В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Часть диаграммы («блок»), заключенную между двумя фотонными линиями (внешними или внутренними), называют вооб- ') При определении знаков пе забыть о множителе — 1, привносимом замкнутой электронной петлей! ) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся интегралам. 517 1 саз тОчный ФОтОнный ИРОплглтОР диаграммной техники. Она связана с тем, что общий числовой коэффициент в диаграмме не зависит от се порядка. Это же свойство позволяет использовать функцию Р (если она известна) для упрощения вычислений радиационных поправок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того, чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем просто заменить эти линии жирными, т.
е. сопоставить им пропагаторы Ю (вместо 77), взяв их в требуемом приближении. Если фотонная линия отвечает реальному Са пе виртуальному) фотону, т. е. если опа является внешним концом диаграммы в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю линию. Ей отвечает выражение, отличающееся от 1103.13) заменой множителя 1э' поляризационной амплитудой реального фотона; с103.15) 4л Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо ер здесь надо писать Ал' . (е) Все сказанное в 3 76 относительно тснзорной структуры и калибровочной неоднозначности приближенного пропагатора тй„ относится и к точной функции Юри.
Оставаясь в рамках релятивистски инвариантных представлений этой функции, напишем ее общий вид в форме первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене Рр) —. калибровочно-произвольная функция. Аналогичное представление приближенного пропагатора '): и„,(К) = П(И') (~ри — — "", ) + В~0(а') — "'", . (103.17) Заметим теперсн что продольная часть нропагатора связана с не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что должно быть Рсй ~7 г) 77~0 ~~з) с103.18) Обратные тепзоры, по определению, удовлетворяют равенствам р — ! РЛи 5Л О вЂ” 1 рЛи бЛ д: ! и ) Определение Р~ ~ в этой формуле не совпадает с определением в С76,3).
Ю 518 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 (103.20) 8 104. Собственно-энергетическая функция фотона Для дальиейшего исследования аналитических свойств фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризациоииым оператором, еще одну вспомогательную функцию П„(й), которую называют собственно-энергетической функцией фотона. Именно, 1П„ы/(4л) определяется как сумма всех вообще (а пе только компактных) собствеипо-энергетических фотонных частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, представим точный пропагатор суммой г. е ПЛР 7~ры — -Оры + ~ЛИЛ А'ры ° (104. 1) 411 Выразив отсюда П„в виде — П =42 Ю Р11 — 12 ИЛ ри ии и подставив в это равенство (103.16), (103.19) и затем (103.21), ПОЛУЧИМ Пи — — П(й ) (д„— — и',"), П = . (104.2) Для прямых теизоров (103.16) и (103.17) обратпые теизоры с учетом (103.18) имеют вид (103.
19) Π— 1(й) ~ ( й1й 1+ " йий И 'ЛР"ы йи / ПЯ й1 ' Из этих формул следует, что поляризациоиный оператор представляет собой поперечный теизор: Р„. = 7 (й')(8„. — †", ), причем 71 = йз — 411/Ю или ю(й~) = (103. 21) Таким образом, поляризациоиный оператор является (в отличие от самого фотонного пропагатора) калибровочпо-иивариаитиой ВЕЛИЧИНОЙ. 104 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА Мы видим, что П„, (как и Р ) -калибровочно-инвариантный тснзор. Полезность величины П связана с ее выражением в координатном представлении.
Его леско найти, заме"гив, что равенство — "П„,® = Р„-,'Р„-'(Рл (1) — Р' (Ю)), с учетом следу1ощсй из (103.18) поперечности тснзора Рлр — Рлр, в координатном представления можно написать в виде П,(х — х') = = — (д„дл — мрлд„д') (д,'д' — нРрд' д'") (х>~Р (х — х') — Р АР (х — х') ). Для осуществления дифференцирования пода надо подставить Рлр(, х) Рлр( !) = БЛЯХА~(х)А~ (х') — ТА,"ВГ(х)А1'„,(х') ~0). (104.3) Мы видели в ~ 75, что дифференцирование Т-произведения требует, вооб1це говоря, осторожности ввиду его разрывного характера. Но усредняемая в (104.3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов АЛ(х) и А'~„1(х) (взятых в один и тот же моелент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются (ср.
3 75). Поэтому дифференцирование разности (104.3) можно производить под знаком Т. Согласно (102.6) (и такому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля АРнк(х)) получим в результате выражение ПЯР(х — х') = 44Г4е~(О~Тур(х)у',(х')~0). (104.4) Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность Пр„ поскольку таковы операторы тока. Из (104.4) можно получить важное интегральное представление этой функции. Ввиду (104.2) достаточно рассмотреть скалярную функцию П = П~р/3. В координатном представлении П(х —:с') = — че~(О~Т1'„(х)1Р(х')~0) = 3 '' /2 (О~ур(х)~11)(11)7р(х')~0), 1) 1', '1Я 2 В ~(О~) (*/)~ )( ()р(, )~О) 1(~, (104.5) 520 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл.
Х1 где символ п ну.мерует состояния систеъгьл «электромагнитное + + электрон-позитронное полян '). Так как оператор тока Ях) зависит от хи = (г, г), зависят от х также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний ~п) состояния с определенными значениями полного 4-импульса. Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением (пУ" (гч г)~т) = ( У (гУт)е 1н Нов', где Ев, Е энергии состояний ~п) и ~т), Яг) шредингсровский оператор. Для определения координатной зависимости матричных элементов рассматриваем оператор у'(г) как результат преобразования оператора ЯО) путем параллельного переноса на расстояние г.
Оператор такого переноса есть ехр(ггР), где Р†. оператор полного импульса системы (см. П1, (15.13)). Имея в виду общее правило преобразования матричных элементов (см. П1, (12.7)), находим поэтому, что (п~у"(г)~т) = (п~е '"~у"(0)е'"~~т) = (п~у"(0)~гп)ей~'" Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно ( )1'"(4, г)~ ) = ( У' (О)~гп)е Ц"" (104. 6) Отметим также, что матрица (п~уи(0)~т) эрмитова (как и матрица (104.6) оператора у'''"(1, г) в целом), а в силу уравнения непрерывности (102.7) она удовлетворяет условию поперечности (Рв — Р )и(паул(0)~т).
(104. 7) Вернемся к вычислению функции П(х — х'). Подставив (104.6) в (104.5), получим П(~) = — '' (О/уи(0)/п)(гг/у" (0)/0)ет'~"с, т >< О, (104.8) где х — х' = ( = (т, ~). Обозначим р(~~) = — — (2п) ~ (О/д,(0)!п)(0/у" (0)/и)*д (й — Р„). (104.9) ') Оператор тока сохраняет заряд, поэтому состояния ~п) в (104.5) могут содержать лишь одинаковые числа электронов и позигронов. 521 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕОКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 1 104 Суммирование производится по всем системам реальных электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном с 4-импульсом к = (ог, 14) (гз ) О), а для каждой из таких систем -- еще и по ее внутренним переменным (поляризагг ции и импульсы частиц в системе центра инерции) ) . В результате такого суммирования функция р может зависеть только от а, а ввиду ее скалярности — только от к .
В частности, р ие за- 2 висит от направления 14. Имея в виду эти свойства функции р, переписываем (104.8) в виде П(~) =;, й„, / р(И2)е Е4-~~~). ,1 (2я)г о = — г' — 1' 1' г(гот((РР)о((г — 14')р()г')е'~ )г (2я.)г 1 ) о Переход к импульсному представлению осуществляется подста- новкой сюда формулы е — ггг~т~ йгг г е — г ет гй т 1 г1йе кег — ггг -~- гО 2гг (104.10) (использоваииой уже в 2 76) и дает П(г12) г(( 2) г((~ ~2)д(142 142 о~2) Р(Р ) е 0 о или окончательно г ) / ~(~')~(р') ,~ Ьг-шгч-гО о (104.11) ) Такое определение состояний ~п), очевидно, тождественно с определением их как состояний, для которых отличны от нуля лгатричные элементы (О Ягг) зарядово-нечетного оператора. Г ) Формальные вычисления, аналогичные произведенным вышЕ, требуют осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей.
Это приводит, в частности, к появлению в правой части (104.1П дополнительных асходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида так называемые игейнгероеские члены). Мы не выписываем их, поскольку они все равно исчезают при перенормировке (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
