В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 95
Текст из файла (страница 95)
+ 41~2 1/ЛЗ где Л - величина порядка радиуса ядер (это значение соответствует наименыпим прицельным расстояниям см. ниже); это интегрирование дает д2=д. =1/Н 2Г 1п(41~~ + 41~~ + 41~) ~ — 22Г 1п 1 Л,д д,=д,=е С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энергии ядер, есть е = (е4. + е ) = — (и — ъ' ) Ми(22 222) 22ГХФ4 ЛХ Ад 2 откуда 4Х = е/2ь Таким образом, находим 822 ВЗ ( ЛХ2 14Х4 ) Е4 йе тЕ а после интегрирования по ет или е при заданной сумме е 32 2 2В4П42 / Я2 Я4 Л В Г 4ХЕ 4142 = — (71 Яде ) — ' ( — ' — — ') 1п — 1п — —. (100.14) 922 и2 ЛХ2 ЛХ4 ХХЕ т Е 501 1 1а7 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕН ГРОНОМ Энергии е можяо привести в соответствие прицельное расстояние р н/е (энергия пары порядка частоты, отвечающей времени столкновения). Поэтому логарифмическая расходиыость при интегрировании по е в 1100.14) означает такую же расходимость по прицельным расстояниям.
Это значит, что существенны большие р (тем самым, кстати, оправдывается использование сечения рассеяния 1100.10) в чисто кулоновом поле ядра). Соответственно существенна область энергий: т « е « и/гс. Интегрирование 1100.14) дает полное сечение образования пары; окончательно 1в обычных единицах) "б ст у, )2„2(~)2(язп' 2''~) 1 в ас (100 1б) 27я е с Мз ЛХ~ ьчсзй 1Е. М.
Лифшиц, 1935) ') . 9 101. Излучение фотона электроном в поле интенсивной электромагнитной волны Применимость теории возмущений к процессам взаимодействия электрона с полем излучения предполагает 1помимо малости константы взаимодействия а) также достаточную слабость этого поля. Если а амплитуда классического 4-потенциала поля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом смысле является безразмерное инвариантное отношение с = е~/1 — а2,7т. 1101.1) В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, возникающие при взаимодействии электрона с полем сильной электромагнитной волны, для которой ( может иметь любое значение.
Применяемый метод основан на точном учете этого взаимодействия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми фотонами может по-прежнему рассматриваться как мааое возмущение 1Л. Н. Никишов, В. И. Ритус, 1964). Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде А = а1совус+а2вш~р, сс = 7сл, (101.2) где И = 1ш, 1с) -- волновой 4-вектор (Й2 = О), а 4-амплитуды и1 и а2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны: ая = Н2 = а2 Ч 2 а~а2 = О. ') Числовая ошибка исправлена Л. Б. Окунем П953).
502 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Г)зр = (1+ ' [(уй)(уаГ)сое~р+(у1:)(уаз)яшар) " х 2(лр) х ехр( — ре — яшар+ (е — сов ~р — щх)~ (101.3) (а1Р) . . (ВВР) (ьр) (Ю где 2 а 2(йр) (101.4) Согласно (40.14) 4-вектор а средний кинетический 4-импульс электрона; будем называть его квазиимпульсом. Элемент Я-е|атрицы для перехода электрона из состояния Гр. в состояние у)р с излучением фотона с 4-импульсом Йи = (м'., 1с') и 4-вектором поляризации е'. и. ЯуГ = — (е ГР„(уе )ГРр Г1 х. (101.5) Подынтегральное выражение в (101.5) представляет собой ли- нейную комбинацию величин 1, ех(з( — (ОГ вш(а+ го2 сов ~р) . сое у, гйп ~р, где оГ = е( — 'р — 'р ), ГВ2 = е( — ' — р ).
(101.6) (ьр) (ьр') Жр) Жр') Вместе со множителем ехр[(()д+р' — р)х) эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х. Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лоренца, так что аГА' = а2А. = О. Точная волновая функция для электрона в поле произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в 2 40 (см, формулы (40.7),(40.8)). Изменим, однако, ее нормировку; потребуем, чтобы фр отвечала равной единице средней пространственной плотности числа частиц, подобно тому как мы нормируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в единичном объеме. Поскольку для функции (40.7) средняя плотность равна уо = лауре, для ~толучения требуемой нормировки надо умножить ее на ~/р~~~~, т.
е, заледенить в (40.7) множитель 1/А/2ре на 1/АУ27е. Для волны с 4-потенциалом (101.2) получим 503 1 1а1 ИЗЛУЧВНИЕ ФОТОНА ЭЧККГРОНОМ Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты разложения соответственно В„В1„Вз„например: ехр( — огг1 вш но + оотг сон оо) = о(- У' Г~ ~'' (Р— '' Р )) = К о. Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя соглас- но формулам; (101. 7) ,.* =,,Я~Р„-.Р, = У, о Р, = Ф1*. ФУ, о,, Вь„В2, связаны между собой соотношением а1Вы + О2В2, = НВ„ (101.8) которое является следствием известного соотношения для функций Бесселя: '7 — 1(г) + 7оФ1(г) = 2НЛР(г)(г, В результате матричный элемент (101.5) приобретает вид БВ = ~~~ М ' (2оо) Ырй(вй+ д — ц' — й'); (101.9) (2оо'2ео2до) н' довольно громоздкие выражения для амплитуд ЛХ мы не ста- В нем здесь выписывать.
Таким образом, ЯВ представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения вй + ц = о + Й'. Поскольку ц =о =ш (1+с )=т„ (ср. (40.15)), а lс2 = й'~ = 0, то равенство (101.10) возможно лишь для в > 1, н-й член суммы описывает излучение фотона Й' за счет поглощения из волны в фотонов с 4-импульсами й. Из вида равенства (101.10) очевидно, что все кинематическне соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами д, а импульс падающего фотона — 4-вектором Во = Г,(г)е""'о В1 = — (.7 ч 1(г)е ( Ч ~~ о + 7 1(г)ей' — )То) Ы 2 ' М В 1(у (.)Рй ч-1)Ро 7,( ) ( — По о) 2г (101.10) (101.11) 504 ВзлимодеЙстние злектРОнОВ О ФО'!'Онхми Гл х в)с.
В частности, для частоты излучаемого фотона в сглстеме отсчета, где электрон в среднем покоится (с) = О, с)0 = т,), имеем г э! ! о! 1 + (во! !!т.) (1 — соэ д) (101.12) где 0---угол между 14 и 1с' (ср. (86.8)). у)ожпо сказать, что частоты ог' являются гармониками частоты ог. В принятых нами обозначениях ('2 64) амплитуда процесса излучения я-й гармоники совпадает с М ',, а выражение (!) й)4г ~„)й~~) ~2 й 1' й У (2 )45~4)( ~+ г аг.!) г ! (2гг)е 2ы' 2уо 2уе' (101.13) дает соответствующую дифференциальную вероятность (отнесенную к единице времени) ') . Структура амплитуд ЛХ1;. подобна структуре амплитуд рассеяния с плоскими волнами: и(р') ...
и(р), Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом. После суммирования по поляризациям конечных электрона и фотона и усреднония по поляризациям начального электрона получается е т йаИ йэу б)4) ( 4гг уо уоьг' х ~ — 2,7~(е) +~2(1+ ( ) )(/АР!+ 1~ ! — 2~2)).
(101.14) о(4)( к+ ! )сг)й у'й к' 2 йп уе ' (1+иВ ') Обратим внимание на то, что нормировка функций О!р на единичную плотность отвечает нормировке на б-функцию «по шкюге Ч,Г(2я)» (ср. (40.17), Где множитель уо,!ре в правой части равенства будет тегюрь отсутствовать). Именно поэтому число конечных состояния электрона должно измеряться элементом йЩ(2я)э. Для интегрирования этого выражения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимутального угла го вокруг направления )с. Вместе с наличием д-функции это обстоятельство дает возможность произвести интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину и = (й)с')Гг(йр'). Тогда после интегрирования по й!1гг йуг й(г)~~ + го') имеем 505 1 1а! ИЗЛУЧК!!ИК ФОТОНА ЭЛККТРОНО.' ! Действительно, в системе центра инерции (система, в которой К1с + с1 = с1' + 1с' = О) указанное интегрирование дает 2я~с1'~дсовВ(Е„где Еэ = к!о + оо = со' + де, а 0 — угол между 1с и с1' (ср.
преобразование (64.12)). С другой стороны, в этой же системе и = ' — 1, с!сокО = Е, Еэ!1в о' — (Ч') соко ' )Ч')(1 т и)' Интервалу — 1 < сов 0 < 1 соответствует интервал 0<и<ианк — ',, — 1= Еэ 2э(кр) т: т1 (при преобразованиях следует помнить,что (ар) = (кч7)). Таким образом, полная вероятность излучения в единицу времени (101.15) где ') и= —., на=2» —, К=2атн (И') (йр) 2 8 и !' и 1 — 1 —— 1ьр!)! ' ' гн1 ' ',„/Г+~~ и, 'А и,)' (101.16) При С « 1 (условие применимости теории возмущений) подынтегральные выражения в (101.15) могут быть разложены по степеням С.
Так, для первого члена разложения в И'! получается и! я, = — ', !'~~!ь —" — ! — "(! — ~)), '",, = о 1 8 1 — ! !11 — — — —,, у! 1п(1 + и1) + — + —— 4р„~~ о,;,) 2 и! 2(1+и!)г~ (101.17) ) Для вычисления х надо заметить предварительно, что х = (а!С2) + (оэЯ) = а О, (йч) (12 )' В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (а!)е = 1ае)а = з = О, а векторы а!, аэ, к направлены ло осям х, х, х, и заметив, что в силу И2 = О будет Цю = Оз. 506 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х причем и1 — 2(йр)/т2.
Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой Клейна Нишины для рассеяния фотона на электроне; положив в (101.17) — ая = 42г22оэ, С2 = 4яе222(тзо2) и разделив на плотность падающего потока (64.14), мы вернемся к (86.16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона) ') . Приведем также выражение для вероятности испускания второй гармоники (первый член разложения Игз при С « 1): и2 а соп2'б' ~1 1 4 1 ро ).2 Зи2 и2 из 2(1 + 2и1) 2'1 3 3 11 — ~ — — — — — — — ) 1п(1+ 2и1)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
