В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Выполнив это последнее интегрирование, получим 433 1 91 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В МАГНИТНОМ ПОЛК окончательно полную вероятность радиационного перехода с обращением спина; —.) — ) бъ'За 6~ /е15 з 1 2 2 8ъ'3 е 190.30) 16 ш'1 т) 11 9 ~ 15 ~е~ где (, = (и, (А = (Н/О. Эта формула пригодна как для электронов 1е ( О), так и для позитронов 1е ) О). Вероятность 190.30) не зависит от знака продольной поляризации (~, но зависит от знака (А. Поэтому и возникающая в результате излучения поляризация поперечна ') . Для электронов вероятность перехода из состояния со спином е1по полю» ((А = 1) в состояние со спином епротив поляа болыпе вероятности обратного перехода. Поэтому радиационная поляризация электронов направлена против поля, а ее степень в стационарном состоянии равна (при (~ = О) 1(~ = — ) — Г(з = ) 8А'З 0 92 ш1(1 = — Ц+ш1(а = Ц 15 Позитроны поляризуются 1с такой же степенью) в направлении по полю.
8 91. Образование пар фотоном в магнитном поле Образование электрон-позитронной пары фотоном в магнитном поле и магнитотормозное излучение два перекрестных канала одной и той же реакции. Поэтому амплитуда Му1 процесса образования пары получается из амплитуды тормозного излучения просто путем:замены Го, 1с -+ — Го, — 1с 51р+ — ет,— рФ, е,р -+ — е,— р 191.1) 1здесь с, р и еа, рт --энергии и импульсы электрона и позитрона в паре: с, р и е', р' — начальные и конечные энергии и импульсы электрона при тормозном излучении).
В терминах утлов и абсолютных значений преобразование импульсов есть )р) — + (р„)1 )р') — 1 )р. ), 0 — 1 тг — 0Ф, 0' — + О, 91 — 1 91 — 11, (91.2) где 0А. -- утлы между рА и 1с, 9з — угол между плоскостями 1с, рА и 1с, р . В случае тормозного излучения сечение процесса выра- ) Это обстоятельство, впрочем, ясно заранее: аксиальный вектор возникающей поляризации может бьггь направлен лишь вдоль единственного с)1игурирующего в задаче аксиального вектора Н.
434 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х жается через амп.литуду формулой ') г1а 'пвк йт = '~М~,~~ о(е — е' — ю) (91.3) 8(р)е'и (2к) в (см. (64.25)); д-функция устраняется интегрированием по е'. Помня, что в данном случае р' и )с независимые гтеременные, и замечая, что сг р = ~р ~е сге с1О, 1'~ = ~2 )~ 1о„, надо просто заменить 8(е — е' — ц) )зр'<~з~ -э ыг~р'~е' )ой )о' 1ы Тогда Йо = ~Му,~ — -- - г1окс)о'Йпь 8(2я)в)р) В случае же образования пары фотоном сечение выражается через амплитуду. согласно ЕЬ = ~МТ,~ ог(сс — еФ вЂ” е ) 8ме е+ (2я)в или, после исключения д-функции; ЕЬ = )Му,)Й~РР~~Р )с)о с)о с)е 8(2я)вы (91.5) Сравнив с (91.4), мы увидим, что для получения сечения обра- зования пары из сечения тормозного излучения надо произвести в последнем замену (91.1), умножить его на ы3 паl (91.6) ') В этом параграфе снова полагаем не только с = 1, но н б = 1.
е) Точнее, должно быть ы в1В д » ьк где д.— угол между 1с и Н: при д = О пары вообще не рождаются. Ниже налагаем д = я/2. и заменить до'дон на Мотало В ультрарелятивистском случае (сс» т) ') это можно сделать в формулах, полученных в предыдущем параграфе. При этом предполагается, что обе частицы пары являются ультрарелятивистскими; легко проследить, что в таком случае остаются справедливыми все использованные в 8 90 приближения. В частности, вероятность рождения пары неполяризованным фотоном, просу.ммированпую по проекциям спина алектрона и позитрона и проинтегрированную по направлениям вылета электрона, получим, произведя замену (91.Ц в формуле (90.22) (точ- 435 1 91 ОВРАЗОВАНИЬ ПАР ФОТОНОМ В МАГНН'ГНОМ ПОЛК нее.-. в выражении для Й1)В2), при этом 11зй = а22йл1о„заменяется на 11 р4.
з 4х2 х ! ~ еее 422 е~~(2 — е" (1 — ~АР+ — ~~2 )~д~, (91.7) где В! Р— — ~е~Н!!ВФ, и — единичный вектор в направлении импульса фотона, лежащего в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Интегрирование производится так же, как это было сделано в 2 90, причем (поскольку выражение 191.7) зависит только от угла между и и ААР) безразлично — .
интегрировать по !1о или по до„. Поэтому ответ можно получить непосредственно по аналогии с 190.23)! т е !4ех lх м2 где теперь ( В 2/3 тем ~е~Н22 Г Л~(е(НА!) )е)Не~.е те 1 т2е" 191.9) Полная вероятность рождения пары в еднниду времени получается интегрированием 191.8) по еь 1при 1ем! ввиду очевидной симметрии по отношению к е4 н е = В2 — ВТ, достаточно интегрировать от 0 до В2/2 и затем удвоить результат). Производя замену переменной интегрирования е+ на х и интегрируя первый член в 191.8) дважды по частям, получаем ~е~'Н / 21хме -Р1)м)Ф'1х) т2е 2!х / х 221!1х212 4/2е) !11 (4/20 212 191.10) 1А.
Н. Никин!Ов, В. И. Ритус, 1967). В предельном случае слабых полей 12е « 1) в интеграле 191.10) существенны значения х вблизи нижнего предела. Поскольку эти значения велики, можно воспользоваться асимптотическим выражением для функции Эйри 1 7 2 Ад Ф1х) — — ехр ( — -х ~ ) 2хи' 3 1см. П1, 2 Ь). Введя переменную интегрирования 9 = ххе — 41!Ае и положив у = 0 везде, где это возможно, получим в результате 436 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х ВЫ 1ИСЩРНИЯ ЗЗС~~Р~~Н с' 8 1 щ= ехр( — — ), гс«1. (91.11) 3„) Экспоненциальное убывание вероятности при зг — 1 0 отвечает невозможности рождения пар в классическом пределе. В обратном предельном случае сильных полей (Ас» 1) в интеграле (91.10) существен только второй член, причем он определяется областью значений х, в которой х сг 1ссгс « 1. В этой области можно заменить функцию Ф'(х) ее значением Ф'(О) =— 2гспг Использовав значение интеграла | Г(.
— В)Г(и) у' (у — ) с у = Г(Р) получим 3' ' 6Г (213) )В! Н 0 56 ~е~ Н Д 1 (91 12) 2гСг 7гс'Сгг(7/6) пггсгсг тпн'Сг Функция тгл(х)|~е~~зН имеет максимум, равный 0,11, при Зà — 11. я 92. Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивистский случай Этот и несколько следуюсцих параграфов посвящены ва.жному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкновения частиц. Начнем с нерв.лятивистского столкновения электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е.
рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра (А. Яоттег|еИ, 1931). Исходим из формулы (45.5) для вероятности дипольного излучения с)~ = — ~~ с1с ~~сггою (92.1) 2п В данном случае начальное и конечное состояния электрона относятся к непрерывному спектру, а частота фотона 1(2 г) (92.2) 2тп где р = тч и р' = ттс' начальный и конечный илспульсы электрона.
Если начальная и конечная волновые функции электрола нормированы на одну частицу в объеме И = 1, то выражение (92.1), умноженное на г12р'/(2н)а и деленное на плотность падающего потока., н/1' = гд даст сечение г1окр излучения фотона 1с в телесный угол г1ои с рассеянием электрона в интервал состояний г1 р. Заменив матричный элемент дипольного момента е1 = ег матричным элементом импульса согласно 1 е е11г — . Р1г г запишем выражение для сечения в виде ') г1гт1гр — —,' ~Е ру,~~йО~,г1' р, (92.3) (2я)гтр где ру, = 4~рг)г,г1вх = — г г)г~ЯФге1дх. В КНЧЕСтВЕ Угг И гиУ НаДО ВОСПОЛЬЗОВатЬСЯ ТОЧНЫМИ ВОЛНОВЫМИ функциями в кулоповом поле притяжения, причем теми функци- ями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сфери- ческую волны; в угу сферическая волна должна быть сходящейся, а в уг, расходящейся (см.
П1г 3 136). Эти функции имеют вид о е г7гг = А;е'Р'Г(ги, 1, г(рг — рг)), и= (92А) фу = А7е1р'Г( — ги'г 1, — г(р'г+ р'г)), и' = ™ р' с нормировочными коэффициентами А, = е г21'(1 — ги), А7 = е 'г~т(1+гир). (92.5) Заметив, что у Г(ги, 1, г(рг — рг)) = 21 р- — р) Г = — — ( — ) .Г г 1 г р/дг1 г г др и запишем юг)г; в виде зг7т1'г = гРг)гг Аге — ( — ) др и При умножении на г)г* и интегрировании первый член обращает- ся в нуль ввиду ортогональности угг и ф1. Поэтому для матрич- ного элемента ру, имеем д,У ру, = гАгАур — ', д1г (92.6) .7 = — Г(ги', 1г г(Р'г+ Р'г))Г(ги, 1, г(РТ вЂ” Рг))г1зхг (92.7) Ч=Р Р ') В этом параграфе обозначаем р = ~р~, р' = )р'~.
1 аа ТОРЫОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИВ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 437 438 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х После этого сечение гЬР— — — '~ру,~ —" = — '" ~ру;~ Йьх1ор . Згир (2гг)е бязр (92. 12) ') Вычисления см, )г'егг)аггее,. А.,Г,ГР1гуе. Кеу. — 1954. — Уг. 93. — Р. 785. Мы вынесли дггдр из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании з' величины и, и', Ч должны рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить гг и Ч через р. Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат '): ,7 = Вг'(4м', 4гг, 1, е)г РГ = 4ле ЯР( Ч2 2ЧР) ге(Ч2 2ЧРг) ги ( 2)ге 2 Ч (рр' -Р РР') — 2(ЧР) (ЧР ) (92.8) (ЧЯ вЂ” 2ЧР')(ЧЯ+ 2ЧР) Здесь г (1м', Ы, 1, е) — полная гипергеометрическая функция.
После дифференцирования в (92.6) можно положить Ч = р'— — р; при этом е = — 2Р 1Р, Ч2 = (р — р') (1 — е) (92.9) (Р— Р')' (г < О). Отметим также, что — Ч вЂ” 2с1р = с1 — 2Чр' = р — р' ) О. В резулыате находим для матричного элемента следующее окончательное выражение: 8..— " ~р з-р", -й т") х (1 — е)г(" ') Г(гггрЧР(е) + (1 — е)Р'(е)(р'р — рр')1, (92 10) где для краткости обозначено р'(Е) = тг(гм ., 4и, 1, е). (92.11) Сечение получается подстановкой (92.10) в (92.3), но обгцая формула очень громоздка и трудно обозрима.
Поэтому мы сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излучения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона. Интегрирование по дои и суммирование по поляризациям фотона сводится к усреднению по всем направлениям е и умножению на 2. 4л, т. е. к замене 8л е,еег1о~, -+ — б,ы 1 92 тоРыозное излученив ннРелятинистский случАЙ 439 Квадрат ~рургаз вычисляем, используя (92.9)-(92.11) и учитывая, что )Г(1 — ми) ! где г ° гег и= р 6о' ге и = лм р'=,р -г р, ') Формулы (92.15) — (92.25) пинаем н обычных единицах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
