Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Самый нижний, первый (n = 1) уровень соответствует основному состоянию атома водорода с максимальной энергией связи электрона с ядром:E1 = − R∞ .(3.16)При n → ∞ радиус орбит растет и энергия связи стремится кнулю Еn → 0. Значению полной энергии, равной нулю, соответствует орбита с бесконечно большим радиусом, то есть орбита сво-Гл.
3. Энергетические спектры атомов и молекул75бодного электрона. Расположение энергетических уровней для разных значений квантовых чисел n (1, 2, 3, 4) представлено нарис. 3.1.2) Вычисление кинематических характеристик.Из (4.8) для скорости электрона на n-й орбите получаем:vn =1ze2⋅,4 πε0= n(3.17)т. е. скорость электрона в атоме водорода максимальна на первойорбите:e2v1 =(3.18)≈ 2,2 ⋅ 106 м/с .4πε0=Заметим, что v 1 << c, как и предполагалось в условии задачи.Рис. 3.1.
Энергетические уровни в атоме Бора, соответствующие разным значениям квантовых чи-сел n и ℓ (см. приложение 3.1).Частота вращения электрона вокруг ядра равнаωn = 2πvnv1z 2me 4;= n =⋅2 πrn rn (4πε0 )2 =3n 3для основного состояния атома водорода(3.19)76ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХω1 =1(4πε0 )⋅2me 4=3≈ 6,6 ⋅ 1015 рад/с .(3.20)Центростремительное ускорениеa1 =v12≈ 9 ⋅ 1022 м/с 2r1(3.21)обеспечивается кулоновским полем ядра с напряженностью электрического поляE ( r1 ) = ma1 / e ≈ 5 ⋅ 1011 В/м .(3.22)Примечание. Поскольку ядро значительно тяжелее электрона,то негласно при решении задачи 3.1 считалось, что ядро покоится,а движется только электрон.Вывод: Модель Бора является полуклассической, так какиспользует как классическое описание движения электрона(уравнение движения), так и квантовое (квантовые постулаты Бора).Задача 3.2.
(Боровская орбита.). Амплитуда волновой функции электрона в атоме водорода в основном состоянииΨ ( r ) = A exp [ − r / aB ] .(3.23)Определить вероятность fm, с которой электрон находится наорбите с радиусом аВ и ширину сферического слоя Δ, внутри которого вероятность нахождения электрона больше половины от максимального значения.Решение. Константу А в (3.23) находим из условия нормировки:∫ Ψ (r )2d τr = 1 ,(3.24)где d τ r = 4πr 2dr — объем сферического слоя. ПодставляяΨ = A exp( − r aB ) в (3.24) и интегрируя по частям, находим:A =1πaB3иΨ( r ) =1πaB3/2exp [ − r / aB ] .(3.25)Гл. 3.
Энергетические спектры атомов и молекул77Плотность вероятности обнаружения электрона на удалении rот ядра, т. е. в сферическом слоеd τr = 4πr 2dr (см. рис 3.2), имеетвид2f ( r ) = Ψ ( r ) 4 πr 2 =⎡ 2r ⎤2rexp⎢ − a ⎥ . (3.26)aB3⎣ B⎦Максимальное значение соответствует экстремуму функции(3.26),тоестьусловиюdf ( r ) / dr r = 0 , из которого по=4mлучаемrm = aBиf m (aB ) = 4e −2 / aB ≈ 1,1 ⋅ 1010 м −1 .Пусть при r = aB + δr плотность вероятности в два разаменьше максимального значения:Рис. 3.2.
Распределение электронной плотности в атоме водорода.Плотность вероятности обнаружения электрона f(r) в зависимости отего удаления r от центра ядра.Максимум плотности вероятностинаходится на расстоянии, равномборовскому радиусу аВ.⎡ 2( aB + δr ) ⎤ 11 4 −2= f m (aB ) =( aB + δr )2 exp ⎢ −e .⎥aB2 aB⎣⎦ 2Отсюда для определения отношения δ / a B получаем уравне-f ( aB + δr ) =4aB3ние2δ / aB = ln 2 + 2ln(1 + δ / aB ) .Предположим, что δ / aB << 1 . Тогда, раскладывая логарифмическую функцию в степенной ряд до второго члена, получаемоценкуδ ≈ aB ln 2 ≈ 0,8aB и Δ = 2δ ≈ 1,6aB ,из которой следует, что наше предположение не верное.
Поэтомуопределим ширину Δ боровской орбиты из графика функции42f ( r ) = Ψ ( r ) 4πr 2 = 3 r 2 exp [ −2 r aB ] (см. рис. 3.2). Получаем,aBчто ширина сферического слоя, в котором плотность вероятности78ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХнахождения электрона больше половины от максимального значения, соответствующего радиусу боровской орбиты, равнаΔ = 0,62aB + 1,08aB = 1,70 aB ≈ 0,85Å .Следовательно, боровская орбита является достаточно широкой, больше aB: Δ / aB ≈ 1,7 .Ответ.
f m (aB ) = 4e −2 aB ≈ 1,1 ⋅ 1010 м −1 , Δ = 1,7a B ≈ 0,85Å .Задача 3.3. (Кинетическая энергия электрона в атоме водорода.) Используя функцию распределения электронной плотности(3.26) в основном состоянии атома водорода найдите среднее значение кинетической энергии электрона и сравните со значениемEk1 (3.8), рассчитанным в рамках полуклассической модели атома(в задаче 3.1).Решение. Среднее значение функции ϕ ( r ) вычисляется поформуле для средних значений при известной вероятностиΨ ∗ ( r ) Ψ ( r ) с которой электрон находится на удалении r от ядра:∞ϕ = ∫ Ψ ∗ϕ ( r ) Ψ d τ r .(3.27)0Кинетическая энергия электрона mv2 ( r ) / 2 зависит от радиусаорбиты r. Связь v ( r ) можно получить из системы уравнений (см.формулы (3.7) и (3.8)), исключая из выражений n:mv21me 4 Z 2 11=⋅ 2 = Ek 1 ⋅ 2 , n 2 = r a B222n( 4πε0 ) 2= nиmv21a= Ek 1 ⋅ 2 = Ek 1 ⋅ B .(3.28)2rnПодставляя в (3.27) кинетическую энергию (3.28) и волновуюфункцию (3.25), находим∞∞⎡ −2 r ⎤⎡ −2 r ⎤mv2a 4r 24= ∫ Ek 1 B 3 exp ⎢dr = Ek1 2 ∫ r exp ⎢⎥⎥ dr = Ek 1raa2aaBB⎣⎦⎣⎦BB00(3.29)Гл.
3. Энергетические спектры атомов и молекул79Таким образом, среднее значение кинетической энергии в основном состоянии равно значению кинетической энергии, рассчитанной по модели Бора.Ответ:mv2me4= Ek 1 = 2.22= (4 πε0 ) 2§3.2. Многоэлектронные атомыПростейшим многоэлектронным атомом является атом гелия, вкотором два электрона.В ионе гелия Не+ один электрон. Поэтому для него можно использовать формулы для водородоподобных атомов при Z = 2 (таккак заряд ядра +2е).Энергия связи электрона в ионе He +EHe+ = Z 2 EH = 4 ⋅ ( −13,56) = −54,27 эВ .Радиус первой орбиты электрона (радиус иона гелия)r1 =oaB 2 aBn == 0,25A .Z2При добавлении к Не+ еще одного электрона следует учестьдополнительно энергию притяжения второго электрона к ядру иэнергию отталкивания электронов.
Весь спектр разрешенныхзначений энергии (энергетический спектр) смещается, изменяется также энергия связи первогоэлектрона с ядром. Энергия основного состояния по модулю(первый потенциал ионизации) уатома гелия выше, чем у иона (см.рис. 3.3):E1s = −24,59 эВ ,арадиусатомагелияr1s = 0,122 нм — радиус орбиты восновном состоянии больше, чемРис. 3.3. Первый потенциал ионизау иона.ции в атомах Н, Не и ионе Не+.Это значит, что энергия 1s-80ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХсостояния, заполненного двумя электронами у атома Не, равная−24,59 эВ , существенно меньше энергии связи 54,27 эВ одногоэлектрона в ионе Не+. Следовательно, энергия кулоновского отталкивания более чем в два раза уменьшает энергию связи с ядром одного электрона в ионе Не+.Таким образом, как увеличение заряда ядра (Н→Не+), так ирост числа электронов в атоме (Не+→Не) приводят к изменениюэнергетического спектра атомов (изменению положения электронных уровней по шкале энергии).Необходимость учета взаимодействия электронов делает практически невозможным точный расчет волновых функций и энергетических состояний электронов в многоэлектронных атомах.Однако для щелочных металлов и ионов, имеющих на внешнейоболочке один электрон, можно использовать модель водорода.Чем дальше орбита от атомного остова (чем больше n), тем большеона подобна орбите атома водорода.
Такие атомы и ионы будемназывать водородоподобными.§3.3. Спектральные линии атомовСостояния (уровни) атома водорода с n > 1 называются возбужденными. Рассмотрим переходы электрона с энергетическогоуровня, имеющего главное квантовое число n1, на уровень с главным квантовым числом n2 .При переходе, например, суровня n1 = 2 на уровень n2 = 1атом водорода излучает фотон сэнергией=ω21 = E1 − E2 =()= E1 1 − 1 / 22 ≈ 10,2 эВ (3.30)и длиной волны2 π=cλ 21 =≈ 121,6нм .
(3.31)=ωВсе спектральные линииРис.3.4. Серии Лаймана, Бальмера и излучения для водородоподобПашена (без соблюдения масштаба).ных атомов и ионов разделяютсяГл. 3. Энергетические спектры атомов и молекул81на серии. Серии классифицируются по главному квантовому числуn0 энергетического уровня, на который происходит переход с возбужденных уровней энергии с квантовыми числами ni > n0 .
Называется серия по фамилии автора, впервые открывшего данную серию излучения (см. табл. 3.1 и рис. 3.4). Серии Т. Лаймана иИ. Я. Бальмера наблюдаются в спектрах большинства космическихобъектов.Таблица 3.1.Серии спектральных линий излучения для водородоподобныхатомов и ионовn0123и другиеСерияЛайманаБальмераПашенаni2,3,4, …3,4,5, …4,5,6, …В табл.
3.2 приведены значения ряда констант, необходимыхдля последующих вычислений.Таблица 3.2Значения некоторых константПостояннаяПланкаh = 2 π= = 6,62559 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с ,Скорость светаc = 2, 997925 ⋅ 108 м/сЗаряд электронаe = 1, 60210 ⋅10−19 Кл= = 1,05449 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с .Масса электро- m = 9,10908⋅10–31 кгнаРидбергRy =ПостояннаяРидбергаR∞ =me42= 2 (4πε0 )2= 13,6056981эВ ,Ryme4== 1,097373 ⋅107 м −1 .2π=c 4π=3c(4πε0 )2ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ82Водородоподобный ион с зарядом ядра (+Ze) при переходе с n1уровня на n0 -уровень ( n0 -серия) излучает фотон, который имеетωn0n1 =частотуволновой векторEn1 − En0=kn0 n1 =обратную длину волны λ −n01n1 =ωn0 n1c=⎡11 ⎤Z2Ry ⎢ 2 − 2 ⎥ ; (3.32)=⎢⎣ n0 n1 ⎦⎥⎡11⎤= 2πR∞ Z 2 ⎢ 2 − 2 ⎥ ;⎢⎣ n0 n1 ⎥⎦⎡11 ⎤= R∞ Z 2 ⎢ 2 − 2 ⎥ .2π⎣⎢ n0 n1 ⎦⎥kn0n1(3.33)(3.34)Найдем разность волновых векторов и частот фотонов, излучаемых при переходе с уровней n1 и n2 на n0 -уровень, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
