Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Теоретическое введение1. Операторы. В квантовой механике каждой физической величине а ставится в соответствие определенный линейный оператор â (определенная математическая операция).Например, оператор импульса p̂ в координатном представлении имеет вид∂pˆ = −i ∇ = −i∂rили в декартовой системе координат:∂∂∂pˆ x = −i, pˆ y = −i, pˆ z = −i.∂x∂y∂zДействие оператора импульса, например, на волновую функцию свободной частицы, движущейся вдоль оси ОХ (волну деБройля Ψ ( x, t ) = C exp [i (ωt − kx)] ), сводится к умножению волновой функции на импульс частицы:∂pˆ x Ψ ( x, t ) = −iC exp [i (ωt − kx )] =∂x= k ⋅ C exp [i ( ωt − kx )] = pΨ ( x, t ) .Если полученную функцию pΨ ( x, t ) умножить на комплексносопряженную волновую функцию Ψ ∗ ( x, t ) и проинтегрировать повсему пространству (sp), то получим импульс свободной частицы:∗∗∫ Ψ ( x, t ) ⎡⎣ pΨ ( x, t )⎤⎦ d τ = p ∫ Ψ ( x, t )Ψ ( x, t ) d τ = p .spspЗдесь учтено условие нормировки∗∫ Ψ (r , t )Ψ ( r , t ) d τ = 1 .spОператор кинетической энергииĤ кин = −22m∇2 .Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле105Действие оператора кинетической энергии на волну де БройляΨ ( x, t ) = C exp [i (ωt − kx)] :p2Ψ ( x, t )2m2m ∂x2mсводится к умножению кинетической энергии на волновую функцию де Бройля.Если полученное выражение умножить на Ψ ∗ ( x, t ) и проинтегрировать по всему пространству (sp), то получим кинетическуюэнергию частицы:⎡ 2 2⎤p2p2∗∗.Ψ−∇Ψτ=ΨΨτ=xtxtdxtxtd,,(,),()()()⎢⎥∫2m ∫2m⎣⎢ 2m⎦⎥spsp−2∇ 2 Ψ ( x, t ) = −2∂[C exp(ωt − kx)] =2Оператор потенциальной энергии U (r ) .
Его действие наволновую функцию есть просто умножение потенциальной энергиина волновую функцию: U (r )Ψ ( r , t ) .У свободной частицы потенциальная энергия имеет одно и тоже значение в любой точке пространства U (r ) = U 0 = const . В част-ности, можно положить U 0 = 0 . Умножая функцию U (r )Ψ ( r , t ) наΨ ∗ ( r , t ) и интегрируя по всему пространству (sp), получаем потен-циальную энергию U (r ) = U 0 = const свободной частицы:∗∫ Ψ ( x, t )U (r )Ψ ( x, t )d τ = U 0 = const .spОператор полной механической энергии является оператором Гамильтона и для одной частицы, находящейся в поле с потенциальной энергией U(x,y,z), имеет видĤ = −2(4.1)∇2 + U ( x, y , z ) .2mДействие оператора полной механической энергии на волну деБройля с последующим умножением на Ψ∗ ( r, t ) и интегрированием уравнения Hˆ Ψ ( r , t ) (4.1) по всему пространству дает значениеполной энергии частицы:p2+ U0 = E .2m106ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ2.
Собственные функции и собственные значения оператора. В классической физике большинство физических величин принимают непрерывный ряд значений. В квантовой физике значения,которые может принимать физическая величина, могут как изменяться непрерывно, так и принимать дискретный набор значений.Дискретные значения an , которые может принимать физическая величина а, называются собственными значениями оператора â . Собственные значения аn некоторой физической величиныа являются решениями уравненияaˆ Ψ (r , t ) = aΨ (r , t ) ,где â — оператор данной физической величины.Собственной функцией Ψ n (r , t ) оператора â называется такая волновая функция, действие на которую оператора â сводитсяк простому умножению собственной функции Ψ n (r , t ) на собственное значение an :aˆ Ψ n (r , t ) = an Ψ n (r , t ) .3.
Энергетические состояния. В этой главе будем рассматривать систему (чаще всего одну частицу) в постоянном внешнем поле. В этом случае состояния системы являются стационарнымисостояниями, в которых энергия имеет определенное значение, неизменяющееся со временем.В волновой функции, описывающей стационарное состояние,можно выделить сомножитель, зависящий от времени:⎛ E ⎞Ψ ( r , t ) = exp ⎜ −i t ⎟ ⋅ ψ ( r ) .⎝⎠Волновая функция ψ( r ) стационарного состояния без временной зависимости обозначается малой буквой ψ(r).Собственные волновые функции ψ n (r ) стационарных состояний являются собственными функциями оператора Гамильтона:H ψ n ( r ) = En ψ n ( r ) ,где Еn – собственные значения энергии в состояниях ψ n (r ) .Стационарное состояние с наименьшим возможным значениемэнергии Е0 называется основным (нормальным) состоянием системы.Спектр собственных значений энергии может быть как непрерывным, так и дискретным.
Частица имеет дискретный спектр,Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле107если ее движение в пространстве ограничено, т.е. является финитным. Состояние частицы при этом называется связанным илилокализованным.Непрерывным спектром обладает частица, если ее движение неограничено, и она может уходить на бесконечность. Таким образом, непрерывному спектру соответствует инфинитное движение.Уравнение, управляющее изменением состояния системы ( Ψ функция во времени) было получено Шредингером в 1926 г.
иимеет следующий вид2∂Ψ ( r , t )−∇ 2 ψ ( r , t ) + U ( r ) ψ (r , t ) = i,(4.2)2m∂tгде i — мнимая единица −1 , m — масса частицы, ∇ 2 − оператор()Лапласа, U — потенциальная энергия.Для определения вида стационарных волновых функцийE⎞⎛ψ ( r ) , когда ψ (r , t ) принимает вид ψ ( r , t ) = ψ (r )e − iωt ⎜ ω = ⎟ , а⎝⎠также энергетического спектра частицы в потенциальном поле U(r)Шредингером было предложено стационарное линейное дифференциальное уравнение в частных производных:−2∇2ψ( r ) + U ( r ) ψ( r ) = E ψ( r ) .(4.3)2mЭто уравнение играет в квантовой физике такую же важнуюроль, как дифференциальное уравнение движение в классическоймеханике (II закону Ньютона).
Уравнение Шредингера называютуравнением движения квантовой частицы.Для свободной частицы U(r) = U0 = 0 и уравнение Шредингераможно записать в виде:22m∇ 2 ψ( r ) + E ψ ( r ) = 0 .(4.4)Волновая функция ψ(r), являющаяся решением уравненияШредингера (4.3), должна удовлетворять следующим условиям.1. Волновая функция ψ(r) должна быть однозначной и непрерывной во всей области пространства (даже если U(x,y,z) имеет поверхности разрыва).2. Производные волновой функции ∂ψ / ∂x , ∂ψ / ∂y и ∂ψ / ∂zтакже должны быть непрерывными (кроме поверхностей, где по-108ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХтенциальная энергия U→∞).
Так как частица не может проникнутьв область, где U→∞, то во всей этой области (и на ее границе)ψ =0.Ниже рассмотрим несколько задач, в которых потенциальнаяэнергия является функцией только одной координаты U(x).Задача 4.1. (Свободное движение частицы.) Найти волновуюфункцию ψ( x ) частицы, свободно движущейся в положительномнаправлении оси ОХ и обладающей импульсом р.Решение.
Уравнение Шредингера (4.4) для свободной частицы( U ( x) = 0 ), движущейся вдоль оси ОХ, имеет вид∂2ψ( x ) + E ψ( x ) = 0 .2m ∂x 22(4.5)Решением этого уравнения является гармоническая функция⎛ p ⎞(4.6)ψ( x) = A exp ⎜ i x ⎟ .⎝⎠Для волны, бегущей в положительном направлении оси ОХ,здесь и в дальнейшем будем выбирать знак «плюс» в показателеэкспоненты.Можно записать полную волновую функцию с временныммножителем:⎡ i ⎛ p2⎞⎤t − px ⎟ ⎥ .Ψ ( x, t ) = A exp ⎢ − ⎜⎟⎥⎢⎣ ⎜⎝ 2m⎠⎦⎡ i ⎛ p2⎞⎤Ответ. Ψ ( x, t ) = A exp ⎢ − ⎜t − px ⎟ ⎥ .⎟⎥⎢⎣ ⎜⎝ 2m⎠⎦§4.2. Непрерывный спектр энергииЗадача 4.2. (Потенциальная ступенька. Непрерывныйспектр.) Потенциальная энергия частицы имеет вид «ступеньки»:U = 0 при x < 0 и U = U0 при x > 0 (см. рис.
4.1 а). Частица, движущаяся к ступеньке («падающая» на ступеньку) из области x → −∞ ,имеет импульс р1 и амплитуду А1 волновой функции. Найти волновую функцию частицы. Масса частицы m.Гл.4 .Стационарные состояния квантовой частицы в потенциальном поле109Решение. При x → −∞ функция ψ ( x ) представляет собой бегущую в положительном направлении оси ОХ волну деБройля (рис. 4.1 б)ψ1′ ( x → −∞) = A1 eip1x / .Рассмотримотдельнослучай I, когда кинетическаяэнергия Е1 падающей на ступеньку частицы больше высоты ступеньки, т.е. E1 > U 0 , ислучай II, когда E1 < U 0 .Случай I. Энергия частицы E1 больше высоты«ступеньки» т.е. E1 > U 0 .В области 1 уравнениюШредингера (4.5)2∂2ψ ( x ) + Eψ ( x) = 02m ∂x 2удовлетворяют как волна бе- Рис. 4.1. Потенциальная энергия часгущая в положительном на- тицы в виде «ступеньки» (а) и действительные части волновых функций вправлении, так и в отрица- зависимости от координаты х в едительном направлении оси ОХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
