В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(101.18) 2и1 2и22 и22 и22 Вообще, основной член в Ига (при не слишком больших а) пропорционален С2'. Остановимся теперь на противоположном случае: с » 1. Параметр с можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты а2 при фиксированной напряженности поля (очевидно, что С = ег'/(тоз), где" г' амплитуда напряженности поля).
Поэтому ясно, что случай с » 1 по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем условно такое поле скреп4енна22м). Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом С вЂ” э со, по проще произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв 4-потенциал в виде Ад=а"~р, у=йхо ай=0 (101.19) (так что гл~ — — йдаи — й~ад — — сопа1). ТочнаЯ волноваЯ фУнкция электрона в этом поле получается подстановкой (101.19) в (40.7),(40.8): ф„= ~1+ е1~"К ~")~р1 ср) ехр1 — 4е 1 1') р~+ 4е ~рв — грх). 2(йр) ) А2с2ре 2(йр) б(йр) (101.20) Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона.
Но в ультрарелятивистском слу.чае этот результат (нри надлежащей форме его представления см. ниже) ') Указанное значение о2 отвечает нормировке 4-потенциала на один фогон в единичном объеме. Для его определения надо приравнять о2 энергии классического поля с 1вещес2венным) 4-потенциалом (101.2). 507 1 1а1 ИЗЛУЧВНИЕ ФОТОНА ЭЧККГРОНОМ относится к излу.чению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в 9 90).
Для формулировки этого утверждения заметим, что состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в квантовые числа свободной частицы, т. е. в ее 4-импульс р" (р~ = т~). 'Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет описываться постоянным 4-вектором р.
Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно составить из постоянных 4-тензора гр и 4-вектора р". Учитывая также, что Уд, должен входить в интенсивность только вместе с зарядом е, получаем три безразмерных инварианта; в (101.21) В скрещенном поле у" = д э— з О, в то время как в общем случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон— ультрарелятивистский (ро « т), а вектор р составляет с полями Е, Н углы О » пз/ре, 1о 1С~ >> 1', д 1другими словами, для ультрарелятивистской частицы почти для всех направлений р любое постоянное поле выглядит как скрещенное).
Если, кроме того, напряженности поля ~Е~, ~Н~ << гпз/е (= НРсз/(ей), то ~~~., ~д~ << 1 ') . В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант у, будет относиться также к излучению во всяком постоянном поле. Инвариант у выражается через напряженности Е, Н согласно 1С' = — ', (ИрН] + роЕ)' — (рЕ)'). Для постоянного магнитного поля 1С совпадает с введенной в 9 90 величиной (90.3), так что изложенные:здесь соображения дают другой способ получения результатов 9 90 ') . ) При этом в выражении для у можно с той же точностью считать р обычным кинематическим 4-импульсом частицы. в) Подробное изложение теории различных процессов в сильных полях см. в обзорах А. ХХ.
Ники1аава и В. И. Рвтуси в сб. «Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле» (Труды сРИЛН. - - Мл Наука, 1979.. Т. 11 Рь ГЛЛВЛ Х1 ТОЯНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЯАСТИ й 102. Операторы полей в гейзенберговском представлении До сих пор при рассмотрении различных конкретных электродинамических процессов мы ограничивались первым неисчезающим приближением теории возмущений.
Перейдем теперь к изучению эффектов, возникающих при учете высших приближений. Эти эффекты носят название радшщионных поправок. Более глубокое понимание структуры высших прьгближепий может быть достигнуто на основе предварительного изучения общих свойств, которыми об.падают точные (т. е. не разложенные по степеням ез) амплитуды рассеяния.
Мы видели (см. З 72), что последовательные члены ряда теории возмущений выражаются через операторы полей в представлении взаимодействия — операторы, временная зависимость которых определяется гамильтонианом системы свободных частиц Йо. Точные же амплитуды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависимость от времени определяется сразу точным гамильтонианом системы взаимодействующих частиц Й = Йо + 1г. По общему правилу составления гсйзенберговских операторов имеем уз(г) ив э 'ф(1., г) = ехр(гНб)гр(г) ехр( — гйг) (102.1) и так же для ф(я) и А(л), причем ф(г), ... -- пе зависящие от времени (шредингеровские) операторы ') . Сразу же отметим, что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые моменты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы в шредингеровском представлении или в представлении взаимодействия. Действительно, имеем, например, ф;(г, г), фь(г, г))т —— = ехр(гйг)(гр,(г), где(г')) т ехр( — гйг) = у~~йг — г') (102.2) ) В втой главе операторы с временным аргументом будут относиться к гейзеиберговскому представлению, а операторы в представлении взаимодействия будем отмечать дополнительным индексом 1пг.
1 юг ОПВРАТОРЪ| В ГВИЗВНЬВРГОВСКОМ ПРЬДСТАВЛВНИИ 509 (ср. (75.6)). Аяалогичным образом операторы аг(Х, г) и А(УО г') комм утативны; (ф;(У,, г), А(УО г')) = 0 (в различные моменты времени это уже отнюдь не так!). «Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенберговский уУ-оператор, можно получить по общей формуле (13.7) (см. Ш1: -1 "(*) = Йй(х) — Ях)Й. (102.3) дг Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское представления тождественны, причем гамильтониап выражается одинаковым образом через операторы полей в обоих этих представлениях.
В данном случае при вычислении правой стороны в (102.3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую только от оператора А(х) (гамильтониан свободного электромагнитного поля), поскольку эта часть коммутативна с у (х). Согласно (21.13) и (43.3) имеем Н = ф*(1, г)(сВр+ Дт)~г(4, г)й х+ + е ф(У„г)(уА(У, г))фУ, г)йвх = уа(1, г)( ур+ т+ е(уА(1, г)))ф(РО г)йах.
(102.4) Вычислив коммутатор (Й, ф(1, г)) с помощью (102.2) и устранив б-функцию интегрированием по й' х, получим в ( ур — е уА — т)у (~, г) = О. (102 5) Как и следовало ожидать, оператор ф(у, г) удовлетворяет уравнению, формально совпадающему с уравнением Дирака. Уравнение же для оператора электромагнитного поля А(гч г) очевидно из соответствия с классическим случаем. В этом случае (болыпие числа заполнения см. 3 5) после усреднения по состоянию поля операторное уравнение должно перейти в классическое уравнение Максвелла для потенциалов (30.2) (см.
П). Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной калибровке) имеем д д„А" (х) — д"д А'(х) = — 4яеу' (х), (102.6) где у'(х) = ф(х)у Ях) оператор тока, тождественно удовлетворяющий уравнению непрерывности д,у'(х) = О. 510 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ Х1 А" (х) э Ан(х) — дд(х) 1)1(х) — э г)1(х) ехр(геЯ, (102.8) 1р(х) э ехр( — ген)ф(и), где у(л) -- произвольный зрмитов оператор, коммутирующий (в один и тот же момент времени) с ф ') . Установилл теперь связь между операторами в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия. Для упрощения рассуждений удобно сделать формальное предположение (пе сказывающееся на окончательном результате), что взаимодействие 1г(1) адиабатически «включается» от 1 = — оо к конечным временам.
Тогда при 1 -+ — оо оба представления гейзенберговское и представление взаимодействия просто совпадают. Совпадают и соответствующие волновые функции системы Ф и Ф;„11. Фйв(1= — оо) = Ф. (102.9) С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском представлении от времени вообще не зависит (вся временная зависимость перенесена на операторы), а в представлении взаимодействия для зависимости волновой функции от времени имеем, согласно (72.7), Ф1РА1(1) = У(1, — со)Ф;„1,( — оо), (102.10) где введен оператор Г~с Б(1й, 11) = Техр — 1 / Р(й')1й' и (102.11) с очевидными свойствами Ж1 тз)8(бы 1о) = Б(1, 1о), ~ (1, 1з) = Я(1ы 1).
(102.12) Сравнив формулы (102.10) и (102.9), найдем соотношение Ф1иа(1) = Я(1, — оо)Ф, (102.13) ) Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гсйзенберговских Гноператорах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование электромагнитных потенциалов вообгце не затрагивает 1г-операторов. Существенно, что уравнения (102.6) линейны по А" и 7", и потому не возникает вопрос о порядке следования втих операторов. Как и аналогичные уравнения для волновых функций, система операторных уравнений (102.6),(102.7) инвариантна относительно калибровочного преобразования ПП 1 газ тОчный ФОтОнный НРОплглтОР устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
