В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(95.16) При и — > О лигг(ЕЬли) — > 1, г'(е) — > 1, г'~(е) — ий — г О. Выражение (95.16) сводится при ятом, как и должно быть, к формуле Бете Гайтлера (94.3), отвечающей борновскому приближению. Оно сводится к той же формуле также и при произвольном и, если углы вылета пары удовлетворяют условиям [бт — д [ « 1> [ г — гг>[ « 1. Действительно, при зтом г) (( гп, так что второй ч.лен в фигурных скобках в (95.16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (57/г>1)~. В первом же члене имеем (заметив, что (1 — е) гг,ггн « 1 ') ) г'(е) — > г'(1) = Р( — ги> ги> 1, 1) = Г(1 — >и)Г(1-г- >и) а.и (95.
17) в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками. Перейдем теперь к интегрированию сечения по направлениям вылета пары. ') Это значение функции можно получить из формулы (е. 7) (см. П), связывакицей гипергеометрическне функции аргументов к и 1 — к (г'(е) вещественная функция).
Интеграл 1 вычисляется затем прямо из (95.8). Подставив значения интегралов в (95.11), а затем в (95.1), получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная формула: 468 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Интегрирование по углам разобьем на две области, 1 и П, в которых соответственно 1)1В>1ВМП)1х<1В1 где ВГ . — некоторое значение, для которого 1 » 1 — ВГ » (п2/е) .
2 Поскольку в области П 1 — В « 1, 9 « т, то, согласно ска- 2, 2 занному выше, здесь дс — Гххтв — = Г)с~ =ш где Гххтв сечение в борновском приближении. Поэтому интеграл по углам: дсхт: — Гхс: ххсх + ГГГГ~Р— Ю: (Гхох Р)Б + (ххсх Гхйи-эо) (95.18) где (Г)хт,т)в проинтегрированное по углам борновское сечение (94.5). В области 1 имеем д2!Гпз — 52 + б~ + 2А б сов,,х. От переменных дт, д., ~р перейдем к переменным (ч, Прямым вычислением якобиана преобразования найдем бТддТ . д Ю ГКС -Э '+' 8тх (4Т6 )2 ВЕВ причем 1 — В = — '.,6-б- = хйх = ~, +С вЂ” 2~Д + 2 ~Э С (1 — ~Т)(1 — С .) совсх. Выразив отсюда сов ~р и Вш хр и подставив в (95.16), пог ге простых алгебраических преобразований получим 2216чхЦ 212 — — — — 1)2 — 2(6Т вЂ” Р )2) хх х ( [(еэ.
+е )(1 — В)+2ВФЕ (~Ф вЂ” ~ ) ]+ (1 — 2)2 +(, ((е +е )В+2е~е (~~+( — 1)~]~, а 2у2~, 2 НаКОНЕЦ, ВВОДИМ ВМЕСТО Сэ, С НОВЫЕ «СфЕРИЧЕСКИЕхХ ПЕРЕМЕННЫЕ )Г, 2)х: (Ф+( — 1 = ъхьв1пхсоЯФ; С+ — С = Ах'Т вЂ” В В)П,"Г В)иф; 0<)Г<2Г/2, 0<ф<22Г„ 22Х,хХ- ххИх-*) ' х- ххххх 2 Йа теоРия Рождения ПАР. УльтРАРел5Г!'ивистскии слУИАЙ 469 Указанные интервалы изменения 1 и 5)! отвечают изменению отОдо1>т.с,бт,б (или,чтотоже,ОА,О )отОдоос; быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение области изменения углов. После преобразования корень в знаменате«ут!5-*!е 2; 2 2 2225 тарно и дает ЕЬ = 2А 2л>1е~ет+е + -аде ) [ + — Г' (е)1слт.
/ 2 2 2 11Р2(2) 2 >2 3 )[1— Интеграл от этого выражения равен е>Г(е1)Г'(е1)(52~. Значение е>Г(е1) = Г(1) берется из (95.17), а предельное выражение для Г'(е> — э 1) дастся формулой ') — Г'(е) = Г(1 — 2'и, 1+ м0 2, е) — — [1п(1 — е) + 27" (и)] ' ! 2 ХР где 0 0,1 0,2 0,3 и Рис. 18 )'(52) = — [Ф(1 + > и) + Ф(1 — иу) — 2Ф(1)] = ь 2 ~~> 2 п(пе -~-Р2) в=1 (95.19) Ф(е) = Г'(е)/Г(е). Подставив все найденные выражения в (95.18), получим следующую окончательную формулу: сЬ, = 4Я от,~ет+е + — ете ) [1п — — — )(с>4] 2 25 2 2 2 1 ~ 2еэе 1 ) дет. 3 п>ь> 2 и (95.20) ) Вывод этих формул можно найти в приложении к статье 1>ае1ев Н., ВЕ11>е Н. А., Мах>>поп Х.
С.))РЬуайеу. — 1984. — У, 93. — Р. 788, Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по е будет производиться от О до е>,между тем как при изменении азимута 92 от О у( )5 2 до я и от л до 2>т каждое значение е проходится дважды. Интегрирование по 51е производится с помощью формулы (92.14), 146 которая при 52' = — 52 (и соответственно вещественной Г(е)) имеет вид т~ 2 52 1 Н + ЕГ = . (ЕГГ ).
1,08 1 — 22 иэ Р2 !22 470 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Полное сечение образования пары фотоном с энергией Вл = — 2Т ссг, ~ЙИ вЂ” — — — 1(сто)1. 2В 2 21 2м 109 (95.21) 9 ' В1 42 Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычитанию из логарифма упиверсальиой функции атомного номера 7" (нЯ). На рис. 18 дан график этой функции. При и « 1 функц У( ) =1,2Г2. 9 96. Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае Матричный элемент для тормозного излучения ~( ) (сев*)е — сиГ~1 1с1зт.
(96.1) волновые функции начального (е, р) и конечного (е', р') электронов содс.ржат в своих асимптотиках соответственно выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого интеграла апалогичио вычислению матричного элемеита (95.2). Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тормозиого излучения, основанный иа квазиклассичпости процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М.
Катков, 1968). В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс с1 = р'+ 1с — р. Как и в задаче о рождении нар, надо различать две области значений передачи импульса с1 с, попеРечной по отношению к Р; 1) гп > с7с » сит'7е2, П) от ГВГи2/е~ << сси (96.2) Очевидно, что в области 1 сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких с1Е изменение импульса отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет показапо в 9 98 (см.
вывод условия (98.10)). Поэтому в области 1 сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле Неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, ие зависящей от вида поля. Но согласно (80.10) сечение рассеяния в кулоиовом поле для малых углов совпадает со своим борповским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области 1. Таким образом, требует особого рассмотрения только область П. Малым передачам импульса отвечает прохождение электрона мимо ядра на болыпих прицельных расстояниях; р 1/дт > 2 > е/т .Но на таких расстояниях движение электрона заведомо 1 ав тОРИОзнОе излУчение УльтРАРелятиеистскив ОлУчАЙ 471 Следовательно., балт и ,г ~4 т (96.3) и С достаточной точностью скорость у(1) = р(г)/е (где энергия е зависит только от величины, но не от направления р) можно считать постоянной.
Еще одно интегрирование дает тогда г(1) — г1 = ъ 1(1 — 11) — — [р(1') — р1]Ф'. (96.4) й Положим 11 = — оо, так что величины р1 = р( — ОО) = р и у = р/е будут начальными импульсом н скоростью электрона. Представим вероятность (90.7) в виде Йа = ~а(р)~ (96.5) где квазиклассичпо, в чем легко убедиться простым применением обычного условия квазиклассвчности (46.7) (см. 1П)к ультрарелятивистскому уравнению (39.5). Квазиклассичпость движения позволяет применить метод, использованный уже в 3 90 для магнитотормозного излучения.
При этом выражение (90.7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электрона мимо ядра. Для фигурировавшей в ~ 90 функции 7 остается в силе формула (90.18); единственное отличие состоит в форме квазикласснческой траектории электрона г = г(г), по которой вычисляется разность гз — гь На больших прицельных расстояниях поле ядра можно считать ыабым. В нулевом приближении траектория представляет собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра. В следующем приближении имеем уравнение движения (ср. 1, З 20) 4р р агГ М т а'т где р вектор в плоскости хд, перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве т в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения; ° = УУ~ 'Р й'+Р 472 ВЗАИМОДВЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х здесь е' = е — оз, р'(4) = р(1) — 1с.
Классическая функция р(1) дается формулой (96.3). Если р - - начальный импульс электрона, то для кулонова поля (сл = — и/г, и = Уо) имеем р(~) = р — — Р~~+11, е р е~. Введя передачу импульса в классическом рассеянии Л = р(оо) — р( — оо) = — 2ри|рэ (96.7) можно переписать эти формулы как р(~) = р+ -'с~~ ' + 11, г(4) (р+ ~,й,) г + ~ ~~2+ рз Используя теперь формулу (90.20) для 1ь(1) и выражения (96.8) для р® и г®, можно произвести интегрирование по вре- мени в (96.6). Оно осуществляется введением переменной (96.8) б = — — (ВИ вЂ” 1сг(г)) вместо 1 и использованием формулы = 2 ХКл(Х) бе 'лнб Ъ~Хз+ Е'л где Кл — функция Макдональда. В полном проведении этого вы- чис'гения, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение п(р) лишь для малых значений независимого пара- клетра Аа(Ь « ггг). В этом случае находикл (р) = уо л'схК~(х), (96.9) где ) СпинОры вл, и олг можно считать при интегрировании пОстоянными, т.
е. можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом ультрарелятивистском движении. Это следует из уравнений, полученных в 1 41, х = р — (1 — пи), е' и = 1с/ло, а 1) некоторая функция р, е и 1с (но не р), причем ее точный вид несуществен ') . Поскольку в ультрарелятивистском 96 тоРмозное излучениь ультРАРеля'Гивистский случАЙ 473 снучае фотон испускается под малым углом 0 к направлению скорости электрона, имеем с с' ВВ1 т — р — аз~1 — н+ — (, 2 ",с=р (1+б ), В= —. (96.10) сса =, ~а,(р)~ с1 р. (96.11) Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирования по с12р дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (а предельное значение р (ос) классической функции р'(с) не совпадает поэтому с реальным конечным значением импульса электрона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
