В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 75
Текст из файла (страница 75)
390 ВЗАИМОДВЙОТВИВ ЭЛВКТРОНОВ ГЛ. 1Х СР-инвариантности электромагнитных взаимодействий. Позитроний представляет собой истинно нейтральную систему, а потому его состояния характеризуются определенными зарядовой и комбинированной четностями. Последняя равна ( — 1)вт1 (см. задачу к 3 27); поскольку Я может иметь лишь два значения, О и 1, то сохранение комбинированной четности эквивалентно сохранению полного спина. При Я = 0 полный момент 2' совпадает с орбитальным.
При спине же Я = 1 и заданном 1 число 1 пробегает значения у, 1 х 1, соответственно чему каждый уровень (и, у) ортопозитрония расщепляется, вообще говоря, на три уровня. Поскольку значениям ! = 1' и 1 = 1 ~ 1 отвечают различные четности, гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Однако оператор возмущения (первый член в 1тз), вообще говоря, имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с 1 = = у + 1 и 1 = у — 1, при этом число / теряет, разумеется, строгий смысл орбитального момента. Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в позитронии (Б. Б.
Береетецкий, И. Я. Померанчйк, 1949). Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда нулю; поскольку в позитронии ~г Ррь] = ~г р ], оператор м~ — — ДО(~гРР «] — ~г Р ]) = О. Оператор же спинового магнитного момента Й. = Ро( -~ — — ) (84.3) Х~1 = аТ™, Х1-~ = 13;13-; 1 Х1о = у( -РР1- + -А-) Х/2 1 Хоо (О~-19 ет )1т) (84.4) где о и Д вЂ” спиновые функции одной частицы, соответствующие проекциям спина +',~~ и — 1,~~ (индексы «+В или « — В указывают, что функция относится к позитроиу или электрону). Из них первые две (~11 и К1. 1) -- одновременно и собственные функции оператора д„отвечающие собственному значению д, = О.
Функ- не пропорционален оператору полного спина Й = 1Цег Р— о" ), а операторы Й~ и д~ не коммутативны. Поэтому состояния с определенными значениями полного спина Б и его проекции Я, не являются, вообще говоря, собственными состояниями для магнитного момента. Состояния с заданными Я и 5, описываются спиновыми функциями тая„имеющими вид 391 8 84 позитгоний ции же у19 и уоо не являются собственными функциями р,,; та- ковыми являются кол1бинации 1 1 тг'2 —,(Х19+)Соо) = ыз-Р-, —,(Х19 — Хоо) = сг-А- (84.б) ту 2 Легко видеть, что единственными отличными от нуля элементами матрицы (Н'Я' ~р ~ЯЯв), вычисленными по функциям (84.4), являются элементы (84.6) В слабых магнитных полях (когда 14ОН « Ь, где Ь разность между энергиями уровней с Я = О и Я = 1) исходным приближением для вычисления зеемановского расщепления являются состояния с определенными значониями полного спина. В первом приближении это расщепление дается средним значением оператора энергии возмущения )уи = — йкН.
Но все диагональные матричные элементы оператора 14, (а тем самым и РВ), вычисленные по функциям (84.4), равны нулю. Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в позитронии отсутствует. В предельном случае сильных полей (ВОН » сх) можно пренебречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению определенных значений о'. Компоненты расщепленного уровня будут в этом случае соответствовать состояниям с определенными значениями )г, = ~2)го (описываемым функциями (84.5)), а величина их сдвига будет составлять ~2)зОН.
Задачи 1. Определить тонкую структуру уровней парапозитрония (В. и. Бересгпецкиб, 1949) ') . Р е ш е н и е, Искомая энергия расщепления уровня дается средними зна тениями поправочных членов в гамильтониапе (84.1), вычисленными по волновым функциям невозмущенных состояний с различными значениями У = 1 (равными О, 1, ..., и — 1).
При Я = О отличный от нуля вклад возникает только от Р) и второго члена в 14. Невозмущенные волновые функции (обозначим их через 6) удовлетворяют уравнению Шредингера ) и Ф= — г1Ф= ~Е4--) й, В= — —,, ') Вычисление тонкой структуры ортопозитрония см, Соколов А. А., Цье тввич В. Н.НЖЭТФ. — 1953.
— Т. 24. — С. 253. ) При вычислении удобно пользоваться атомными единицами. 392 ВЗЛИМОДЕЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ 1Х Поэтому р~~ = р1 (Е+ — ) 444 = (Е+ — ) 444 — 41443 — — 2 (~7 — ) ('Р4)1) = =( )' 1'1 ., 2 д4)2 Е 4- -) 4)4 -> 4хб(г)ф -Р— —. 'г 1.2 дг Среднее значение р4= (Е+- +4 04,(0)~ РΠ— бг3о. Г Г дЦ2 гу дг о Последний интеграл равен — ) )ф(0)) 4)о; поскольку 64(0) ~ 0 только при 1 = = О, а волновые функции Я-состояний сферически-симметричны, интеграл равен — 4кф(0)~~ и сокращается со вторым членом. Введя оператор орбитального момента 1 = (гр), запишем д211 2 д4) 1'4Р Г 1 1 21 + Е+ д,,дг, (,' г) ' Отсюда получаем для другого нужного нам среднего значения е4 — (гр)р6411 т = — 1 а' — 4) х = . г 2 Г,1дзтр 2 г" 1 дгэ 1Г 2 = — (Е+ — ) — 4В~61(0)~ — 1(1+ 1)г (при 1 = 0 последний член отсутствует).
Согласно известным формулам теории атома водорода (см. П1, (36.14), (36.16)) с учетом замены массы электрона т на пг/2 имеем ИОН' = 1 бщ, 8япв — 1 1 1 г — '= —,, г — 2= -2 (1 ф О). 2пз 2пз(21+ Ц' 4п21(1 + Ц(21 + 1) С помощью написанных формул получим для искомых уровней энергии парапознтропия 2. Определить разность энергий основных состояний (и = 1, 1 = О) орто-и парапозитрония. Р е ш он и е. Зависимость энергии от полного спина Я при 1 = 0 содержится лишь в среднем значении второго члена в 1(2 (первый же член обращаегся в нуль при усреднении по углам в сферически-симметричном Я-состоянии ) ). Основной уровень ортопозитрония (~31) лежит выше основного уровня парапозитрония ( Яо) на величину 1 Е( Я4) — Е( Яо) = — Π—, = 8,2 10 эВ. 12 62 ) Усреднение по углам должно производиться до интегрирования по г, как это видно из способа вычисления интеграла (83.14), приводящего к первому члену в 1(2. 1 Вв ВЗАИМОДЕЙОТВИВ АТОМОВ НА ДАЛВКИХ РАССТОЯНИЯХ 393 3 85.
Взаимодействие атомов на далеких расстояниях Между двумя нейтральными атомами, находящимися иа болыпих (по сравнению с их собственными размерами) расстояниях г, действуют силы притяжения. Обычное кваитовомеханическое вычисление этих сил (см. П1, 3 89) становится, однако, неприменимым иа слишком больших расстояниях. Дело в том, что в этом вычиш1еиии рассматривается лишь электростатическое взаимодействие, т. е, ие учитываются эффекты запаздывания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, пока расстояние 'г остается малым по сравнению с характерными длинами волн ЛВ в спектрах взаимодействующих атомов. В этом параграфе будет произведено вычисление, свободное от такого ограничения.
Поступим примерно так же, как в 3 83, т, е, будем вычислять в первом не исчезающем приближении амплитуду упругого (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух различных атомов. Полученное выражение сравним с амплитудой, которая получилась бы при описании взаимодействия атомов потеициальной эиергисй 11(г). В последием ш1учае первым ие исчезающим элементом о'-матрицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого приближения Я1) = — 1 ф 1(Г1)1(1 2(Г2)ЮЯЪ)~1(Г1)у2(Г2)д т16 Х2 Х х ехр~ — г(е1 + е2 — е1 — е2)2)й,. (85.1) Здесь у21, 1д2 и 1Г1, 1Г2 не зависЯщие От времени части волнОвых функций (плоских воли), описывающих поступательное движение двух атомов с начальным и конечными импульсами: е1, е2 и е'1, с~2 "- кинетические энергии этого движения; координаты г1 и г2 атомов как целого можно понимать как координаты их ядер, а расстояние г = ~Г1 — Г2~.
Временной интеграл в (85.1) дает, как обычно, д-фуикци1о, выражающую собой закон сохранения энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно формально рассл1атривать предельный случай бесконечно больших масс атомов; при задаипых их импульсах этому пределу отвечают равные нулю энергии е. Иначе можно сказать, что рассматриваются времена, малые по сравнению с периодами 1/е. Тогда (85.1) примет вид (85.2) Яу, = — г1 'Ф А гЮ(ГИ12(124 т1|' тг, где 1 — интервал интегрирования по времени. 394 ВзаимодкйотВВВ элкктРОВОВ гл. гх Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния можно при сделанных предположениях разбить на два этапа.
Сначала усредняем О'-оператор по волновым функциям неизменных (основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер г> и г2), а также по фотонному вакууму в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим величину., являющуюся функцией от расстояния между ядрами; обозначим ее через (О(г)) ') . Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл О>г = гто ~ тг' 2(ЯР))гго>гть2сс 2'1гт т2 ° (85.8) Сравнив с (85.2), мы увидим, что если получить выражение для (О'(г)) в виде (О'(г)) = — 44бг(г), то У(г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов. Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в проне>куточных состояниях могут быть возбуждены), обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для Я-оператора в виде разложения (72.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
