В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам. Как видно из (96.11), а(р) есть амплитуда испускания фотона при столкновении на прицельном расстоянии р. Но выражения (96.5),(96.6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть., очевидно, е '~Р, .ввиду наличия не зависящего от времени члена гт(сс) = р в г(с), этот постоянный множитель должен присутствовать в $7;(с) и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть е ' ~а(р), (96.12) где а(р) дается выражением (96.9).
Пусть электрон описывается при л -+ — со плоской волной с импульсом р., направленным вдоль оси е. Это значит, что волновая функция электрона при е — > — оо не зависит от л и 9 и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1. Уже было упомянуто, что (96.5) есть вероятность испускания фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии р. Сечение испускания фотона с заданными частотой и направлением получается умножением этой вероятности на дрздрУ/и сср,ссрУ = сс р и интегрированием по прицельным параметрам: гл х 474 ВэлимодеЙствие злектРОнОВ О Фотонам|и Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле., при е — э ОО равна ') 2Р(ОО) = Б(р) = ехр — 2 Г(т, у, е)сЬ .
(96.13) С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96.12) волновая функция электрона, прошедщего через поле и испустившего Амп.литуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р, дастся соответствующей фурье-компонентой функции (96.14), г. е. сз(с1Д вЂ” е 2Р Ре ™Ро(р)Я(р)с)зр — Р ситро(р)Яр)12р (96 15) где сц поперечная компонента вектора передачи импульса ядру (ср. П1, (131.7)). Сечение же рассеяния с заданным значением с1т есть ~ах. 12 с)о. = ~а(с)г) ~' (96.16) (222)2 (2х)2 Вьгчишгим теперь Я(р). В рассматриваемом щгучае кулонова поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо брать между конечными пределами: гг н 2 Гр*= — 2 ' = — 2 (2 (аР22а Рр'2 — 2 р] / ГР2 Ь в2 — и — й — 2и1п)т+ 2и1пр (Л» р).
Первый, постоянный, член не существен, так что Я(р) = ехр( — 22и!пр) = р 2". (96.17) Подстав.ггяя (96.9), (96.17) в (96.15) и интегрируя по направлениям вектора р в плоскости шд, находим о(с)г) а и р "К1Я31(с7хр)рс)р, о ') Ср. 1П, (131.4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравнением (39.3) (в котором полагаем р е ) и нерелятивистским уравнением 2 Шредингера (39.ба). Учитывая различие коэффициентов в этих уравнениях, легко видетрь что в нашем случае условие (131.1) (см. П1) применимости у равнения (131.4) (см. П1) действительно удовлетворяется.
Тот факт, что эта формула не относится к области сколь угодно болыпих в,не существен по тем же причинам, что и в 1П, 3 131. 1 оо тогмознов величание ильтгагвлятивистскиЙ сличая 475 где 71 - функция Бесселя. Множители, не содержащие и = Яо, здесь не выписаны. Мы видим, что зависимость амплитуды а(9т) (а следовательно, и сечения (96.16) ) от и содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при и — + 0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению.
Поэтому ясно, что сечение будет отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффекты. Интеграл (96.18) может быть выражен через гипергеометрическую функцию с помощью формулы х ~К1(ах)7~(бх)хс(х = о ьг(з — л72)г(г — лд) г ь' ~ -'з-чх гл л ь' Зааз-т ,,,) 2 2 а'Ч-Ьо Это дает т 2ги а(с1т) ск и(1 — ги)( — ) Г (1 — ги)Г(ги, 1 — 1и, 2, х), (96.19) где здесь использовано, что в области П (см. (96.2)) параллельная р компонента вектора с1 равна (96.21) В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области углы между импульсами р, р' и 1с удовлетворяют условиям (93.15).
Гипергеометрическая функция в (96.19) может быть сведена к функции Г(х) (95.15) с помощью формулы Г(а... 5+ 1, с+ 1, г) = Г(а, 5, с, х) + Г'(а, 5, с., х). с — а Ь(а — с) Окончательный результат представится тогда в виде сйг = йгв, [Г~(х) +, Г (х)~ (96.22) где с(сгв борновское сечение, (93.13) (Н. А. ВеНе, В, Махгтоп, 1954).
При с7» тз(е имеем х — 1, так что весь коэффициент 476 ВзхимОдеиствне зльктРОнОВ О ФотонАми ГЛ Х при ЛЕтн стремится к единице. В этом смысле формула (96.22), выведенная для области П, автоматически справедлива при всех 9 ~ пи Когда д < т-'22е и поправочный множиГель в (96.22) отличен от единицы,. векторы р, р', 1с почти компланарны и величины б и б' почти равны друг другу; это уже было учтено в (96.22). Таким образом, Г7 в выражении (96.20) для г может быть переписано как — = 4Й + д' — 255' сое~р + (1 + д~)~, (96.23) ГП 4 2.~2 т. е. можно положить д = д' во втором члене в (93.14), по не в первом члене, который не содержит малого коэффициента ( тй7ея) Для нахождения интегрального (по утлам) сечения излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н.
01эеп, 1955). Различные направления р (при заданной энергии е') отвечают вырождениГО конечного состояния электрона. Очевидно, что результат суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран полный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям р' системой функций ф..~. вместо системы ф..~. (необходимой для вычисления дифференциального сечения), т.
е. определить матричный элемент тормозного излучения как 2Фтогя М Р)22 22 — 2КГ.Г( Р) 23 Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом (М~,. )*, е<ли в последнем заменить параметры волновых функций согласно ! I / Рэ,р~-,е-ь — + — р,.— р,— е; р,р,е — «р,р,е; 1с — э — 1с (а также заменить переменные интегрирования: г — à — г). Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образования пары (95.20), умножив последнее на 2 4 2 ЯР ЕР (ср. (91.6)) и заменив е Ф -э — е, е — э е'.
Таким образом, найдем Г1ГГ = 4_#_~Гтг~ — ~ — + — — — ~ ~1п — — — 7'(ГГУ)1 —. (96.24) е е е' 3 пгя 2 ц' ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 477 1 97 Мы видим, что поправки к борновским формулам для интегральных сечений тормозного излучения и образования пары даются одной и той же функцией 7(ЕЕЯ). Формула (96.24), не связанная с какими-либо ограничениями на величину Уст, допускает переход к классическому пределу й — > О, Ябт — > оо. В этом пределе надо также г)оложить е — е . Имея в виду асимптотическое выражение ге(е) 1>ге при !е~ — > — > оо и значение )р(1) = — С (С постоянная Эйлера)., находим для эффективного торможения йбдйт = "" ~1п ', — — — С~сйд.
(96.25) Зс ~ н)с«7Яеа 2 Это выражение, не содержагцсе гб, есть классическое спектральное распределение интенсивности тормозного излучения. й 97. Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае Тормозное излучение электрона па электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами 4й 1 4»й ! (97.1а) ! Рб Р> 1 ~ )97.1б) 1 Р !9 'Е !б 1 и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изобра>кенных перестановкой р> и р)2. Мы )триведем здесь результаты вычислений для ультрарелятивистского случая (С.
АИаге11«', Г. Виссейа, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966) ') . В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов, скажем, второго) интегральное по направлениям фотона сечение излучения может быть представ.лено в виде суммы «1п = «17711) + сЬ! ), )де Е 1Š— 11 Е 39 1 га»7 2/ ') Соответствующие вычисления можно найти в указанной нв с. 454 книге Байера, Кантова и Фадина. 478 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 3 мг С( аг 4агг) т аг 8ал 3 2 197.3) с1стс г = -стг, — (8(1 — — + — ) 1п — — (1 — — ) 1п(1 — — ) х х [ г + зт 2+ 4 ] 2ы 4агг) < т т тг! 2 197.4) гпг 3си 2мг м Е + Пг = Вгтах + 2Е ~ ~Р~ = Мпах + 2~Р ~ ° 1е-- начальная энергия первого электрона).
Точность этих формул до членов относительного порядка гпце. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом смысле с4ссс г и сгстс ~ отвечают излучению каждым из двух электронов — -соответственно быстрым электроном и электроном отдачи (диаграммы 197.1а) и 197.1б)). Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямыем В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц.
Для столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигурируют апнигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказывается относительного порядка тссе, т. е. пренебрежим. 11оэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы. При ш» т отношение сг'сг т < сп сйго ~ т, е, излучение электроном отдачи мало по сравнению с излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает порядка пс~е, формула (97.3), разумеется, теряет смысл).
11апротив, при ы « т обе части сечения почти сравниваются: с1ГГВ1 = — ог 2 — 1п —. с1ст~21 = — стг~ — 1п —, ш << т. 197.5) 3 сВ ты 3 м Для справедливости формул 197.2) — 197.5) необходимо, чтобы хоть один из:электронов после излучения оставался ультрарелятивистским.
Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от максимальной частоты шта„которая может быть излучена. Конечная энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона максимальна, когда оба электрона движутся после излучения в направлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из законов сохранения имеем тОРНОзнОК излучение электРОнА нА электРОнь 479 1 эт Исключив отшода е и р, получим (Е + РП Мпах) (~Р~ Мпах) откуда (97.7) ы,„, — ы е — ы>)т Сечение излучения быстрым электроном (97.2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Я = 1 (формула (93.17)). Это совпадение не случайно, и его причины выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения. При выводе формулы (93.17) мы пренебрегли отдачей неподвижной частицы (ядра) -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
