В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Согласно изложенным в з 65 правилам, для произвольных поляризационных состояний частиц квадрат ~Му,~ заменяется на ~Мй~и — г 16я~е Яр (р(") рылу Ял"'р(')р(тТ~ ) . (86.5) Здесь р~'~, р~" ---матрицы плотности начального и конечного электронов, р(у), р(ту то гке для фотонов; фотонные (тензорные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) подразумеваются; знак Бр относится именно к последним индексам. К этим же. индексам относится знак эрмитова сопряжения в с ределе 1У„, = З~Я~,З~.
461 1 86 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕК'ТРОНОМ Рассмотрим рассеяние неполяризовапного фотона на неполяризованном электроне, не интересуясь при этом их поляризациями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц достигается с помощью матриц плотности; Рл = Рл = — -ЮлгО Р' = -(УР+пе), Р' = -(УР'+т); (т) (т) 1 . (е) 1 (е) 1 и и 2 НО 2 2 переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осуществляется умножением еще на 2 2 = 4. По формуле (64.23) (в которой надо положить теперь 42 = 1 = -(8 — тв)2 см.
(64.15а)) получим для сечения 4 4 «1п = —, ор(('ур + Тп)64' ('ур+ т)66л С «юмощью формул (65.2а) находим, что Ялл — — Щю Отделив члены, переходящие друг в друга при замене Й (-~ — тн (и соответственно 8 «-~и), представим сечение в виде СЬ = «(1 Р, (2'(8, и) + 6(84 и) + 1(и, 8) + д'(и, 8)1, (е — те)е где обозначено )(Ее и) = Х 4(е — те)е х Ор (( ур + т) ул(ур + ук + т)у'(ур + т) у,( ~р + ук + т) ун), 6(8е и) = х 4(е — и«е) (и — тпе) х Вр ((«р'+ т) у" ( ур+ у(е+ еп)5Р( ур+ т)уи(ур — уез+ т) у,) (в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат будет зависеть лишь от инвариантных величин).
Суммирование по р и 44 выполняется с помощью формул (22.6), отбросив затем члены с нечетным числом множителей у, получим 1(8, и) =,, БР((УР')(УР+ У)е)(УР)(УР+ Уй) + + 4т2 ( ур+ у~) (-„~ —;р«) + т2(;р) (ур«) + 4т") Вычислив след с помощью формул (22.13) и выразив все величины через инварианты 8, и, найдем после простых преобразований )'(8, и) = (4тв — (8 — т )(и — тз) + 2т (8 — т )) .
(е — те)е 402 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Аналогичным образом вычисляется 8Х 8(В, и) = ™ 14т + ( — гттт) + (и — пгг)) . (В Втг)(и игг В результате для сечения получим ( -' "" 1--'(' -'. " -')),  — ттгг и — пйг 4 Аи — тг г — пй Г З где г, = езттт. Эта формула выражает сечение через инвариантные величины. С ее помощью легко выразить сечение через параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета. Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой электрон до столкновения тюкоился: р = (та, 0). Здесь  — т = 2тат, и — тп~ = — 2пгат'.
(86.7) Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде р+ А. — й' = р' и возведя его в квадрат, получим Р1à — Рй' — АА' = От откуда (в лабораторной системе) тп(аг — ь/) — итиг'(1 — сов д) = О, где д угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния: — — — = — (1 — совд) = О. (86.8) и' и тп Инвариант й 1= — 2И, = — 2итат'(1 — совд) = О. При заданной энергии ат находим (с помощью (86.8)) Ю = 2аг' т1 сов ту = — ат' до', до' = 2тт Вйп дед. Подстановка написанных выражений в (86.6) приводит к следующей фо1тмтуле для сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета: ато = —" ( — ) ( — + "— — Вш д) до' (86.9) (О.
К1егп, 1'. КгзЬгиа, 1929; ХХ. Е. Тамм, 1930). Поскольку угол д однозначно связан с ат' соотношением (86.8), сечение может быть выражено через энергито рассеянного фотоета ш: ГКтт = ттт 2 ~ — + — + ( — — ™) — 2т( — — — )~, (86.10) 404 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Первые члены разложения при х « 1 (нерелятивистский случай) дают и = 22ГГ~2 — ( )их+ — ) (ги р.).
(86.18) ТА 2 В лабораторной системе отсчета х = 2В2/т, (86.19) так что формулы (86.16)-(86.18) прямо дают зависимость сечения рассеяния на неподвижном электроне от энергии фотона. На рис. 13 дан график зависимости ст от В2/ГГИ Отметим, что в ультрарелятивистском шсучае сечение падает с увеличением энергии как в лабораторной системе отсчета (сс сс В2 1пь2), так и в 0,4 системе центра инерции х — 4сэ /т", сГ сс сэ 1пь2). Угловое же распределение в ультрарелятивистском случае носит в этих двух системах отсчета совершенно различный характер. В лабораторной системе дифференциальное сечение имеет резкий максимум в направлении вперед.
В узком конусе д <,/т/В2 имеем Н2 ь2 и сечение с)сс/с)о' г, (достигая значения г, при д — Р 0). Вне этого конуса сечение убывает, и в области д2 » т/сэ (где н2' — т/(1 — сов д)) имеем с)сГ Г,. т с)о' 2 22(1 — соВ д) т. е. сечение уменьшается в В2/222 раз. В системе же центра инерции дифференциальное сечение имеет максимум в направлении назад. При я — д « 1 имеем из (86.14) (би/3)Г2 1,0 О,б 0.2 4ы ьи2 — и ы2 2 — =1+ — (2à — 0) . т2 т2 т2 в сечении (86.6) ссст 82гге 2 т'с22 Р 4( — т2)(пд — и)  — В2 2 т2 Наибольший член ст = ~~' (1 — х) (и.
р.). (86.17) 3 Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обратном, ультрарелятивистском случае х » 1, и разложение формулы (86.16) дает 405 полягизлционныв ЭФФБкты откуда Йт = — ' ио 2 1 Ф (и — д)еюе/шз (86.20) Сечение дсг/до г~ в узком конусе зг — й < т/ьз, а вне его уменьшается по порядку величины в ш /ко раз. 8 87. Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эффекты Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и покажем, каким образом должны производиться вычисления с учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электронов.
Матрица плотности фотона выражается, согласно (8.17), с помощью пары единичных 4-векторов еП), ебз), удовлетворяющих условиям (8.16). В данном случае можно выбрать эти векторы единым образом для обоих фотонов. Это — введенные в з 70 4-векторы ') 00 А' 00 /:У" /:Р" (87.1) де РЛ / Л + (Л) яхт лрзт ч Р тг зтл ЛлиРР К / Х~е ' ' ' (87 2) Кл )ел+ ыл л ыл ~л, л ~л Величины ь)Р' в (86.5) даются формулой (86.4). Их можно рассматривать как компоненты 4-тепзора (в том смысле, что они образуют 4-тензор после образования величин Б'Я"~и, как говорят, ев обкладкаха). Все компоненты 4-тензора можно исчерпать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-вектора, например на определенные выше Р, Х, с), 7т. Поскольку тензоры рдг, рдг содержат только компоненты по Р и Х, фак- И' (ч) .
тически нам нужны будут компоненты Од тоже лишь по этим 4-векторам. ') Альтернативный способ вычисления состоит в том, чтобы с самого начала рассматриеать определенную систему отсчета (скажем, лабораторную) и ОВ для каждого фотона выбрать и качестве си~, е~ ~ дяа чисто пространственных (е = (О, е)) вЕктора, ортогональных пе отношению к импульсу фотона и по отношению друг к другу. При этом, однако, все вычисления будут производиться е трехмерной форме, а результат не будет иметь инвариантного вида.
406 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ Гл х Другими словами, достаточно искать в Я„, лишь ч.лены вида 01 = -атуз(уХ), (87.5) 2 Щ = тат+ — а (уХ), 1 2 Оо=-та„ Яг = — татз', б где аь = 1 1 в птз и тР' ') Выражение (87.3) со значениями Г87.3) соответствует виту (70.11) (70.13), установленному в 3 70 из общих соображений.
Помимо равенств 7з = 7е = О, следующих из У-инвариантности, здесь оказывается равной нулю еще одна инвариантная амплитуда (ге). Это свойство рассматриваемого приближения теории возмущений, и оно исчезло бы в более высоких приближениях. Я „= Це(е~ )е~ ) + е~ )е~ )) + с„)1(е~ )е~ ) + е~ )е~ ))— — »б)г (ер) е~г) — е~г) еП) ) + щ (ер) ер) — е~~) е~~) ); (87.3) остальные члены при подстановке в (86.5) все равно выпали бы. Величины с)о и с)3 являются скалярами -- в том же смысле, как и Яри есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы у лишь в винвариантных» комбинациях: 7Х и т.
п. В том же смысле Я~ и с)г -- псевдоскаляры (117 -- псевдовектор!) и должны содержать матрицу у'. НепосрРДСТВенпым проецИроВанИем Тснзора МИР иаХОДИМ 1гз ( П)РП) + Р12)е(г)) и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить Я через вза- имно ортогональные 4-векторы Р, з»г, О, Х: Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим пре- образованиям с помощью приведенных в 8 22 формул. Кроме того, можно сделать в ь)р' замены, которые не отразятся на результате при дальнейшем образовании произведения и'Яд~и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
