В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 91
Текст из файла (страница 91)
изменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса о = р' — р+ Й (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае, такое пренебрежение допустимо при излучении элоктроном не только на ядре, но и на электроне. Напишем д в виде — дз = — (е'+ ы — е)в + (р~~~ + м — р~ ) + (р'г — рт)~, (97.8) где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р (начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона 1с.
В ультрарелятивистском случае углы 0 и 0' (между 1с и соответственно р и р') малы: 0 < гп7а, 0~ < т7а . Поэтому Рх х хп р1 Š— — — — ' 2Е 2е (97.9) 2(р) и аналогично для рт., р~р Без учета отдачи имеем е' — р~ зп /е, так что 2 + пз — е = О, разность р + ьз— — д - (Рь — Рь) Рп . (97.10) Энергия отдачи (на электроне); до = е'+ ы — е с1~/(2т) т. (97.11) Изменением же р' из-за изменения е' можно пренебречь. Поэтому первые два члена в (97.8) дают изменение д при учете 2 Мпах— (97.6) т -'Р Х вЂ” ~Р~ ПРи е » кч имеем ып,а. ж Таким обРазом, фоРмУлы (97.2)-. (97.4) справедливы при условии 480 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМН ГЛ Х отдачи; обозначим его через Ьг12.
Используя 197.9), получаем 2 гп р1 7п рз 2И щ схгХ (е +оз е)( — — + + ) гп г' е' г е Сравнив с 197.10), мы увидим, что 2ад2 « ~92~, чем и оправдывается пренебрежение отдачей ') . Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус 1с углом раствора пз,уе) в направлении своего движения, позволяет получить сечсиие излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения 197.2) из лабораторной системы е) . В системе центра инерции оба электрона излучают одинаково, каждый в направлении своего движения 1это обстоятельство наглядно обьясияет причину отсутствия интерференции между.
излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивистского электрона в системе центра инерции связана с его .Энергией е В лабораторной системе соотношением 2Е2 = ше, а частоты й и оз фотона в этих системах . соотношением оз/е = ггХ'Е (эти равенства, легко получить, сравнивая значения инвариаптов 1р1р2) и 1р1й) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из элоктроиов и системе центра инерции находим (Ц 1 (2) 2 го) Š— й ~ Е + Š— 12 2~ (1 4Е~1Š— Х)) 1) Для применимости 197.12) также необходимо, чтобы частота фотона ие была близка к границе спектра. Для ультрарслятивистской частицы указанное выше преобразование прямо дает из шюах = е (97.13) П)п1ах МпахЕЙ Таким образом, в системе центра инерции электроны могут излучить лишь половину своей полной энергии 2Е.
Прямое вычисление 1г; легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться 1в той же системе) с одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем 2Е = 2Е' + Пю .. 2(р'! = П,п ' ) Это заключение,. разумеется, тем более справедливо для излучения злектроном на ядре, для которого энергия отдачи ое — ч /(2м) т'/)гх, где ЙХ вЂ” масса ядра.
) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад в спектр в заданном интервале частот Й ~ возникает от фотонов, излученных в существенно различных направлениях. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 481 1 эт откуда (97.14) т Е и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97.13). Таким образом, формула (97.12) применима при условии П „— П-Š— П)>гп. (97.15) Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спектра, когда ') (97.16) Пшах П СС !ть Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и оказываются различными для электрон-электронного и электронпозитропного рассеяния (В.
Н. Байер, В. С. Фадпи!, В. А. Хозе, 1967) . В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадратов диаграмм (97.1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (иптерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97.1а) и диаграммы фй ! ! Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения: ~ [е(й„, — й)) ц' !!й (97.17) Ш й„,„„ При рассеянии электрона на позитроне логарифмически большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляционных диаграмм, в которых излучают начальные частицы: ,~й ! (97.18) ! фй ! Ьв Л.
Д. Ландау я Е.М, Лифшиц, том !У ) Разумеется, полученный в борновском приближении результат пригоден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных электронов велика по сравнению с о. В противном случае следует учитывать взаимодействие частиц в конечном состоянии. 482 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х С нелогарифмической точностью существепяы также и квадра; ты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окончательный ответ: 4 =2 '~~~"-" ~)) (1 '~+ 1) '" (9719) е ВГ ВГ й, „, Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при электрон-электронном рассеянии.
8 98. Излучение мягких фотонов при столкновениях Г1п = ГЬто —. (98.1) Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (.Ь М. ЗиисЬ, Е. ЛОЬГЬСЬ, 1954). Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотонной,линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или внутренней) электронной линии, т. с.
путем замены Ь 1В р р — Ь р (98.2) Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Действительно, если р — импульс вне|пней линии (р = гп ), то при Пусть е1пв . сечение некоторого процесса рассеяния заряженных частиц, который может сопровождаться излучением определенного числа фотонов. Наряду Г этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испусканием одного дополнительного фотона.
Если частота еи этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сформулированы ниже), то сечение ГЬт процесса простым образом связано с е4пш Действительно, при малых дпй можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Другими словами., сечение Г1а может быть представлено в виде произведения двух независимых множителей; сечения Гепй и вероятности е1ш испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона процесс квазиклассический; поэтому его вероятность совпадает с классически вычигленныкГ числом испущенпых при столкновении квантов, т.
е. с классической интенсивностью (полной энергией) излучения Гм', деленной на еи(= лес). Таким образом, 8 88 излучение мяГких Фотонов нги стОлкнОвениях 483 малых й будет также и (р — й)2 — Г112, т. е. добавляющийся в диаграмме множитель С(р — й) будет находиться вблизи своего полюса.
Для линии начального электрона р замена (98.2) сводится к замене в амплитуде реакции: и(р) — у езуг41ГС(р — й)(уе )и(р) = = еъ'4л ~У 1 (уе*)и(р) — — езУ41Г ~Р ( уе*)и(р). (р — Й)э — тэ 2(рй) Заметив,что ( ур)("уе') = 2ре* — ("уе')( ур), ури(р) = ти(р), получим правило замены в виде и(р) э — еъ'41à — "' и(р). (рй) (98.3) Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена на диаграмме й 1Г р' ч- й означает замену в амплитуде: и(р') — ~ еъ'4яй(р') " (98.4) (р'Й) Во всех остальных частях диаграммы можно вообще пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испусканием фотона й. При этом подразумевается, что энергия фотона о1 во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются). ??усть для определенности сечение с?ое относится к рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучением жестких фотонов).
Амплитуда этого процесса, который мы условно назовем упругим, имеет вид Му,. — — и(р )Ми(р). Произведя в ней один раз замену (98.3), а другой раз (98.4) и сложив результаты. получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона й '): (98.5) ) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле является естественным результатом калибровочной ипвариантности; амплитуда реакции не должна меняться нри замене 4-вектора поляризации е — 1 е + ж соввс Й. 484 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Соответственно сечение йст = йт „р 4яе' Р— Р .
(98.6) (р'й) (рй) (2я) зи Просуммировав по поляризациям фотона й, получим (98.7) 1р'й) 1рй) 4я' Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид ') / )ч'п) ~ъ" п) ') 4 л1оя „ 11 — ъ'п 1 — чп/ 4яеы (98.8) причем )бр ! — оз а~р'~ де а ~Ц = оз. В нерелятивистском случае (и << 1) получаем поэтому условие сп/~с)~о << 1.
(98.9) При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадаюпсем с расстоянием) потенциале ~ч~ 1/р (р прицельное расстояние), так что это условие можно представить и в виде сот « 1, где т р/и характерное время столкновения. В ультрарелятивистском случае ~ютоны излучаются в основном в направлениях вблизи ч или ч (как это видно из знаменателей в (98.8)). Если угол 0 рассеяния электрона мал, то направления всех трех векторов р, р', и близки друг к другу. Тогда )бс)! = (бр'( — )1с! = ы( — — 1) - "™, ') Для ее вывода удобно вернуться к (98.6), положив р = би съ), рй = ем(1 — чп), ..., е = (О, е) и произведя заново суммирование по поляризациям с помосцью (45.4а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
