В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 93
Текст из файла (страница 93)
В отличие от (1) сечение (6) ведет себя при В э 0 как ВВВ, так что интеграл сходится. С одной стороны, это обстоятельство позволяет проводить интегрирование ло В = 0 (не заботясь о возможном нвруглении условия примонимости метода). С другой стороны, основной вклад в интегральное сечение дает теперь область В глгге (а не В « ш/е), так что надо пользоваться точным выражением (2). Результат интегрирования сечения по углам рассеяния: 2 Г 7 ° .1 г гй~гг Йыг г гВыг 4~ге - функция Римана; Х(3) = 1, 202). й 99.
Метод эквивалентных фотонов Сравним два процесса, описываемых диаграммами: (99.1) кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграммы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона й(к2 = О) с некоторой частицей с 4-импульсом д (и массой ггц 02 = тв). В результате столкновения образуется система (частица или группа частиц) с общим 4-импульсом (Ч. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы д с другой частицей, 4-импульс которой р, а масса М (р2 = М2). В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс р' и образуется та же система О.
Второй процесс можно рассматривать как столкновение частицы д с испущенным частицей р виртуальным фотоном, импульс которого й = р — р' (ь2 < О). Если при этом ~1~2 мачо, 490 взаимОдействие электРОнОВ О ФОФОнами ГЛ Х то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью и — 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сечение процесса а) ') .
Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы т) е >) М. Если массы сталкивающихся частиц и! и М различны, то для определенности будем считать, что т < М. Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде М~~!) — — — схУ4л(е1„3И), (99.2) где еи -.4-вектор поляризации фотона, а,У" -ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б) Му! = Яе —,ЦРУ'), (99.3) где 1 .-- ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы); Уе заряд этой частицы. Ток г функция от к = Я вЂ” !) и потому в этих случаях различен: к2 = О в (99.2) и к2 ф- О в (99.3).
Но если во втором случае (й ) « тй! (99.4) то и здесь можно взять л при кх = О. Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, р — р' = гс! Мало по сравнению с ее первоначвльяым импульсом ~р~ — е; поэтому в токе перехода э можно положить р = р . Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина частицы '); (99.5) ур — — 2р".
') Излагаем!!й ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом !К. Ъргяэмйсйт, Е. э'. РУ!1Ьатж 1934); основная идея этого метода была е!це раньше высказана Ферми (Е. Ветшав', 1924). ~) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объеме ток уя = (1, я), где х — скорость. По мы условились (см. Э б) опускать в волновых функциях нормировочный множитель 1/ъ'2е. Соответствегшо этому в уе надо ввести дополнительный множитель 2е, и мы приходим к выражению (99.5).
491 1 оо МЕТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ Условие поперечпости тока Ок = О) дает теперь еео — р, А = О, где ось х выбрана в направлении р. Отсюда ЕО = НКФ, (99.6) Л ЛАБОТА *о= — + В Поэтому для скалярного произведения ЛЛ получим ЛЛ = 2(Лов — ЛФРФ) = 2 — (ЛА1ст + — 1х) (99 8) ЕВ Произведение же Ле в (99.2) раскроем, выбрав 4-вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: ек = — е1с = О, откуда е . — — ет1ст/ео.
Тогда 1е = — ет (Лт — — ~,7.,). Сравним выражения (99.8) и (99.9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток Л относится к верхнему узлу диаграммы (99.16), он не связан с направлением р; поэтому ЛФ и Лз надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий ~1с2 ~ << ео и Вз << е ~1ст~/М: они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на 1ст и ы. Приняв, что в (99.9) фотон поляризован в плоскости х1с (так что ет 'О 1ЕА), и заметив, что в силу поставленных условий е~~ е = 1, получим теперь ~(е1 ХВ ее4л 2е ~1 (99.10) — ея и Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполненными условия (99.9) ~1ст ~ << ео << пгу, —, « ~1ЕА~ << пт, (99.11) (99.12) где н = р /е скорость частицы М.
Поскольку — 1с = — ен +Й +1с, =Вз (1 — н )+1сь (99.7) поперечная к оси х составляющая вектора 1с), ушювие (99.4) эквивалентно неравенству ~1ст~ << т и значительно более слабому неравенству для ео: ы « гвЛ вЂ” и2. Далее, из условия поперечности тока Л (,И = О) следует при использовании (99.6) 492 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТ'ОНАМ|И ГЛ Х где для краткости обозначено: е 1 'у = ЛХ тгс1 — иг Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями. Согласно общей формуле (64.18) имеем (в системе покоя частицы сп) <1пг — — ~М7",.
~ (2гг) д(~г(Р~ — Р,) — с1ус2, сдаст = ~М7 ~2(2гг)~д(~г(ру — Р, ) — ' гг 6(усг 4тВг 2е(2гс)з где с(ус2 статистические веса частиц Я. Используя (99.10) и (99.7) г получаем (99.13) сгп = ЙГ, . Гг(1с)ГС' р, где п(1) = (99.14) „(1г Ч г! г)' Напомним, что ЙГГ сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Я в определенных интервалах их импульсов. Сечение же с(сс относится к процессу б) образования той же системы (~ при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс р — р' = 1с, оставаясь в интервале д р' значений р'.
Множитель п(1с) в (99.13) можно истолковать как плотность (в 1с-пространстве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы. Интегрирование по с1 р равнозначно интегрированию по с4зсс = ЙВс(~й Г. Произведя интегрирование по с(2кт, мы получим сечение пропесса, в котором полная энергия Е системы частиц Я лежит в заданном интервале с4Е = Йе (Š— гп = е — е' = Ог, где е и е~ — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям 1ст означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2гг).
После этого получим Йт = гг(сгг)ггсссс(Вг, 22г,г г ьг,1~,„(99.13) гг(Вг) = п(1с) 2тс(стс™т = / гсог / (ег +Рг','уг)В Интеграл по йь расходится при болыпих йт. Расходимостги однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить 493 э 99 МСТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТ'ОНОВ ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегри- РованиЯ йтю пэ веРхний пРеДел неРавенства (99.12).
ПРоизведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах) гл(оэ) Йоу = — Ът )п 7Г ГКЭ Ь7 (99.16) Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величины ( 1) и представляло бы собой превышение допустимой точности. Задачи 1.
Найти сечение Тормозного излучения при столкновении бысгрого электрона с ядром, исходя из сечении рассеяния фотонов на электроне. Р е ю е н и е. В системе отсчета К7, в которой электрон до столкновения покоился, щюцесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра '). Согласно (86.10) сечение рассеяния фотона электроном в системе К1 Перлсг(Ь77 Рр~) = где ы7 и ы~1 пачааьная и конечная энергии фотона в этой системе.
Сечение тормозного излучения в системе К~ 71о„,„,(ь77) = / Оь77 п(ь71)пор„,(ь77, р77)., (2) где п(ы7) -функция (99.1б). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К,в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты орало с1ас7оты р7~7 и рх в системах К7 и К связаны формулой Доплера ы = уы,(1 — е совУУ7), у = (3) где 87 — угол рассеяния в системе Кь Этот же угол связывает ь77 с ы7, согласно (8б.8): 1 1 1 — — — = — (1 — соэ 81).
Ь77 Ь77 т Из (3) и (4) находим (4) Е ы Е ) Рассеяние же виртуальных фотонов на ядре (в системе покоя ядра) исключается болыпой массой последнего; сечение рассеяния стремится к нулю при увеличении массы рассеивающей частицы, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 1Ьт„„, = / 1)ь2 п(ь2)гетр„,. (22, ш'), с 1)пр „(ш., 22') из (1) (с соответствующим изменением обозна 1ений частот). Для области значений, пробегаомых ш при заданном ш', имеем (ср. (4)) 1П при 22 ) —; 2 22 <21<ос 1Р ш (ш( пз — 2рз' т при ш < †. 2 При ш' < ш/2 интегрирование по 22 дает 1)о,, = — Ог,.
— 1 — — + — )п— 3 ьг' ( 1п т2( и' в согласии с (97.4). Если же ш' ) ш/2, то надо различать случаи 22' т и 1 ) Это значит, что путем однократного интегрирования по частям выделяем член, содержащий большой логарифм, а остальными членами пренебрегаем. Эта операция сводится к вынесению логарифма!В(е/ш1) из-под знака интеграла при значении ш1 = ш1,„ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
