В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В системе центра инерции электрон, позитрон и оба фотона имеют одинаковые энергии е = о4.Инварианты: т2 — в = 2е(е — )р~ сов О), т — и = 2е(е + )р~ сов О), 2 (88.12) где О угол между импульсами электрона и одного из фотонов. ') Эта формула, однако, неприменима, когда 44т < о, и нельзя пренебрегать кулоновым взаимодействием компонент пары (ср. конец З 94). центра, инерции) интервал изменения в определяется уравнением границы ви = т4.
Вместе с соотношением в + Г + и = 2т2 это дает — — — 444)4 — 4 ') 4. — 4 —.8 — 4)4)4 — 4 '). (888) 2 2 2 2 Интегрирование выражения (88.4) элементарно; результат надо еще разделить на 2, учитывая тождественность двух конечных чаетиц (фетеггев). Таким ОбраЗОМ, пОлучим ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛ51ЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ НАРЫ 417 Подставив (88.12) в (88.4), получим угловое распределение аннигиляционных фотонов +р (1+еп1 8) зр~в1в 9 ~ ~ (88 18) 4«~р~ '1 еа — р' соч' 0 (е' — р' сое' О)' ~ В ультрарелятивистском случае оно имеет симметричные максимумы в направлениях 0 = О и 0 = 55. Вблизи 0 = О (88.14) Полное сечение получается из (88.6)1 (88.15) 4Р в 1 — о а ° =~»У = '- '5 —:«5 Мы не будем рассматривать здесь в деталях поляризационные эффекты при аннигиляции ') .
Остановимся лишь на некоторых качественных особенностях этих эффектов в предельных случаях больших и малых скоростей п сталкивающихся частиц. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. В пределе и — » О отличный от нуля вклад в сечение даст лишь состояние с орбитальным моментом относительного движЕния 1 = О. НО О'-СОСтеяниЕ СиСтЕмы «ЭлсктрОН + пОЗитрОн» имеет отрицательную четность (см.:задачу к 8 27). В нечетных же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно ортогональны (сы. 8 9). Таким же свойством должны, следовательно, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные фотоны. Если электрон и позитрон поляризованы., то в том же нсрелятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция возможна лишь при антипараллельных спинах.
Действительно, поскольку аннигиляция происходит в О'-состоянии, полный момент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не имеет состояний с полным моментом 1 (сы. 8 9). В ультрарелятивистском пределе (11 — э 1) аш|игиляция продольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона возможна лишь при разных знаках их спиральпостей -) . В этом пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см.
конец 8 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон должны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует сделанное утверждение. ') См. МсМиа1«т И'. Н.1')Кеу. Моб. Раув. — 19б1. — Ъ'. 33. — Р. 8. ) ПОскольку направления импульеов чаетиц в систЕме цонтра инерции противоположны, различным по знаку спиральностям отвечают параллельные спины.
14 Л. Д. Ландау а Е.м, Лвфп1иц, том 1У 418 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спиральностями возникает в ульграрелятивистском случае лишь при учете членов, содержащих пи По порядку величины амплитуда этого процесса отличается множителем т/е от амплитуды аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отличается соответственно множителем (гп)е) Задача Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух фотонов (б.
Вге29 з. А. )4йее1ег, 1934). Р е ш е н и е. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляпии электронной нары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а нх связи с сечением различаются лишь тем, что теперь 12 = (й2Й2)2 = 1~/4. Поэтому 4а ер — — На, „(1 — 42п )2 и В системе центра инерции 11 = 4е2 = 4ь22) Л~ ар — — о 21а„„„, где о - скорость компонент пары.
При интегрировании с целью нахо>кдения полного сечения надо учесть, что ввиду нетождествонности двух конечных частиц (электрон и позитрон) ие надо делить результат на 2, как в случае аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции) 2 „е = ь а„„, = — '11 — ) ~Р— ь )1 — 2(2 — о )~. (1) 2 1 — е В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона Й1 и к2 летят навстречу друг другу, имеем (из инвариантности А2222) 2 Р21~ 32 = Р~ где р2 — энергия фотонов в системе центра инерции. Поскольку в этой системе энергии фотонов и компонент пары совпадают, то р2 = е = т/Я вЂ” п22.
Поэтому для порехода к системе К надо положить в 11) 8 89. Аннигиляция позитрония В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитропия. В 8 9 было показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии ~31, не может распасться на два фотона.
Более того, поскольку в состоянии ВЯ1 позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см. задачу к 8 27), то в силу теоремы чзарри (сьь 8 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, в состоянии 1ЯВ позитроний зарядово-четеи, и потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное чисто фотонов. 1 89 Аннигиляцит! Ноаитеония Основным процессом, определяющим время жизни позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в случае парапозитропия и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония (и.
Я. Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары. Импульсы электрона и позитрона в позитронии те 7т6, т. е. малы по сравнению с пих Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящихся в начале координат. Пусть П2 сечение двухфотонной аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе, согласно (88.11) '), Г527 тт ( .„) (89.1) где н — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции шв, умножив о2 на плотность потока, равную п~т)т(0)~~. Здесь тр(г)) нормированная на 1 волновая функция основного состояния позитрония: (89.2) (боровский радиус позитрония о в два раза больше радиуса атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы).
Эта вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спиновых состоянии системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции лишь одно (с полным олином О). Поэтому средняя вероятность распада тн2 связана с вероятностью распада парапозитропия ше соотношением тн2,„= тн9,74. Таким образом, нто = 4(ф(0)! (По.27),-то.
(89.3) Подставив значения величин из (89.1),(89.2), получим для продолжительности жизни парапозитропия то= . =123 10 — 1ос. (89.4) тпс2 ОВ Обратим внимание на то, что ширина уровня Го = 5527 ге мала по сравнению с его энергией ттте 2 а ~Е„„~ = = тс —. 462 Именно это обстоятельсгво и позволяет рассматривать позитроний как квазистационарную систему. ') Формулы (89Л) — (89.7) написаны в обычных единицах. 420 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ортопозитрония связана с усредненным по спинам сечением трех- фотонной аннигиляции свободной пары соотношением 4 4~ )( ~~2~ з ' з (89.5) (з)А относительный статистический вес состояния со спином 1).
Забегая вперед, укажем, что Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония ТГ=, =1,4.10 ~с. (89.7) 2(И2 — 9) тПВ'Об Неравенство Г1 « ~Е~В„~ в этом ш)учае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония. Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной пары (А. Оге, и'. Х. РОГВЕ11, 1949). Согласно (64.18) сечение рассматриваемого процесса в системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды формулой Г1пзз = и б(1ЕГ + 1с2+ 1сз)д(ГВГ +ГВ2+ГВз — 2т) х (2;)" ~М х ' ' ', (898) (2Х)Р2ю1 2М2 2юз (89.6) и етце пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов км К2, А:З. Соответствуюшую амплитуду запишем в виде МГ, = (4И) йех е(~)*е(~)*и( — рт)Я~И'п(р ), (89.9) причем, согласно (64.16), 1 = 2пà — е = Гизи, где н — относительная скорость позитрона и электрона (когоруГо предполагаем малой), 1см 1сз, 1сз и ГВМ ы2, ГВз..волновые вектоРы и частоты возяикающих фотонов; д-функции выражают законы сохранения энеРгии и импУльса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
