В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 82
Текст из файла (страница 82)
426 ВЗХИМОДЕЙСТЕИЕ ЗЛЕКТРОИОВ О ФОТОИАМИ ГЛ Х Суммирование в (90.7) производится по всем конечным волновым функциям орГ, оно осуществляется с помощью равенства ояоГ(Г')уоГ(Г) = б(Г' — Г), Г выражающего полноту системы функций ору. В результате полу- чим ,2 ~оо. Г дш = — — / яягя сЫЕ е' (я' ~'1ЯЯ~(гз)Я(Гя)~2). (90.9) Если интегрирование производится по достаточно большому промежутку времени, можно ввести вместо 1я, 12 новые переменные т = Гя — Гы Я1 + Яо и в интеграле по яяо рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени.
Умножив ее на Гяьо, получим интенсивность 21 - — о о ) .-" И Ю' (1 о '-,)яо(1 - -') 212 . (22.12) Ультрарслятивистский электрон излучает в узкий конус под углами 0 т(е относительно его скорости у. Поэтому излучение в заданном направлении и = 1ЕГоьо формируется на участке траектории, па котороля ХГ поворачивается на угол т,Ге. Этот участок проходится за время т такое, что т~яг~ тьоо тГое << 1. Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разлагать все величины по степеням Оовт.
При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что 1 — пч - 0' - (ГГ2Гое) з. Если привести оператор Я~+Ц к виду произведения коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диагонального матричного элемента (2~...
~2) сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) соответствующих величин. Эта цель достигается следующим образоля. Согласно сказанному выше, в выражении для Я(о) надо учитывать некоммутатнвность электронных огяераторов лишь с оператором схр( — 21яг(1)), связанным с фотонным полем. Имеем (90.11) рехр( — 21сг) = схр( — 21сг) (р — 61я), Н(р) ехр ( — 21сг) = ехр ( — 21сг) Н (р — 61я) 427 1 за млгнито г огмознок излячвник Эти формулы .следствие того, что ехр( — г)сг) есть оператор сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90.11) выносим в (90.8) оператор ехр( — Лег(1)) налево и записываем фА) в виде б)(~) = ехр [ — 11сг(с)) А(с), Й(г) = / (схе*) '"' Р', (90.12) где Й' = Й вЂ” 6п/, р' = р — Яс.
Теперь бь)Я1 = Ав ехр(11сгг) ехр( — г1сгг)Л~ (90.13) (здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени ~1 = 6 — т/2 и 82 = 1 + т/2). Остается вычислитыгрои зведепие двух некомму тативных операторов ехр(11сгг) и ехр( — 11сг~ ). Само это произведение уже можно считать коммутативным с остальными множителями. Обозначим х' (т) = ехр( — ивт) ехр(11сгз) ехр( — 11сгг); (90.14) именно эта комбинация операторов входит в (90.10). По смыслу оператора ехр (гйт(Гх как оператора сдвига по времени имеем ехр(11сгя) = ехр (гй1 ехр(11сгг) ехр ( — 1Й вЂ” 1 . 6/ 6/ Подставив это выражение в (90.14) и учтя, что ехр(г1сг~) есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем Л к виду Ът) = ехр (г[Й вЂ” йо/) — ) схр ( — 1Й(рг — 61с) — "~. (90.15) Продиффсренцировав (90.15) по т и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, запишем ') — = — ' ехр 1з[Й вЂ” 6о/) — 1 [Й вЂ” йо~ — Й(рг — Яс)) х 6/ тЗ т х ехр ( — 1Н(рг — Яс) — 1 = — [Н вЂ” Ьп/ — Н(рв — Яс))Ь(т).
6 6 (90.10) После того как пекоммутативность операторов таким образом исполь:зована, можно заменить вое операторы соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан ') В силу сохранения энергии гейзенберговские операторы Й(р1) и Й(рз) совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Й не пишем. Но, конечно, Й(р~ — 6)с) отнюдь не совпадает с Й(рз — Ис). 428 взяимодвйствив элвктгонов с еотонями гл х Й энергией электрона е). Имеем тождественно е(р2 61с) = ((р2 Яс) + тп ~) = ((е — 6и1) + 26( ~е — 1ср2)1 Разность юе — 1ср2 = юе(1 — пчэ) мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1 — чп (т/е) . С 2 точностью до первого порядка по этой разности имеем е(р2 — Яс) е' + — 6(ю — 1сч2), где е' = е — 6ес.
Из (90.16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции 1 (т): 16 — = — 6(ы — ч21с) Ь. (90.17) Это уравнение должно решаться с очевидным начальным условием Л(0) = 1. Заметив, что т ч2ттт = Г2 — Г1, о получим Цт) = ехр (г — (1сг2 — 1сг1 — ют)) . (90.18) До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории электрона. Выразим теперь г2 — г1 в (90.18) через р1 с помощью уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. 11, ~ 21): р1 . еНт (р1Н) / е11т'1 Г2 Г1 = в1П + (1 сов ) еН е еН2 е Разлагая по степеням т, имеем отсюда 1с(г2 — г1) — ют — ют ((ч1п — 1) + т ' — т, 1 (90.19) еп(р1Н) 2е.
Н21 2е бе (в последнем члене положено пч1 — 1). Преобразуем остю1ьные множители в (90.13). Прямым раскрытием произведения в Л(е) (с матрицей ст из (21.20)) находим 11(1) = и1~7е*(А + г(Всг) ) твм (90.20) 190 лглгнитогорллознов излхчвнив где рг(2) = р(1) — Ис, опущены члены высших порядков по гп/е. Таким образом, окончательно имеем ЕХ11( — ЙЛ)(г~(~2 Сьг1Я = Л2К1Й(т), (90.21) Л2111 = Яр ' ((Аг — 1(В2сг))е) ~ ((А1 — 1(В1гг])е'). 2 2 Множители (1+ л",гг) гг2 — двУхРЯдные полЯРизационные матРицы плотности начального и конечного электронов. Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона.
В результате указанных операций получим после простого вычисления ') 2 ~ 2 е 2( ') (-) лоляр С требуемой точностью 2 т .2 т - т 1 2 2 г 2 2 чзчг = ч — — ч + — чч = 1 — — — — агат 4 4 ез 2 Подставив эти выражения в (90.21), а затем в (90.10), получим сг'г = — — аг дога(о„х ,1 я 2 (90.22) Эта формула дает спектральное и угловое распределение интенсивности из.лучепия. Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по доп.
Выбирая направление ч в качестве полярной оси с углом д между п и ч, имеем ич = псевд, с(о„= нлпдс(дйр, ') Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммировании но е; = (ч1е)(чге ) = чзчг — (члп)(чеп). Во при подстановке (90.21) в (90.10) можно произвести интегрирование по частям, заметив,что I ле '1 ле' сг / ле (члп) ехр ( — — 1сг|) = — — ехр ( — — 1сг1) г' еы лги (л г' и аналогично для члп.
В резульнате найдем, что для дальнейшего интегри- рования члп и члп можно заменить здесь единицей. 430 ВзхимодеЙстВНВ злектРОнОВ О Фотонхми ГЛ Х и иГГтеграл ГН ет,м Жа,/ХЕ' (90.23) (90.24) (А. И. Никишов, В. И. Ритце, 1967). Максимум в частотном распределении лежит при х 1; при т « 1 отсюда следует (90.1), а при т » 1 — (90.4). В классическом предельном случае имеем В бш « е, так что е' е, х (Ги/ГВВ) ~7(т/е); второй член в круглых скобках маи и (90.23) переходит в классическую формулу (74.13) (см. П). На рис.
15 изображены графики спектрального распределения при различных значениях т. Отложена величина 1 Н Щ„Е'(Ю/и,) как функция отношения Ги/ш„где ех 1 2е~ГГРх' 2е~н е' 2! -Р Х За ЗГИ При подстановке этого выражения в (90.22) мы получим два члена, показатели экспонент которых имеют разный порядок величины. Показатель экспоненты второго члена оказывается гораздо большим, поскольку содержит множитель 1+ о 2 и вместо малого множителя 1 — и — тз,1(2ез) в первом члене. Сместив контур интегрирования по т в нижнюю полуплоскость комплексного переменного т, можно сделать второй член малым и пренебречь им. После этого можно снова совместить контур интегрирования с вещественной осью. Из вывода видно. однако, что имеющийся теперь полюс в подынтегральном выражении при т = 0 должен обходиться снизу.
Таким образом, причем контур интегрирования выбирается указанным выше способом. Используя интегральное представление функции Эйри Ф (см. 1П, 3 Ь), нетрудно показать, что первьпл член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй к производной от нес. Окончательно находим 431 1оо МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛЕЧЕНИЕ Величина 7, есть классическая полная интенсивность излучения (ср. П, (74.2)). ол 17! о,з о,б О,б 0,2 од О,1 0,2 Об 10 1б ЗХ Рвс. 16 0 05 1 !б 2 20 Рис. 16 На рис. 16 изображен график функции 7(Х)(1ю,. При Х « 1 в интеграле существенна область т 1. Разлагая подынтегральное выражение по Х и интегрируя это разложение с помощью формулы ), г1О ь = - ' зР'-2 Аг (1 -г г) г (-" г -'), о полу чаем 1 =1ел 1 — Х+ 4ОХ 16 (90.26) При Х )> 1 в интеграле существенна область, в которой зг Хл'" 1, т. е.
02 « 1. В первом приближении можно поэтому заменить Ф'(т) на Ф'(О) = — 3НЧ'(2/3),1(2хггл), после чего интегрирование дает 32Г(2)3)ггго (ЗХ)лв = 0,37 — '"" ( НЕ ~ нб (90 27) 24362 6з 1 Нот I Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поляризации движущихся электронов (А. А. Соколов, И.
М. Терновг Для вычисления полной интенсивности излучения выражение (90.23) надо проинтегрировать по ы от 0 до б. Перейдем к интегрированию по т, заметив, .что йго=е 1— а следовательно, л меняется от 0 до ОО. Произведя в первом члене в (90.23) дважды интегрирование по частям, получим 2Агглбз 1 (1+ Хх "~)4 О 432 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х 1963).
Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность радиационного перехода с обращением направления спина. Положив в (90.21) 1„= — 1,1 = 1„]1,] = 1, получим ЙЗРЗ1 = (ВГВг) — (е*В1)(еВЙ)— — (е*(В11,]) (е[В21,]) — 1(1,е') (е(ВГВг]). Суммирование по поляризациям фотона дает после простых пре- образований ~ ЛгЛ1 = (В1Вг)(1 — (ьп) ) + (ьп)(пВ1)(ьВг) + е + (1, п) (пВг) (1,В1) — 1(~ — п(п1,) ) (ВГВг]. (90.28) Будем предполагать, что зт « 1, и будем искать лищь глав- иыи член разложения вероятности по степеням 6. Поскольку вы- ражение (90.28) (с В из (90.20)) уже содержит 62, то все остаю- щиеся (в том числе в показателе экспоненты в (90.18)) величины е можно заменить на е.
Разложив и Г т. т1 В1 = — ~п — »+ -»+» — ), ге 2 Ю / т. т1 Вг = — (п — » — — »+» — ), ге 2 е т Г2 — Г1 = т»+ — » 24 и подставив (90.28) в (90.21) и затем в (90.10)., найдем диффе- ренциальную вероятность перехода в единицу времени (Г1ю = = 111)6ГО). Она интегрируется с помощью формулы где в данном случае д,г г 21те т 41 ХО= Т, Х=Гг — Г1, х' =ХΠ— х =т — + 12 ) Вычисление приводит к результату (-)' . Х (1 + Зз,112)з — О10,, Х х [ — — — + ( — + — )(1,») — — '(1,(»»])1, О Йе Ю= —— т ГВЕ где сделана замена: е = тьзое)т, а контур интегрирования по е проходит ниже вещественной оси и замыкается в нижней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
