В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Везгзе, И'. НезНегз 1934). Таким же преобразованием получим из (93.9) распределение компонент пары по энергиям: 2 41сг,т = к' гтг,—,деФ ( — — — 2ЕФЕ 2, + 2,2 Ртр — 1 4 Рт "Р— з 2Г ет е 1~Л +2П (4 — +1Т вЂ” — — + Р— Ре Ртр— , з з +~1 +,, з (ЕФŠ— +Рэ-Р- — пт еэе-)— вез е — ы 2 2 2 2 2 ЗВ т ы (1 ете — Рт+1 те- — Р— )~~ +ртр +тз,, еь+ря ете — р„р 4- пз' ея — Ря (94.2) Поскольку полученные формулы основаны на борновском приближении, они справедливы при условиях Яе 44ВФ « 1. Отме- 2 тим, что симметричность формул (94.1),(94.2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях.
') О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же литературу, которая была указана в 8 93 для тормозного излучения. при столкновении электрона с ядром (Я+ е — + Я+ с+ у) - два перекрестных канала одной и той же реакции. В 8 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому.
В данном случае, применив эти правила к формуле (93.8), получим следующее выражение для дифференциального сечения образования пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризациям компонент пары '); 461 1 94 ОВРАЗОВАННЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЬ ЯДРА 4 йг = — 7 СТГ, 'Р С)ЕР Х С .44 х 6~ 11 + 6~ )1 11 + (='+ =е-) + 61)! 2е~е 11+ 6! И1 4- 61) 1д~д 41д~41д 41ео, 11 + 64 И1 + 6' ) 3 194.3) причем — = 62 + 62 — 26 6 сов!р+ т2 (1+ 6Р + 1+ . (94.4) т 1 2е, 2е Распределение по энергиям в этом случае: 414г — 4~2стгзьет (е~~ + е2 + 2е е ) ()п 2е+е 1) )у р ) 194.5) ИнтегРиРование этого выРажениЯ по ет 1в пРеделах от т до о!) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энергии '): О = — х ог„, ~1п — — — ), 26 2 2 !' 2ь4 1091 9 " ео 42 а!» гп.
194.6) Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений д и! /е. Этому соответствуют теперь углы, для ко- торых т ~ ~ ( т е е (вместо !р < пт/е в 193.15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют обратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него.
Вблизи порога реакции 1о! — 4 2т) борновское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заряженных частиц, имеющихся в конечном состоянии 1ядро и пара). Симметрия по отношению к электрону 1притягивающемуся ') Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость формулы !94.5) при малых ев — т несун!ественна. В ультрарелятивистском случае (ет » п4) электрон и позитрон вылетают под углами ОА.
т/е~ к направлению падающего отона. Угловос распределение дается формулой, аналогичной 93.13): 462 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х к ядру) и к позитрону (отталкигающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает. Если у «ы — 2™«1 (94.7) Ф 2,2 йГ = ' Р "Р (ра э)п 0Ф+р2 ейп д )Г1ОФГ1о Г1Е . (94.8) 642Г2 тВ После интегрирования по углам 2 2 ,1 2 У2 2РФР— (Р+Р— ) 1 6 ГВВ 2 2 ' (В2 — 2т) ЗВ22 ВИФ. (94.9) Наконец, интегрируя по еФ (в пределах от т до В2 — т), полу.чаем полное сечение (94.
10) Если относительная скорость но компонент рождающейся пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Опо становится существенным, когДа но поРЯДка (или меньше) скоРости частиЦы в свЯзанном состоянии электрона и позитрона (позитроний): (94.11) Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары.
На диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны виртуальные импульсы т. Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном 1/т. Между тем волновая функция их относительного движения 2)2(г) существенно меняется лишь на расстояниях 2 1/(т226) Ц(гпсг), т. е. больших по сравнению с 1/т. Поэтому учет взаимодействия частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода множителя 2Р*(0). Соответственно дифференциальное сечение умножится на ~2)2*(0) ~~, т.
е. на 2ВО/ВВ (94.12) 1  — 2 ~!"2 то борновское приближение еще применимо. При нерелятивистских энергиях пары а2 2т» рФ, поэтому 9 В2. В (94.1) можно положить везде еФ = 2ГФ = т, а2 = 2т, после че~ о эта формула сводится к выражению 5 Эа теОРия РО5кдеии5! НАР. ультРАРел5и!'ивистскии случАЙ 463 (см. Ш, (136.11)). Относительная скорость двух частиц есть ско- рость одной из них в системе покоя друсой. Сравнив значения инварианта ртири в этой системе и в лабораторной системе (си- стеме покоя ядра), получим 7В , = е-,"е — Рьр— У71 — В7 О откуда можно найти ее. Если рт и р близки к друг к другу по абсолютному значению и направлению, то для ео получается приближенная формула 2 Р 02+ с77т 17 ) ЕО = —., (94.13) применимая при пв « 1; р = (рч + р )7727 е = (еь + е )772, д — угол между р и р Поправка в сечении, определяемая формулами (94.12), (94.13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому максимуму при р т — р 3 95.
Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борновского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия ес! « 1. В 3 95, 96 излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е, справедливая и при е се 1 (Н. А.
ВЕ07е7 5. Мае7777оп7 1954). При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конечный электрон или компоненты пары) ультрарелятивистские; их энергия е» ьм Мы видели, что в ультрарелятивистском случае обе частицы лет5п под малыми углами (О, 0' или От, 0 ) к направлению фо:0< .Т,с й.'о р; в ° й1 го) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов. Передача импульса ядру в этой области: 9 ьм Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры р 179 1777п, т. е. «болыпие» расстояния. На таких расстояниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в ~ 39.
Изложим соответствующие вычисления для рождения пар. 9 95 теОРиЯ РО>кдения ИАР. УльтРАРелятивистский слУИАЙ 465 основной член в (ае)у; оказывается малым, а поправочные члены одного порядка величины с ним. Подставляя (95.3),(95.4) в (95.2) и пренебрегая членами - 1/(ете ), находим Мв; = и'(р )((еа)1+ (еа)(а1т) + (а1 )(еа))и( — р, ), 2 /Г Г (95.5) где Х = СРР~С~ ~ = я /(ЕЬяи), (95.6) тт — гяттт;* Ат,,13 1т — — / е 'ч'г' тзгГтс1'х, 1 = / е ч"(туГ ) Г,й х, 2вт 1 2Е 1 (95.7) с1 = рт+ р — 1с (К и Г~. обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95.3) и (95.4)). Сразу же отметим, что интегралы 1, 14О 1 связаны одним тождеством: из имеем с11+ 2Е11ч. + 2Е .1 = О.
(95.8) Квадрат ~ЛХ7;~2 усредняем по поляризациям падающего фо- тона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитро- на ') . Это осуществляется заменой тензора; 1 1с е,ее — з — (ба — п,пе), п = —, и биспинорных произведений: иаиа — з 2рв = (е~"~о — рв у ~ из). Заменив также а = у 7, найдем /Му;/~ — э (Ярр йсрЯ вЂ” Зрр (пО)рч (пЩ1, а (1) о(1) Ю = ~1* — 7'у( у1* ) — ~'М71' ) ) Вычисчеиия с учетом поляризации всех частиц см. Обмен Н., Лсахнаоп Ь.ОРпув. Веу. —.
1989.. - 'у". 114.. Р. 887, а также указанную на с. 484 книгу В. Я. Байера, В, М. Каткова и В. С. Фадина. 466 взаимодействие элвктгонов с тотонями гл х Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений, для ийтересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов В„- ига «1. (95.9) Введем вспомогательные векторы: б = — (рс)ш, б.с = ~+0~ (95.10) гп (индекс 4 означает составляющую, перпендикулярную направлению 1с).
С их помощью ответ записывается в виде 2 2 (95.11) Здесь учтено, что 1 -1т — 1 (как это видно из (95.8)), и е та опущены члены более высокого порядка по гп(а. Интегралы 1-с можно представить в виде .р, дУ -с = г 2с дра 1 = Е( — Ы, 1, г(рсг+ ртг))Р(ги, 1, г(р т+ р г))д'х. (95. 12) Интеграл,7 выражается через полную гипергеометрическую функцию '): 1 Я РеЧ Р( 1 ) 4хГ ' — 2 Ч' се — 2р-и 22 (ртр — ртр ) т 2(ртЧ)(р Ч) (сг 2ртЧ) (еа 2р Ч) (95.13) 1я = —,— ( — '+) (~ис1( Р(в) +1 — Р (в)(с1~~ — птбь)~.
(95.14) ') Проведение вычисаений см. в указанной на с. 438 статье Нордсика. Дифференцирование по рс должно производиться при заданном параметре с1, и лишь затем можно положить с1 = р4 + р — 1с. Приведем резульгат в форме, в которой уже произведены пре|гебрежешля, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям (95.9): з ЗВ теоРи>1 Ро>клени>1 ИАР. УльтРАРел>г!'иаистскии слУчАЙ 467 Здесь введены обозначения: е = 1 — — ~Д + !)~> гп> .г'(я) = г'( — ги, ги, 1> е) (95.15) ,г 4( ки ) Ут 5.2 'г' 5 15т,б 15,д,ге, ~Ггй( ) х х [ — 2ете (д'>б~~ + б~б~) +агй(б~ + 5~)(т~ +2(е'> +к~ ) х х дч.д б„б соегг>]+ ~ ~— +~ Г' (е)[ — 2ете (гг~~~ +5~~~)+ + аг~(1+ д~~б~ )~т~ — 2(е~~ + е~ )дтб бе~ сов гр)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
