Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как Lx=Ly=Lz=L, то для кинетической энергии получаем выражение:Δp x ⋅ Δp y ⋅ Δpz =E (k x , k y , k z ) == 2 (k x2 + k y2 + k z2 )2m02== 2 ⎛ 2π ⎞ 2(2π= ) 2 2n ,⎜ ⎟ n =2m0 ⎝ L ⎠2m0V 2 3(6.21)где n 2 = nx2 + n 2y + nz2 .Из формулы (6.21) следует, что одно и то же значение кинетической энергии (при фиксированном n) может осуществляться припомощи различных комбинаций чисел nx, ny и nz. Это означает, чтонескольким квантовым состояниям с различными волновымифункциями отвечает одно и тоже значение энергии. Например, уровень энергии с n2 = 6 для кубической потенциальной ямы может190ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХреализовываться тремя различными комбинациями чисел (nx, ny,nz): (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) ,то есть является трехкратно вырожденным.Ограничение движения электронов приводит к тому, что непрерывный энергетический спектр Е = р2/(2m), характерный длясвободного электрона, становится дискретным, с квантованнымизначениями импульса (6.19) и энергии (6.21) для электрона, движущегося в ограниченном пространстве кристалла.Рассмотрим кристалл единичного объема LxLyLz = V = 1.
В таком кристалле число (концентрация) коллективизированных электронов равна n = zN, где N — число атомов, z – их валентность. Согласно принципу Паули для ферми-частиц (см. ниже §7.1), в каждом состоянии, занимающем в p-пространстве объем, равный(2π=) 3 , могут находиться только два электрона с противоположнонаправленными спинами. При абсолютном нуле температуры электроны занимают самые низкие энергетические состояния.Таким образом, при Т = 0 К электроны заполняют в pпространстве сферу (рис. 6.5), радиус которой pF = =k F определяется из равенства числа электронов zN удвоенному (за счет состояний с различными спинами) числу элементарных квантовых ячеек (6.20) в объеме (4 3) π pF3 сферы, то есть2(4 3)π pF3= zN = n .(2π= )3(6.22)Максимально возможные значенияимпульса pF и соответствующей емуРис.
6.5. Сфера Ферми вимпульсном пространстве. энергии ЕF электронов при T = 0 К, называются соответственно импульсом иэнергией Ферми. Изоэнергетическая поверхность Е = ЕF = const в пространстве импульсов, внутри которой все состояния заполнены при Т = 0 К, называется поверхностью Ферми. На основании (6.22) импульс и энергия Ферми определяются следующими соотношениями:(pF = = 3π2 zNEF =)13(= = 3π2 npF2=2=3π2 n2m0 2m0()23.)13,(6.23)(6.24)Гл. 6. Объем квантового состояния. Плотность состояний191Максимально возможное значение энергии электронов – энергия Ферми – растет с увеличением концентрации коллективизированных (валентных) электронов в металле пропорционально n2/3.Таким образом, можно сделать следующий вывод.
При температуре Т = 0 электроны в металле имеют различные импульсы винтервале 0 ≤ p ≤ pF (и энергии в интервале 0 ≤ E ≤ EF ), и это связано с ограниченностью движения электронов, квантованию ихимпульса и принципом Паули.Плотность энергетических состояний. Число электронныхсостояний dns(E) с заданными значениями энергии в интервале от Едо (Е + dЕ) равно удвоенному (за счет двух противоположных направлений спина) числу элементарных квантовых ячеек (6.20) в pпространстве в сферическом слое радиусом p = (2mE )1 2 (6.14) итолщиной d p = d (2mE )1 2 (6.15):dns ( E ) = 24π p 2 d p(2π=)3=2 m3 2π2 =3EdE .(6.25)Таким образом, плотность состояний ρ(Е), т.е. число разрешенных состояний электронов в единичном интервале энергии, длякристалла единичного объема равнаdn2 m3 2ρ( E ) ≡ s = 2 3E~ E.(6.26)dEπ =Вид функции ρ(Е) (6.26) показан нарис.
6.6. Плотность состояний ρ(Е) растет с увеличением энергии ~ E .Δpx ⋅ Δp y ⋅ Δpz = (2π= )3 / L3 ,Ответ.(pF = = 3π2nρ( E ) =)132m3 22 3π =EF =,E.=23π2 n2m()23,Рис. 6.6. Зависимость плотности состояний ρ(Е) электроновв металле от энергии Е.Задача 6.4. Современные технологии позволяют из отдельныхатомов формировать новые структуры, которые могут обладатьопределенными физическими свойствами, не наблюдаемыми вобъектах иного масштаба. Оцените число атомов одновалентногоВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ192металла, необходимых для создания кластера, и его линейный размер L, чтобы максимальное расстояние между энергетическимиуровнями электронов в кластере было бы равно ΔE ≈ k BT приТ = 1 К.
Межатомное расстояние принять равным а = 1 Å.Решение. Импульс электрона в металле принимает дискретныезначения (6.19). Кванту импульса Δpx = 2π= / L (6.20) соответствует расстояние между энергетическими уровнями:⎛ p2 ⎞ 1(6.27)ΔE = Δ ⎜⎟ = p Δp .⎜ 2m ⎟ m x x⎝⎠Энергетическое расстояние между уровнями увеличивается сростом импульса рх и максимально для электронов с импульсомФерми, определяемым выражением (6.23):13 =1/3pF = = 3π2n= 3π2,(6.28)a()( )где концентрация для одновалентного металла равна n = 1/ a3 ,a3 — объем элементарной ячейки:Подставляя в (6.27) значение импульса (6.28) и Δpx = 2π= / L ,имеем( )1/ 32π 3π2=21=2 1/ 3 2π=ΔE =3π=.maLmaLИз полученного соотношения находим размер кластера( )L=( )2π 3π21/ 3 2=amΔEи число атомов в нем:333π2 ( 2π ) = 6⎛L⎞.N =⎜ ⎟ =⎝a⎠(a 2 mΔE )3Подставляя числовые данные, получаем:L=( )2π 3π21/3 2maΔEоткуда находим:==2π(3π2 )1/310−689 ⋅ 10−3110−101,38 ⋅ 10−23≈ 1,5 ⋅ 10−4 м ,Гл. 6.
Объем квантового состояния. Плотность состояний193333⎛ 1,5 ⋅ 10−4 ⎞= 6 3π2 ( 2π )⎛L⎞18=N =⎜ ⎟ =⎜⎟ ≈ 3 ⋅ 10 .−10 ⎟23⎜⎝a⎠(a mΔE )⎝ 10⎠Ответ: L =( )2 π 3π21/3 2=ma ΔE3N== 6 3π2 ( 2π )2(a mΔE )3≈ 1,5 ⋅ 10−4 м = 150мкм ,≈ 3 ⋅ 1018 .Задачи для самостоятельного решенияЗадача D6.1. Определите минимальную длину волны деБройля для электронов в меди при T = 0 K, если их концентрацияравна n = 8,5⋅1022см–3.1/3⎡π⎤Ответ. λ = 2 ⎢ ⎥⎣ 3n ⎦≈ 4,6 ⋅ 10−10 м = 4,6 Å.Задача D6.2. Определите импульс Ферми pF для одновалентного металла с простой кубической решеткой и с периодома = 3,3Å.13 =13Ответ.
pF = = 3π2n=3π2= 9,9 ⋅ 10−25 кг ⋅ м/c .a()( )Задача D6.3. Рассчитать значение энергии Ферми в моделисвободных электронов для Na, K и Al, если плотности и молярныемассы этих веществ равны соответственно: ρ(Na) = 0,97 г/см3,ρ(K) = 0,86 г/см3,ρ(Al) = 2,7 г/см3;М(Na) = 23,0 г/моль,М(K) = 39,1 г/моль, М(Al) = 27,0 г/моль.Ответ. EF(Na) = 3,1 эВ, EF(K) = 2,1 эВ, EF(Al) = 11,7 эВ.194ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХГлава 7АНСАМБЛИ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ.ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ§7.1.
Статистические закономерности ансамблей частицРассмотрим системы, состоящие из большого числа (N >> 1)независимых (не взаимодействующих) идентичных микрочастиц. Втаких системах проявляются определенные статистические закономерности распределения по энергетическим состояниям частиц,входящих в систему. Практически все свойства веществ в конденсированном состоянии (электрические и магнитные, теплоемкостьи теплопроводность) определяются статистикой ансамбля частиц,составляющих вещество.Все известные частицы делятся на два класса по величины собственного механического момента количества движения частиц.Собственный механический момент количества движения являетсясвойством частиц и называется спином (от английского слова spin— «веретено»).
Проекцию sz спина электрона на выделенное направление (например, направление напряженности магнитного поля — ось z) измеряют в единицах, равных постоянной Планка = :s z = =s . Число s называется спиновым квантовым числом, котороеможет принимать только целые или полуцелые значения.Частицы с полуцелым спиновым числом, у которых проекцияспина sz может принимать только полуцелые значения135sz = ± =, ± =, ± =,...
, называются ферми-частицами, или222фермионами. Они подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми–Дирака.Частицы с целым спиновым числом, называются бозечастицами или бозонами, они подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна.Ферми- и бозе-частицы различаются симметрией полных волновых функций, описывающих систему частиц. Тип симметрииволновых функций определяет принцип заполнения частицамиквантовых состояний.Гл. 7.
Ансамбли квантовых частиц. Фермионы и бозоны195Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц. Пусть перваячастица находится в состоянии Ψ a (1) , а вторая – в состоянииΨ b ( 2 ) , причем обе волновые функции учитывают все параметры(как координатные, так и спиновые). Симметрия волновой функциисистемы проявляется при перестановке двух частиц. Посколькучастицы идентичны, то перестановка пары частиц не меняет физических параметров системы.При отсутствии взаимодействия между частицами состояниевсей системы может быть представлено какΨ a (1) Ψ b ( 2 )(7.1)или, учитывая возможность перестановки идентичных частиц, какΨ a ( 2 ) Ψ b (1) .(7.2)Таким образом, полная волновая функция системы, как линейная комбинация (7.1) и (7.2), может быть записана в виде симметричной волновой функции:1Ψs ={Ψ a (1) Ψb ( 2 ) + Ψ a ( 2 ) Ψ b (1)} ,(7.3)2или в виде антисимметричной волновой функции:1(7.4)Ψ as ={Ψ a (1) Ψb ( 2 ) − Ψ a ( 2 ) Ψb (1)} .2Множитель 1 2 соответствует условию нормировки (2.5).Если состояния а и b являются одним и тем же состоянием, тоΨ s = 2Ψ a (1) Ψ a ( 2 ) , а Ψ as = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
