:λ e = 0,08 Å << d = 0,1 мм .
Поэтому его волновые свойства придвижении в кинескопе не проявляются.Так как средняя длина волны видимого света λ ср значительнобольше длины волны электрона λ e , движущегося в кинескопе:λ ср ≈ 5 000 Å >> λ e = 0,08 Å,то в электронный микроскоп можно рассмотреть объекты, размеркоторых в λ ср / λ e ~105 раз меньше, чем разрешение обычного оптического микроскопа.Ответ.
1) Электрон не проявляет волновых свойств в кинескопе телевизора, потому что λ e << d . 2) Электронный микроскопобладает большей разрешающей способностью, так как длина волны электрона в λ ср / λ e ~105 раз меньше средней длины волны видимого света.Задача 2.4. Частица движется в положительном направленииоси ОХ в одномерном потенциальном поле (см. рис.
2.1) Высотапотенциального барьера U, кинетическая энергия частицы в облас-ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ48ти I EKI > U . Во сколько раз изменяется длина волны частицы припереходе из области I в область II?Рис. 2.1. Область I – частица в потенциальной яме, область II – частица надбарьером.Решение. Обозначим через λ0 и λ длину волны частицы в областях I и II соответственно.При переходе частицы в область II часть ее кинетической энер-гии EKI переходит в потенциальную U. Из закона сохранения механической энергии EKI = EKII + U находим кинетическую энергиючастицы EKII в области II:EKII = EKI − U .Используя квадратичный закон дисперсии EK =p 2 (2π=) 2,=2m 2mλ 2получаем:λ0 =2π=2mEKIОтвет.λ=λ0,2π=λ=2m( EKI − U )EKIEKI − Uиλ=λ0EKIEKI − U., то есть длина волны увеличивается.§2.2.
Соотношения неопределенностей ГейзенбергаСвободная частица, имеющая точные значения импульса р иэнергии E = p 2 /(2m) , с одинаковой плотностью вероятности, равной2Ψ (r, t ) = Ψ (r, t )Ψ ∗ (r, t ) = C 2 = const ,Гл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля49может быть обнаружена в любой точке пространства, т. е. де бройлевская частица не локализована в координатном пространстве.Это означает, что при заданном значении импульса p = pe x неопределенность значения импульса Δp x = 0 , а неопределенность значения координаты х Δx → ∞ .Описание локализованной частицы основано на введении неопределенности импульса Δp x ≠ 0 (и неопределенности волновоговектора в соответствии k = p = ).Какими волнами можно описать локализованную в определенной области пространства Δх частицу (в фиксированный моментвремени)?Локализация в области x0 − Δx / 2 < x < x0 + Δx / 2 означает, чтоплотность вероятности Ψ ( x )2нахождения частицы в этой области(а значит и Ψ ( x ) ) существенно больше, чем в остальной областипространства.
Такой эффект возрастания амплитуды в ограниченной области Δх наблюдается при суперпозиции плоских волн содинаковыми амплитудами A Δω и близкими частотамиω0 − Δω / 2 < ω < ω0 + Δω / 2 (при движении волнового пакета).Действительно, напряженность электрического поля E ( x, t ) ,создаваемая группой волн – суперпозиция напряженностей, создаваемых каждой волной в отдельности: E ( x, t ) = ∑ Ei . Чтобы перейти от суммирования к интегрированию под частотой монохроматической волны ω будем понимать бесконечно узкий интервал частотdω вблизи ω.
Тогда амплитуда такой волны равнаE0i ( ω) = Ad ω / Δω , суммарная напряженность группы волн:E ( x, t ) =ω0 +Δω 2ω0Acos ( ωt − kx ) d ω .Δω−Δω 2∫(2.6)Рассмотрим случай, когда среда описывается нелинейным законом дисперсии ( k ≠ ω / c , где фазовая скорость с = const).Поскольку интервал частот узкий, то можно разложить волновое число в ряд Тейлора вблизи среднего значения k0:50ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХk = k0 +dkω − ω0,( ω − ω0 ) = k0 +d ω ω0u⎛ dω ⎞u =⎜⎟⎝ dk ⎠ ω0где(2.7)(2.8)является групповой скоростью (скоростью движения максимумафункции E0 (см.
рис. 2.2)). Тогда аргумент косинуса в (2.6) можнопредставить в виде новой переменнойζ = ωt − kx = ω(t − x / u ) + x(ω0 / u − k0 ) .(2.9)Интегрируя (2.6) в пределах от ζ1 = ( ω0 − Δω / 2)(t − x / u ) ++ x ( ω0 u − k0 ) до ζ 2 = (ω0 + Δω 2)(t − x u ) + x (ω0 u − k0 ) , получаемE ( x, t ) =ζ2A∫ Δω ( t − x / u ) cos ζ d ζ =ζ1sin ⎡Δω ( t − x / u ) / 2 ⎤⎦cos ( ω0t − k0 x ) .=A ⎣Δω ( t − x / u ) / 2(2.10)амплитудаЗдесь амплитуда волнового пакета E0(x,t) равнаE0 ( x, t ) = ASin ⎡⎣ Δω ( t − x u ) 2 ⎤⎦Sin η,=AΔω ( t − x u ) 2ηη = Δω ( t − x / u ) / 2 .(2.11)(2.12)На рис.
2.2 представлена зависимость E ( x, t ) (2.10) от пространственной координаты х для двух последовательных моментоввремени t1 = 0 и t2 = Δt .Для линейной зависимости частоты от волнового вектора (линейного закона дисперсии ω = ck ) групповая и фазовая скоростисовпадают: u = c, так же как и относительное изменение частоты ω,волнового вектора k и длины волны λ:d ω dk d λ==.ωλkГл.2. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля51Рис. 2.2. Волновой пакет движется со скоростью u = d ω / dk .Важно отметить, что энергия волны, пропорциональная квадрату амплитуды, распространяется, как и максимум амплитуды, сгрупповой скоростью.Скорость движения частицы определяется ее импульсом p = mvи связана с энергией Е = Е(p).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
