В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Например, поскольку и'(ур+ "ур')и = 2ти'и, и 7'(70)и = и )7" ( ур) + ( ур~)'уб]и = 2тп~и"~~и., то можно заменить в Я'"и слагаемые ур+ ур' — » 2т, 7'(уг4) » 2пгу~. (87.4) Опустив детали вычислений, приведем результат '): 407 1 87 полягнзацнонныв эФФБкты Для дальпей|ггих вгячислепий удобвго применить к б)нг тот же формальный прием, который был описав в 8 8 для матрицы плотности фотона: четыре компоненты тензора (87.3) по направленияьл еП), е1г) обьединим в двухрядную матрицу сЗ, которую затем разложим по матрицам Паули.
Аналогично формуле (8.18) получим Я = Яо+ Яст, ь4 = Ям Яг., Яз) (87.6) Что касается фигурирующего в (86.5) тензора сз „= 78Ят,78, то используя (87.3) и (87.5), легко убедиться (с помощью правил ((65.2а))), что его компоненты получаются из компонент Яр„заменой величин Яо, б)ы ... па б)о, Я„..., где Оо = бязо, бязг = б,)~ Ог = Ог, Оз = Оз, (87.7) и одновременной перестановкой индексов рм ') . В матричном виде это значит, что (87.8) Уточним теперь смысл 4-векторов е1 ), е1 ) в их отношении к поляризации фотонов. Для каждого из фотонов независимые направления поляризации будут определяться поперечными (по отношению к импульсу фотона 14) составляющими 3-векторов еП), е1г) ') .
Легко видеть, что как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе (системе покоя начального электрона) вектор Р лежит в плоскости 14 14', а вектор М перпендикулярен этой плоскости. Поэтому направление еП) имеет смысл поляризации перпендикулярно плоскости рассеяния, а направление е1~) .- поляризации в плоскости рассеяния. Надо также учесть, что параметры Стокса см (г, сз определяются по отношению к осям юря, образующим правовинтовую систему (с осью я вдоль направления 1с). Легко видеть, что для начального фотона такую систему составляют векторы Х, — Рт, 1с, а для конечного фотона векторы М, Р',, 14' (Рг, Р' составляющие Р, перпендикулярные соответственно 14 и )с').
Изменение знака е1 ) в матрице плотности фотона (8.17) эквивалентно изменению знака ~~ и (г. Поэтому матрицы плотности начального и конечного ') Для матрицы ф„в исходной форме (8б.4) мы имели бы просто О , = О „. Это свойство, однако, теряется в результате преобразований, включающих замены типа (87.4) н т. и. в) Продольные же компоненты е (как и временныо компоненты 4-векторов е) можно при атом просто игнорировать: их несущесгвенность обеспечивается калибровочной нпварнантностью. 408 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х фотонов, отнесенные к 4-ортам е111, е(21, будут Р (1- + От)~ 4 ((1~ сг~ (3)~ (87.9) Р ( ч )~ ь ( ь1~ ьг: ьз)' Теддер~ тензорный след (Т) ~.~ли (Т)Ц вычисляется как след матричного произведения матриц (87.6) (87.9) с помощью (33.5).
В результате получается ~Му,~г = 8лге4 Яр~(р1'~ Щр~'~Цо+ Р1В1 ЯР1В1С3) + + Ы+1 )(Р 3 Г2ор ~ь2+Р ь2Р Оо) '(Ф 4 )(Р ' ь4Р Ч+ + Е'И""а р(В%. -""Ю "В+""Ы'Вр(В) ж) + +Р(') (463)Р(В1(4'С3) — 1(й'](Р(В1 б1ор1'1Я вЂ” р1') СЭР~В%о)) (87 Ы) Рассеяние на неполяризованных электронах. Вычислим до конца сечение рассеяния поляризованных фотонов неполяризованным электроном, просуммированное по поляризациям конечного электрона. Для этого надо положить в (87.10) р' = -(Тр+т), р' = -(ур'+ьв) 2 2 и удвоить результат, который должен быть подставлеп вместо ~Му,~г в формулу для се.1ения (64.22) ы~н1 ~М ~г 32Л3 (Р— тг)3 (~р.-.
азимут в системе центра инерции или в лабораторной системе). Ряд членов в (87.10) обращается тождественно в нуль. Вычисление остальных членов приводит к следующему окончательному результату (в обозначениях (86.15)): 141Т = — ~И+ 2ГГ '"',~ ((~3 + © [ — ( — — — ) — ( — — — ) ] + (--- —,) ' —.(- -")("---) +(збз'(( — — — ) + ( — — — ) + — ~), (87.11) где ГБ сечение рассеяния неполяризованных фотонов, даваемое формулой (86.9); множитель 172 связан с тем, что в (87.11) нет суммирования по поляризациям конечного фотона.
499 1 87 ПОЛЯРИЗАЦИОННЫВ ЭФФЕКТЫ В лабораторной системе формула (87.11) принимает вид дп = — "Я до'(Го+ Гз(Сз+ ©+ ГЫЫ', + ГггЫг+ ГззСзСз), 4 ы т1о' = в1пдЮЖр, (87.12) где Го= —,+ — — зш д, Гз=зш д, м Рт г (87.13) Гы = 2созд, Ггг = ( — + — ) совд, Гзз = 1+ сов д (Г Гатш, 1949). Заметим, что хотя выражение (87.12) не содержит явной зависимости от азимута плоскости рассеяния у, но имеется неявная зависимость, поскольку параметры (м (г,Сз определяются относительно осей л., у, в, связанных с плоскостью рассеяния.
Напомним, что ось т для обоих фотонов одинакова и перпендикулярна плоскости рассеяния: х Ц ~1с1с~1, а оси у лежат в плоскости рассеяния; у Ц ~1с[1с1с')], у' $$ ~1с'~Ыс'Д. Взяв сумму сечений, различающихся знаком (~ (т. е. положив г~ = 0 н удвоив результат), мы получим полное (просуммированпое по поляризациям конечного фотона) сечение рассеяния поляризованного фотона на неполяризованном электроне.
Обозначив его через Йт((), имеем Йт(() = -г,( — ) ГЕ1о', (87.14) где Г = Го + (зГз = —, + — — (1 — ~з) в1п д. (87.15) Ш Мы видим, что сечение рассеяния фотонов, поляризованных перпендикулярно плоскости рассеяния (~з = 1), больше, чем для фотонов, поляризованных в плоскости рассеяния (~з = — 1).
От циркулярной же поляризации сечение не зависит. Оно не зависит также и от параметра ~ы Поэтому сечение рассеяния совпадает с сечением для неполяризованных фотонов, если отсутствует линейная поляризация относительно осей т или у ф = 0) или даже если имеется поляризация относительно направлений, составляющих 45' с этими осями. Аналогичными свойствами обладает сечение рассеяния неполяризованных фотонов с детектированием поляризованного фо- 410 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ Гл х тона. Это сечение 1обозначим его через 11!Т((')) получится из фор- мулы 187.12), если положить в ней с = О: Г1п(~') = -г,( — ) Рг)о, Р = Ро+(зРЗ. 4 187.16) Из формулы 187.12) можно найти также поляризацию вторичного фотона как такового; параметры этой поляризации обозначим через с!~) в отличие от детектируемой поляризации ( .
Согласно изложенным в 8 65 правилам величины ~, равны отношениям коэффициентов при (,' к члену, не содержащему ~: б(Х) 111 сс ~~1) ь11 сс ~~А вз + кззбз 187 17) В частности, при рассеянии неполяризованного фотона 1(1) 1ж 1~/ы +!1 /ы — З1п д 187.18) При этом (з ) О, т.е. вторичный фотон поляризуется перпендикулярно плоскости рассеяния. Циркулярная же поляризация вторичного фотона возникает, лишь если первичный фотон циркулярно поляризован: бз ~ О только при св ~ О. (у) Рассллотрим случай, когда падающий фотон полностью поляризован линейно ((в = О, (1~ + ~з~ = 1) ! и найдем сечение рассеяния, в котором детектируется тоже линейная поляризация вторичного фотона. Выразив параметры с, и (,' через компоненты векторов поляризации фотонов е и е, получим следующее выражение для сечения рассеяния: !1п = — '( — ) ( — + — — 2+ 4 сов~ 0)с!о'! 187.19) 4 ы ~/ ы где О угол между направлениями поляризации падающего и рассеянного фотонов ') .
Согласно этой формуле сечение ведет себя существенно различным образом в случаях, когда поляризации е и е' взаимно ') !рормулу !87Л9) саму по себе было бы проше получить, положив с самого начала в амплитуде рассеяния !8б.з) е = 10, е), е' = ГО, е') и произведя дальнейшее вычисление квадрата амплитуды в трехмерном виде 1Т. е. разделив временные и пространственные компоненты 4-векторов).
Усреднив соз 0 = 1ее') по направлениям е и е' 1с помощью 145.4а)) и удвоив сечение 1переход к суммированию по е ), мы вернемся, конечно, к !88,9) полягизхционныв эФФнкты перпендикулярны и когда они лежат в одной плоскости. Отличая эти два случая индексами З и 6, имеем в нерелятивистском пределе (ог « т, нг — ог) (87.20) атттг = О, атст3 = г сов Оде в согласии с классическими формулами. В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем ог» т, ы' — т,т(г — сов д). Здесь надо различать области больших и малых углов (нг/ог' велико или мало): Йт~ = Йтс = -г,— т4о = -ге, д )) —; 1 2г г 1 2 тпгго 2 тн 4 ы 4 ы(1 — соз д) (87.21) Йтл От Йт~ т е сов Оде д << Мы видим, что в области очень малых углов сечение рассеяния совпадает с классическим. Равенство же Йтг = Йт| при не слишком малых углах означает, что в этой области в ультра- релятивистском случае рассеянное излучение не поляризовано; подчеркнем, однако, что это заключение относится именно к линейно поляризованному падающему фотону: из (87.17) видно, что для циркулярно поляризованного фотона в ультрарелятивистском случае С2 — сов д Рассеяние на поляризованных электронах.
Для поляризованных электронов вычисление следов в формуле (87.10) становится очень громоздким, хотя и не представляет принципиальных затруднений. гт1ы приведем здесь некоторые окончательные резулыаты такого расчета ') . В общем случае сечение зависит как от поляризационных параметров начального и конечного фотонов с и с г так и от поляг ризаций начального н конечного электронов, характеризующихся векторами т, и т, . Зависимость сечения от каждого из этих г параметров линейна. Сечение имеет вид Йт = — Йтф (~) + „г, г 2 + — ' ( — ) д г (ьЯ6 + Г'й' + Н~Ъ + д'1г(' + С, Ы' +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
