В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Соответственно формула преобразования операторов: 7(~, г) = У-'(~, — сх~) фнй(1, г) ~(1, — оо) = = б( — ОО, 1)ф;пс(~, г)У(8, — ОО) (102.14) (то же самое для ф и А). Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуаций. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимодействием.
В этой главе 9 102,109 посвящены изложению формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами производятся так, как если бы они были конечными. Получаемые таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность; они позволяют более глубоко уяснить смысл разложений теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних затруднений. 9 103. Точный фотонный пропагатор Основную роль в аппарате точной (без разложений по степеням е ) теории играют понятия о точных пропагаторах ') . Точный фотонный пропагиптор (который мы будем обозначать рукописной латинской буквой Р) определяется формулой 71„,(х — х') = 1(О~ТА„(х)АР(х')~0), (103.1) где Ал(х) †. гейзенберговские операторы, в отличие от определения (76.1): 11ЙР(х — х') = е(О~ТА'„"~(х)АПН(х')~0), (103.2) в котором фигурировали операторы в представлении взаимодействия. В отличие от точного пропагатора (103.1), функцию (103.2) можно назвать пропигитором свободных фотонов.
Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения (103.1) нельзя получить точное аналитическое выражение для с „, хотя определение (103.1) и позволяет установить некоторые ) Эти понятия были введены Дайсоном (г. Пувоп, 1949); им же в основном построен весь излагаемый в этой главе аппарат. 512 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл Х1 общие свойства этой функции. Этому будет посвящен ~ 111, а пока мы займемся вычислением Р„, по теории возмущений с помощью диаграммной техники. Для этого надо выразить ь'„Р через операторы в представлении взаимодействия.
Пусть сначала 8 ) 1'. Используя связь между А(т) и Аип(л) (ср. (102.14)), пишем е РР(т — х') = г(О~АИ(х)А„(х')~0) = ( о ~ и ) 4 1 и $ ( ге ) ~ ( 1 с ~ ~ ) ~ ( ~ ~ 1 / ) А 1 и ~ ( и ~ ) Я ( и ~ с ~ ~ ) ~ О ) Согласно (102.12) заменяем Я(~, — ос)Я( — со, 1') = о(1, 1') У( — со, 1) = У( — оо, +со)У(со, ~). Тогда 'е и, (л — .т, ) = (0~~ — (~( «) ~~ВФ( )~(1 л) ~~пФ( ~)~(п )~0) (103 3) где для краткости обозначено У = Я(+со, — со). (103.4) Поскольку по определению (102.11) У(1Е, 11) содержит только операторы в моменты времени между 11 и 1е, расположенные в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все операторные множители в квадратных скобках в (103.3) расположены в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно переставлять порядок множителей, так как оператор Т автоматически устанавливает их в нужном порядке.
Воспользовавшись этим, перепишем выражение в скобках в виде (... ) = Т(А'и'(х)А',,"'(х')Б(сс, 1)Я(1, 1')У(1', — ж)) = Т[Д~В1(л)А1п1(т!)Я) Таким образом, е „(л — х') =1(О~Я ~Т(АНП(х)АИП(т')500). (103.5) Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна и при 1 ( г'. Покажем теперь, что множитель У 1 можно вынести из-под знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множителя. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функция вакуума Ф совпадает со значением Ф;и,( — со) волновой функции этого жс состояния в представлении взаимодействия (см.
(103.9)). Согласно же (72.8) имеем ОФПВ( ОО) = Я(+СО СС)ФНП( Ос) — Фпа(+Со). 513 1шз ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПЛГЛТОР Но вакуум представляет собой строго стационарное состояяие: в нем невозможны никакие самопроизвольные процессы рождения частиц.
Другими словами, с течением времени вакуум остается вакуумом; это означает, что Фвн(+ос) может отличаться от Ф;ы( — Оо) лишь некоторым фазовым множителем е'". Поэтому УФ;„,( — оо) = е' Фвн( — со) = (0~3~0)Фы( — со). (103.6) Произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность оператора У, получим Ф1П«(-~)~ ' = 10~~~0) 'Ф1ПФ(-~~~). Отсюда ясно, что выражение (103.5) может быть переписано в виде г) . (0)ТА,',"'0«)А™(х')5)0) ~103 7) (О/Я/0) Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение (72.10) для У и произведя усреднение с помощью теоремы Вика (см. 3 77), мы полУчим Разложение Рвм по степенЯм е2. В числителе (103.7) усредняемыс выражения отличаются ог матричных элементов типа (77.1)., рассматривавшегося в 3 77., лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уничтожения фотонов в них стоят операторы А'„"'(т) и А',"'(х').
Поскольку все множители в усредняемых произведениях, стоят под знаком хронологизацин, попарные свертки этих операторов с «внутренними» операторами Апн(т1), А'ш(»а), ... будут давать фотонные пропагаторы .0„,. Таким образом, результаты усреднения выразятся совокупг|остями диаграмм с двумя внешними концами, составляемых по описанным в 3 77 правилам, с той лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным линиям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы Ля„(вместо амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении при У = 1 числитель выражения (103.7) совпадает просто с Влм(х — х'). Следующие отличные от нуля члены будут ез. Они изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних конца и две вершины; (103.8) Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных между собой частей: штриховой линии (которой отвечает — гВ„Р) и 17 Л.
д. Лаилау и Е.М, Лифшиц, том 1у 514 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распадение соответствующего ему ана.питического выражения на два независимых множителя. Прибавив к диаграммам (103.8) диаграмму (штриховую линию) нулевого приближения и «вынеся ее за скобкуР, найдем в результате, что с точностью до членов второго порядка числитель в (103.7) равен (г+ ~Р ) + — -с,'> —— Выражение же (0~5~0) в знаменателе (103.7) представляет собой амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение содержит поэтому лишь диаграммы без внешних концов. В нулевом приближении (0~3~0) = 1, а с точностью до членов второго порядка получим Разделив с той же точностью числитель на зпаменател«ч найдем, что фигурная скобка сокращается и остается Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей вьшадает из ответа.
Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаменателю в (103.7), нетрудно понятьч что роль знаменателя (0~3~0) сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точный пропагатор 7Э„, будет изображаться лишь диаграммами, не содержащими отделенных друг от друга частей. Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые петли) вообще не имеют физического смысла и их не следуег учитывать даже независимо от того, что они выпадают при образовании пропагатора Р. Действительно такие петли представляют собой радиационные поправки к диагональному элементу Я-матрицы для перехода вакуум --вакуум. Но согласно (103.6) сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближения) дает лишь несущественный фазовый множитель, который не может отразиться ни на каких физических результатах.
Переход от координатного к импульсное1у представлению происходит обычным образом. Так, во втором приближении теории возмущений пропагатор — г7х„,(1«) (который мы будем изображать жирной штриховой линией) дается суммой В+А +. — — — + +. — — — — — (103.9) ь в '-э ь р 515 1 газ ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПЛГЛТОР где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечисленным в ч 77), с той лишь разшщей, что внешним фотонным линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители— — гР„Р(а).
Аналитическая запись этой формулы дает поэтому ') Р„Я = Р Я+ ге Р„лф) Вр у С(р+ )с)уРС(р) Рр~® (103.10) (биспинорнгяе индексы у матриц у и С, как обычно, не выписываем) . Члены следующих приближений строятся аналогичным образом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя внешними фотонными концами и нужным чистом верппгн. Так, членам е~ отвечагот следующие диаграммы с четырьмя вершипаЧетырьмя вершинами обладает также и диаграмма верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной «замкнутой на себя» электронной линией. Такая петля отвечает свертке ф(х)угр(х), т, е, просто среднему по вакууму значению тока; (0~1(х) ~0). Но уже по самому определению вакуума эта величина должна тождественно обращаться в нуль, и это тождество не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейшими радиационными поправками к такой петле ') . Поэтому вообще никакие диаграммы «с замкнутыми на себя» электронными линиями не должны учитываться ни в каком приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
