В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Получаем 2 2 х~(Хег)грнг (р + р')г(р — рр)'(1 — е- г "')(ег" — Ц М' — 4Р'Р+ г'+' ' (РР'* — Р*Р'))~ (92.13) ДлЯ интегРиРованиЯ сечениЯ (92.12) е(ор — — 2ЯЗ)пде(д пеРейдем от переменной д (угол рассеяния) к переменной хр — г'~г (р р)г р Л с1тобы взять интеграл по р)а, преобразуем выражение в фигурных скобках в (92.13). Согласно дифференциальному уравнению гипергеометрических функций (см. Ш, (е. 2)) имеем Я(1 — Я) Рн + (1 — (1 + ьи + ги') з) Р' + ии'Р = 9, н(1 — я)РН + (1 — (1 — ги — ги')н)Р' + ии'Р* = О. Умножив эти два уравнения соответственно на Р* и Р и сложив их, получим (1 — и) ~ — н(Р'Г* + Р' Р) — 2Я~Р'~~ + ~4г + г(и -Р и )г(Рр*Р + РрР„) + 2ии ~Р~21 Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92.13) равно ( ) — н(РРР* ., РР*Р) (92.
14) и интегрируется непосредственно. Собрав полученные формулы, найдем окончательное выра>кение для сечения тормозного излучения в интервале частот део ') 54х ~2 2 т с р 1 ( н ~Р(~)~2) 4»' р ( у)г (1 р Кыи )( г П 1 гчр / (92.15) 440 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости и и и' на- столько велики, что и « 1, м' « 1 (но, разумеется, по-прежнему н « 1, .так что УГт « и « 1; эГо возможно лишь для малого Я). Для вычисления в этом случае производной Г (4)) воспользуемся формулой — Г(ГГ, (3, 7, г) = — ~Г(гх + 1,,3 + 1, 7 + 1, В), 4х ч которую легко получить простым дифференцированием гипер- геометрического ряда.
Имеем Г'(~) = гм ги'Г(1, 1, 2, ~) = — 1п(1 — () (последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответ- ствующих рядов). Для самой же функции Г(с) имеем просто Г® = Г(0, О, 1, ~) = 1. В результате из (92.15) находим дсг = — У~стг~ — 1п — ' << 1 << 1. (92.16) З Г2,,„' В, ' а, Ъ!алость и и и' есть как раз ушГовие применимости борнов- ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92.16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см.
задачу Ц. Пусть теперь быстрый (и « 1) электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что В' « и и и' может быть не малым. Тогда — ~ — 4р')р = 4и7'и' « 1, Г(~) — Г(гм', О, 1, ~) = 1, Г'(~) — — ии'Г(1+ ~л/, 1, 2, ~) — мм', и сечение 3 АВ/ 1 — ехр( — 2ЛЯЕ~1ВВ') и «1, ~1. Ьи ЙВ' При и' « 1 эта формула дает такое же предельное выражение г дГГ„= 2272 как и формула (92.16) при В' « о.Поэтому формулы (92.16), (92.17) вместе перекрывают (при и « 1) весь диапазон значений и'.
1 22 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 441 При Н2 — + ц2о (где й2о2о = 1п12')2) скорость е' †0 и и' -+ ОО. В этом пределе (92.17) дает ,1 128куз 2 2 (2 й2с)о2 (92 18) 3 3 С О П2222 Таким образом, с22Т 2221о2 стремится при Н2 — э Н2о к конечному пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде соображениями, аналогичными изложенным в т. П1, з 147.
Физически оно свЯзано с тем, что частота о2 = Н2е ЯвлЯетсЯ гРаниЦей лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излучить также и частотУ а2 > о2о, пеРейДЯ в свЯзанное состоЯние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний.
Поэтому граница., отделяющая непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой. Перейдем к случаю, когда оба параметра и, 22' >) 1. В этоы случае движение как начального, так и конечного электронов квазиклассично. Мы будем считать, что р2!(2т) )ко; тогда нам 1юнадобится асимптотическое выражение для функции 1=1 .Р'(~) при и, ь~ — э со и ~ 1 (более точное условие будет сформулировано ниже, см. Рис. 17 (92.24) ) . Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции (е. 3) (см. П1), которое запишем в виде 22Г2 2; 2 1 б) Р ф 11аи' — 121 1) — счи' 21 1~) — ги'112 2я1 .) с (92.19) где введено обозначение т) = 227'12, О < т) < 1, так что (92.20) В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис.
17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки 1 = 0 и 8 = 1 ') . ') Для гипергеометрической функции Г(О, 22, у, Д) контур должен быть выбран так, чтобы при его обходе функция возвращалась к исходному значению. Прн целом т (в данном щ2учае т = 1) указанный контур зтому условию удовлетворяет. 442 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Е = е'1(") —, /(1) = 11п (92.21) 2В1 ./ н (1 — 1)В(1 — с1) вычисляем методом перевала.
Перевальная точка 1о определя- ется условием /'(1е) = О, откуда 1е = (1 — т))/2. В этой точке, однако, .обращается в нуль также и производная /В(1е), так что надо писать /'(1е) = 2ят) + г(1+ й) 1п — ", а = — /л'(1о) = 1-ЬВ 21 (1 — ч')' ' Предэкспоненциальный же множитель 1/1 в подынтегральпом выражении пиГпем в виде 1 1 т 1 Го ГВ (ограничиться членом 1/8е здесь нельзя, так как это привело бы к обращению в нуль фигурирующей в (92.15) производной Г1~Е(С)~2/Щ).
Таким образом, находим, после очевидной подста- новки в интегралах, Е = ехр( — ИГ)и'+ и'У(1о)) х 1 2ВНВ(аи') нз с~В /ЗДТ+ теГВ /ЗДТ 1 (<м)нз 1 (92. 22) Интегралы здесь равны соответственно 2 сов — *ГЬ =, 2 1 ханш — *ГЬ = Зл'Г(2/з). Зибер(В/,) ! о о Аналогичным образом вычисляется производная Е'(с), согласно (92.19) она дается интегралом, отличающимся от (92.21) лишь При и, и' )> 1 значение подынтегрального выражения ГГа нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки 4 = О сверху вниз подынтегральное выражение умножается на малый множитель ехр( — 2яг)и'), а при обходе точки 2 = 1 снизу вверх оно умножается на ехр(2лГ)и').
Интеграл 1 92 тОРмозное излучение.неРелятивистский слу*ллй 443 заменой предэкспоненциальпого множителя 1/21 на лг'/(1 — (2). После этого простое вычисление приводит к результату гл ~Р~С) ~2 (1- Ч)'«' гс6 4 'З Наконец, подставив это выражение в формулу (92.15), найдем, с требуемой точностью, следующий простой результат: 16 г~2 2пг с гс«2 (92.23) Зв «Рг 22 Условие применимости этой формулы, т. е. условие применимости асимптотического выражения (92.23), состоит в требовании малости в последнем второго члена по сравнению с первым: (1— — 21)р» 1, или после выражения параглетров гнпергеометрической функции через физические величины: Ю» — «в (92.24) 7«г Условие (92.24) совпадает с условием, определяющим «высокочастотный предел» прн классическом излучении в кулоновом поле притяжения, а величина ггсадгт с дсгм из (92.23) совпадает с выражением (70.22) (см.
П) для «эффективного торможения' в этом пределе. Этот результат нуждается в некотором обсуждении. Может показаться, что для применимости классической формулы излучения требуется, кроме квазиклассичности движения, также и малость энергии кванта по сравнению с энергией электРона, т. е. Условие Гка «лппзгг2, что не пРеДполагалось пРи выводе (92.23). В действительности, однако, значение Йга должно быть мало не но сравнению с энергией электрона на бесконечности, а по сравнению с его кинетической энергией на том участке траектории, где в основном происходит излучение. Эта энергия горселдо болыпе начальной из-за ускорения электрона в поле иона. Действительно, излучение высоких частот происходит в основном на малых расстояниях от иона, где п(г) Лгг са.
(92.25) (Мы обозначили через и(т) скорость электрона на расстоянии г от иона, в отличие от скорости п на бесконечности.) Учитывая, что при этом 2е (т тп (л), находим, что кинетическая энергия на участке, где происходит излучение; ту (г) т, (мл« ' тп '«гя«~' ~ пгпг г ° г,г 2 2 глг 2 2 т 2 тпг 2 ПоэтомУ излУчение Даже кванта с энеРгией поРЯДка тп2гг2 не меняет существенно движения на участке излучения и дополнительного условия малости Бса пе требуется.
ВзаимодеЙстнне электРОнОВ О Фотонами ГЛ Х Задачи 1. Найти в бориовскол! приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух частиц с различными отно1пениями ег'т. Р е го е н и е. Дипольный момент двух частиц с зарядами е1, ег и массами тл, гпг в системе их центра инерции равен Ш 1 го 2 гдер=, г=гл т! + 'тг гг. Отсюда й=(" Матричный элемвнт 2 !2 р — р НР = - — (й)Р 222 2р Отметим также, что движешле на участке 192.25) при заданным моменте импульса И не зависит от начальной энергии. Соответственно и энергия, излучаемая при пролете по траектории (обозначаемая в П, 8 70 как дЕ„), зависит только от 1.
Сечение !1!т можно получить, умножая вероятность излучения !2ОФ/!лог на 2нр21р 1р прицельное расстояние) и интегрируя по всем р. Поскольку в квазиклассическом случае рг1р = 62Ы,21плзн2), это приводит к зависимости Йт = 122н, соответствующей 192.23). Приведенное рассуждение объясняет, лючему в эту формулу входит именно начальная 1а не конечная) скорость электрона. Для того чтобы перейти к классическим формулам во всей области 11 — й)и 1, и )> 1, надо было бы найти асимптотику, гипергеометрической функции в условиях близости перевальной точки к особой точке 1 = О; мы не будем останавливаться здесь на этом ввиду очевидности окончательного результата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
