Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Переходя от классического рассмотрения к квантовому,будем рассматривать каждую моду нормальных колебаний какквантовый гармонический осциллятор. Таким образом, собственную энергию движения атомов в кристалле можно представить ввиде суммы энергий независимых гармонических осцилляторов сразными частотами, соответствующими набору частот нормальныхколебаний кристаллической решетки.Энергия осциллятора в квантовой механике квантуется и описывается формулой (задача 4.7)En,ω = =ω( n + 1/ 2 ) ,(8.1)где ω — частота нормального колебания, n — целое неотрицательное число. Возбужденным состояниям осциллятора соответствуютзначения n = 1, 2, 3… При n = 0 осциллятор находится в основном,невозбужденном состоянии.§8.2.
Основное состояние кристаллических структур.Нулевые колебанияЭнергия основного состояния осциллятора E0 = =ω 2 не является тепловой энергией. Её природа имеет чисто квантовомеханический характер, связанный с соотношением неопределенностей Гейзенберга δp ⋅ δx ~ = (δр и δх – неопределенности импульса и координаты частицы соответственно), из которого следует, что частица даже при температуре абсолютного нуля (Т = 0 К)не может находиться в состоянии покоя, то есть иметь точно определенные координаты. Принято говорить, что частица при Т = 0 Ксовершает нулевые колебания с некоторой амплитудой x0 и нулевой энергией =ω 2 .Амплитуду нулевых колебаний можно оценить, используяпринцип соответствия между квантовомеханическим и классическим выражениями для энергии. Это утверждение требует уточне-Гл. 8.
Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы215ния. Под гармоническим осциллятором в классической механикеобычно понимается система с сосредоточенными параметрами, обладающая инертностью, положением равновесия, при отклоненииот которого возникают возвращающие силы, пропорциональныевеличине отклонения. Мы рассматриваем упругую плоскую стоячую волну с частотой ω и соответствующей ей длиной волныλ ~ 1 ω . В стоячей волне аналогом колебательной системы с сосредоточенными параметрами может служить каждый участокволны длиной λ 4 (от узла смещений до узла деформаций) (задача1.7, рис 1.10).
Энергия этого участка среды не изменяется с течением времени, а лишь периодически (с периодом равным четвертипериода колебаний T/4) переходит из потенциальной в кинетическую и обратно. Поэтому в данном случае, для оценки, можносравнить энергию квантового осциллятора =ω 2 с энергией такогоучастка стоячей волны.Средние значения плотности ε кинетической и потенциальнойэнергии в классической упругой волне совпадают и выражаютсяформулой εкин = εпот = (1 4) ρ m x02ω2 , где ρm – плотность среды,x0 – амплитуда волны. Плотность полной энергии в 2 раза больше:ε = εкин + εпот = (1 2) ρ m x02ω2 .Энергия, приходящаяся на область λ 4,1λE = ρm x02 ω2 ⋅ ⋅ S .44Здесь S – сечение кристалла, а (λ 4) ⋅ S – объем кристалла в области между соседними узлами смещений и деформаций в волне.Поскольку λ ~ 1 ω , то E ~ ρm x02 ω .
Приравнивая =ω 2 = E ,находим, что амплитуда нулевых колебаний атомов решетки, независит от длины волны нормальных колебаний и, соответственно,на всех частотах ω одинакова. Численная оценка амплитуды нулевых колебаний дана ниже в задаче 8.1.§8.3 Возбужденное состояние кристалла. Температура ДебаяПри Т ≠ 0 К кристалл находится в возбужденном состоянии.Энергетическое состояние кристалла, описываемое набором квантовых чисел n для каждой моды нормальных колебаний (7.18), за-216ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХвисит от температуры.
При повышении температуры в первую очередь возбуждаются низкочастотные колебания. В кристалле размером ~1см минимальная частота составляет ≈ (104 ÷ 105 ) Гц и квант=ωminвозбуждаетсяужепритемпературеэнергииT ≈ =ωmin k B ≈ 10−6 K .При дальнейшем повышении температуры происходят двапроцесса. С одной стороны, увеличивается число возбужденныхмод нормальных колебаний решетки (увеличивается число частот,удовлетворяющих условию =ω < k BT (задача 7.7)), а с другой стороны, одновременно увеличивается число возбужденных квантовэнергии n у каждой моды (7.18). При температуре=ωTD ≈ max ,(8.2)kBопределяемой максимальной частотой квантового осциллятора,соответствующей λ min = 2a , возбуждаются моды колебаний совсеми возможными частотами. Эта температура называется температурой Дебая, При дальнейшем повышении температуры число возбужденных мод не изменяется, а увеличивается толькоэнергия, которую несет каждая мода, то есть число n (7.18)возбужденных квантов с разными частотами.
Температура Дебаяимеет порядок ~(100 ÷ 500)К. Таким образом, энергия одногокванта =ω j для разных мод ω j изменяется в широком диапазонеот 10–6 kВ до (100 ÷ 500) kВ (т. е. от 10–6 до (100 ÷ 500) К).Температура Дебая разделяет шкалу температур на две области: низкотемпературную, где возбуждены не все частоты спектраколебаний решетки, и высокотемпературную, где возбуждены всечастоты.
Деление это условно, поскольку переход от одной областик другой в трехмерном кристалле не является резким.На рис. 8.1 представлены зависимости энергии квантового осциллятора Еn(ω) от его частоты ω для разного числа возбужденныхквантов n. Вертикальные штриховые прямые соответствуют разрешенным значениям частот ωj (соответственно, длинам волн λj).При Т = 0 К в спектре присутствуют только нулевые колебания, энергия которых соответствует точкам на пересечении зависимости при n = 0 и штриховых вертикальных линий.Гл. 8.
Элементы квантовой теории твердого тела. Фононы217При повышении температуры появляются кванты тепловыхвозбуждений, причем большее число квантов возбуждений приходится на долю низкочастотных колебаний. Возбужденным притемпературе Т = Т* квантам энергии соответствуют те точки пересечения линейных зависимостей En ( ω) для разных n и вертикальных штриховых линий, которые расположены ниже горизонтальной прямой Е = kВT* на рис. 8.1, то есть энергия которых меньшеkВT*. Например, при температуре Т* возбуждены колебания с частотами ω < ω*, а более высокочастотные колебания практическиотсутствуют (кроме нулевых).
При температуре Дебая ТD в кристалле возбуждаются колебания со всеми возможнымичастотами. Дальнейшее повышение температуры приводит только к увеличению числа возбужденных квантов накаждой частоте, т. е. к ростуэнергии каждой моды колебаний.Итак, размер кристалла (водномерном случае – длинацепочки атомов L) определяетдлины волн λj возбуждений.Энергия возникающего воз- Рис. 8.1. Зависимость энергии квантовогобуждения (моды с волновым осциллятора En ( ω) от частоты при развектором q j ) на длине λj за- личных числах n возбужденных квантов.висит от числа квантов возбуждений n на этой длине волны. Число квантов n (8.18) связано свеличиной возбуждающего фактора, например, с температурой.Энергия одного кванта =ω = =ω(q) зависит как от λj, так и от параметров решетки.
Эта зависимость (закон дисперсии) может бытьопределена только при рассмотрении динамики распространениявозбуждений в кристалле (см. ниже задачу 8.4).§8.4. Фононы — кванты возбужденийПереход системы атомов решетки в возбужденное состояниеописывался выше как возбуждение квантов нормальных колебаний.218ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХНормальные колебания – это стоячие волны, групповая скорость которых равна нулю.
В этой модели квант энергии нельзя принять заквазичастицу с определенным импульсом, поскольку равенство нулю скоростей квазичастиц не позволяет рассматривать динамикутепловых возбуждений в решетке. Чтобы приписать энергетическимвозбуждениям определенный импульс, заменим каждую стоячуюволну двумя бегущими навстречу друг другу звуковыми волнами,удовлетворяющими циклическим граничным условиям Борна–Кармана (6.1): на границах кристалла комплексные амплитуды волнимеют одно и то же значение (см. задачу 6.1).В отличие от нормальных мод, бегущие звуковые волны в кристалле, имеют отличную от нуля скорость распространения Vs.Причем для длинноволновых колебаний (λ >> a) справедлив линейный закон дисперсии:ω = Vs q ,(8.3)из которого следует, что длина волны λ связана с частотой ω соотношением: λ = 2πVs ω , где q = 2π λ — волновое число.Для одномерной цепочки атомов длины L с периодом а заменастоячих волн бегущими проводится по следующей схеме.Стоячие волныБегущие волныλ1=2L,λ2=2L/2,λ1=L,⇒λ3=2L/3,λ4=2L/4,λ2=L/2,⇒λ5=2L/5,λ6=2L/6,λ3=L/3,⇒……………………………….……………..……………..λN=2L/N=2a=λminλN/2=2L/N=2a=λmin⇒λj=2L/j,j = 1, 2, 3,…N;⇒λi=L/i,i = ±1, ±2, ..., ±N/2,Здесь N = L / a — число атомов в цепочке.Обратим внимание на то, что при таком переходе число волн сразличными λ уменьшилось в два раза, но зато теперь каждомузначению λj стало соответствовать две волны с волновыми векторами +qj и –qj, так что полное число волн (равное числу степенейсвободы) осталось прежним.Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
