Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий, О.П. Поляков, О.О. Трубачев - Введение в квантовую физику в вопросах и задачах (1120568), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Происходит небольшой сдвиг подрешеток; зона Бриллюэна,изменяя форму, уменьшается в объеме в два раза. Теперь для заполнения электронами с противоположными спинами одной зонытребуется только N электронов. Таким образом, 5N электроновполностью заполняют пять энергетических зон. Однако это не приводит к диэлектризации, так как верхняя полностью заполненнаявалентная зона перекрывается со свободной зоной проводимости.На рис.
10.2 представлен энергетический спектр Bi. Потолокпятой энергетической зоны в точках Т (их две) зоны Бриллюэна,280ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХкоторая по форме близка к кубооктаэдру, расположен выше пошкале энергии, чем дно зоны проводимости (шестой энергетической зоны) в точках L (их всего шесть). Электроны из экстремума Тперетекают в состояния с меньшей энергией, расположенные вточках L. В точках L образуются три электронные поверхностиФерми эллипсоидальной формы, а в точках Т — одна дырочнаяповерхность.Рис. 10.2. Энергетический спектр полуметалла Bi, в котором потолок валентной зоны в точках Т (их две) зоныБриллюэна расположен выше дна зоныпроводимости в точках L (их всегошесть).
Число свободных состояний вэкстремуме Т равно числу занятыхэлектронами состояний в точках L.Такие вещества с равным числом электронов и дырок, образованных за счет перекрытия зон, называются полуметаллами.§10.2. Концентрация носителей заряда и химическийпотенциал в полупроводниках с собственной проводимостьюВ полупроводнике с собственной проводимостью, например вгермании, каждый атом германия образует ковалентные связи счетырьмя соседними атомами. На каждую связь атом отдает одинэлектрон. Эти связующие электроны сосредоточены на линиях связи (линиях, соединяющих соседние атомы).
По энергии связующиеэлектроны находятся в валентной зоне. Под воздействием температуры один из связующих электронов может «оторваться». Тогда онполучает возможность свободно перемещаться по всему объемуполупроводника. Энергетически оторвавшийся электрон находитсяв зоне проводимости.На освободившееся место (дырку) на связи может переместиться электрон с другой связи. Таким образом, дырка также можетперемещаться по всему полупроводнику.
По энергии дырки находятся в валентной зоне.Гл. 10. Электроны и дырки в полупроводниках281Дырки формируют собственную дырочную энергетическуюзону со своим законом дисперсии. Поэтому в зонной модели, приотличных от нуля температурах, спектр собственного полупроводника (полупроводника с собственной проводимостью) состоит издвух зон: зоны проводимости, слабо заполненной реальными электронами, и почти заполненной валентной зоны, разделенных энергетической щелью Еg.Собственный полупроводник — это идеально чистый полупроводник, в котором при температуре Т = 0 К валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости – свободна. Под действиемтемпературы (или при оптическом возбуждении) часть электроновиз валентной зоны «перебрасывается» в зону проводимости, в результате чего образуется равное количество электронов и дырок.Вычислим концентрации электронов nc и дырок nv при Т ≠ 0 К.Будем отсчитывать энергию электронов εc от дна зоны проводимости Еc вверх, а энергию дырок εv от потолка валентной зоны Еv внизпо энергии (рис.
10.3).Рис. 10.3. Ферми-распределение вблизи уровня химического потенциала междупотолком валентной зоны Ev и дном зоны проводимости Ec.Тогда концентрацию электронов nc в зоне проводимости и дырок nv в валентной зоне при Т ≠ 0 можно записать в виде (используя(9.6)):∞∫ f ( Ec + ε c ) ρ c ( ε c ) d ε c ,(10.1)nv = ∫ ⎡⎣1 − f ( Ev − ε v )⎤⎦ ρ v ( ε v ) d ε v ,(10.2)nc =0∞0ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ282где f(Е) — функция распределения Ферми–Дирака (7.12), [1 –– f(Еv – εv)] — вероятность незаполнения электроном состояния сэнергией Е = Еv – εv, т.
е. вероятность обнаружения дырки в этомсостоянии, ρc, ρv — плотности состояний в зоне проводимости и ввалентной зоне, соответственно.Далее учтем интересную особенность функции Ферми–Дирака,а именно: вероятность найти дырку на энергетическом уровне, находящемся на расстоянии δ ниже уровня химического потенциалаμ, равна вероятности найти электрон с энергией на δ выше уровняμ (см.
задачу 7.2), то есть1 – f (μ – δ) = f (μ + δ).(10.3)Используя (10.3), преобразуем выражение (10.2):1 – f (Еv – εv) = 1 – f [μ – (εv – Еv + μ)] = f (εv + 2μ – Еv).Тогда можно записать:∞nv = ∫ f ( ε v + 2μ − Ev ) ρ v ( ε v ) d ε v .(10.4)0Как будет показано ниже, уровень химического потенциала μлежит в области энергетической щели, то есть между потолком валентной зоны Еv и дном зоны проводимости Еc.При kBT << Еg = Еc – Еv как электронный газ, так и дырочныйне вырождены, а, следовательно, функция распределения имеетбольцмановский вид (9.11):f ( E ) = exp [ − ( E − μ ) ( k BT )] .Используя также для плотности состояний выражение2m3 2ρ( E ) =E , вычислим концентрацию электронов:π2 = 3nc =2mc3 22 3π =∞⎛ εc + Ec − μ ⎞⎟ εc d εc =k BT⎠∫ exp ⎜⎝ −0=1 ⎛ 2mc ⎞⎜⎟2π2 ⎝ = 2 ⎠32∞⎛ μ − Ec ⎞32exp ⎜⎟ ( k BT ) ∫ e − z z dz .⎝ k BT ⎠0Гл.
10. Электроны и дырки в полупроводниках283∞Полученный интеграл ( ∫ e − z z t −1 dz = Γ(t ) — гамма-функция)0представляет собой интеграл Эйлера Г(1,5) второго рода. Учитываясвойство гамма функции Г(t+1) = t⋅ Г(t) и ее значение Г(1/2) = πпри t = 1/2, получаем Г(1,5) = π 2 . Окончательное выражение дляконцентрации электронов записывается в виде:32⎛ μ − Ec ⎞exp ⎜⎟.⎝ kBT ⎠Аналогично для концентрации дырок получаем⎛m k T ⎞nc = 2 ⎜ c B2 ⎟⎝ 2π= ⎠⎛m k T ⎞nv = 2 ⎜ v B2 ⎟⎝ 2π= ⎠32⎛ −μ + Evexp ⎜⎝ kBT⎞⎟.⎠(10.5)(10.6)Произведение концентраций (10.5) и (10.6)3⎛ Eg ⎞⎛ k T ⎞32nc nv = 4 ⎜ B 2 ⎟ ( mc mv ) exp ⎜ −(10.7)⎟⎝ 2π= ⎠⎝ kBT ⎠не зависит от положения уровня химического потенциала.В чистом полупроводнике с собственной проводимостьюконцентрации электронов и дырок равны.
Извлекая корень из(11.7), находим:⎛ k T ⎞nc = nv = 2 ⎜ B 2 ⎟⎝ 2π= ⎠32⎛Eg ⎞⎛ Eg ⎞⎟ = n0 exp ⎜ −⎟(⎝ 2kBT ⎠⎝ 2kBT ⎠10.8)( mc mv )3 4 exp ⎜ −где3234⎛ k T ⎞n0 = 2 ⎜ B 2 ⎟ ( mc mv ) .(10.9)⎝ 2 π= ⎠Таким образом, концентрация собственных носителей в полупроводнике (10.8) зависит как от температуры, так и от ширинызапрещенной зоны, и не зависит от положения уровня химическогопотенциала.Приравнивая (10.5) и (10.6), получаем значение химическогопотенциала в полупроводниках с собственной проводимостью:284ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХEc + Ev 3m+ kBT ln v .(10.10)24mcИз (10.10) следует, что при абсолютном нуле температурыуровень химического потенциала находится точно посерединемежду дном зоны проводимости и вершиной валентной зоны.
Тоже положение он занимает и при конечных температурах, еслиmc = mv. Если эффективные массы электронов и дырок не равны, тос ростом температуры уровень химического потенциала смещаетсяв сторону зоны с меньшей эффективной массой.Используя термодинамическое определение химическогопотенциала (см. §9.2), можно на качественном уровне показать,что уровень Ферми в чистых полупроводниках лежит в запрещенной зоне. Химический потенциал для электронной системы равенсреднему вероятностному изменению энергии системы при изменении числа частиц на единицу, то есть на один электрон. Если притемпературе Т = 0 К добавить в собственный полупроводник одинэлектрон (ΔN = 1), то он займет самое низкое свободное энергетическое состояние с энергией Ес. В то же время при уменьшениичисла частиц на единицу (ΔN = –1) энергия системы уменьшится наЕv.
Таким образом, среднее изменение энергии системы будет равно μ = ( Ec + Ev ) 2 . Поэтому, независимо от различия эффективныхмасс, при Т = 0 К химический потенциал всегда лежит точно в середине запрещенной зоны.При температуре Т ≠ 0 К ступенька распределения Ферми–Дирака размыта (рис.
10.4 а), поэтому в зоне проводимости могутпоявиться электроны, а в валентной зоне — дырки (свободные состояния).Рассмотрим случай, когда эффективная масса дырок mv меньше, чем эффективная масса электронов mc.. Соответствующие данному случаю плотности состояний (10.4) электронов и дырок изображены на рис. 10.4 б. Если бы уровень химического потенциалаостался в середине запрещенной зоны (рис. 10.4), то заполнениезон соответствовало бы изображенным на рис. 10.4 в функциям заполнения dnv dE и dnc dE (9.6). При этом, как видно нарис. 10.4 в, заштрихованные площади в валентной зоне и зоне проводимости, равные числу носителей в этих зонах, не одинаковые.Этого быть не может, так как в чистом полупроводнике числоэлектронов в зоне проводимости должно быть равно числу дырок ввалентной зоне.μ=Гл.
10. Электроны и дырки в полупроводниках285Данное противоречие устраняется, если сдвинуть уровень химического потенциала к потолку валентной зоны, то есть в сторонулегких носителей заряда (рис. 10.5 а–в). Величина сдвига химического потенциала μ должна точно соответствовать условию равенства концентраций электронов и дырок nc = nv.Рис. 10.4. Зависимости от энергии Евероятности заполнения электронамисостояний f ( E ) (а) плотности состояний (б) и плотности заполненияуровней энергии dn dE (в) для слу-чая mc < mv .Рис.
10.5. Условие равенства концентраций электронов и дырок nc = nv(равенство заштрихованных площадей(в) в валентной зоне и зоне проводимости) требует смещения уровня химического потенциала, изображенного нарис. 10.4, в сторону зоны с меньшейэффективной массой.Рассмотрим положение химического потенциала μ при Т ≠ 0 К,основываясь на его термодинамическом определении. Вносим одинэлектрон.
Он может занять одно из свободных электронных состояний, для которых f(Е) ≠ 0. Благодаря размытию ступеньки распределения Ферми–Дирака электрон может оказаться как в валент-286ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХной зоне, так и в зоне проводимости. При этом химический потенциал следует рассматривать как среднюю энергию вносимого электрона. Среднюю энергию вносимого электрона в валентной зоне изоне проводимости можно оценить по максимуму функций заполнения dn dE в этих зонах. Максимум dnc dE тяжелых электроновнаходится ближе к дну зоны проводимости, чем максимум легкихдырок к потолку валентной зоны.
Отсюда следует, что химическийпотенциал сдвинут в сторону более легких носителей заряда.Чем больше различие в эффективных массах, тем больше этотсдвиг. При равных массах mc = mv химический потенциал остаетсяв середине запрещенной зоны.Задача 10.1. Ширина энергетической щели в германииE g ≈ 0,75эВ .
При какой максимальной длине волны германий нач-нет поглощать свет?Решение. Поглощая фотон, электрон должен перейти в состояние с энергией, большей чем энергия исходного состояния на величину энергии фотона. Электроны валентной зоны могут изменитьсвою энергию как минимум на ширину энергетической щели Еg.Поэтому поглощение электромагнитных волн возможно только приэнергии фотонов =ω ≥ E g . При поглощении фотона с такой энергией образуется пара носителей заряда: электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне. Минимальная энергия фотона, равная Еg, — это минимальная энергия образования электрондырочной пары в полупроводнике с собственным типом проводимости.Используя закон дисперсии фотонов ω = ck и соотношенииеk = 2π / λ , окончательно находим λ ≤ 2π=c / E g = 1,6 ⋅ 10−6 м ; красная граница фотопроводимости λ max = 2π=c / E g = 1,6 ⋅ 10−6 м .Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
