В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 92
Текст из файла (страница 92)
где и = 1с/оз, а ч и ч' начальная и конечная скорости электрона. !ъ1ы виДим, что выРажение, стоЯЩее пеРеД дат,р, Действительно совпадает с (деленпой на сп) классической интенсивностью излучения (ср. П, (69.4)), как и утверждалось в формуле (98.1) . Условие применимости полученных формул требует также, помимо малости ы по сравнению с е, чтобы передача импульса ядру с) была велика по сравнению с изменением бс) этой величины, связанной с испусканием мягкого фотона.
Имеем бс) = (р' — р — 1с) — (р' — р) о = бр' — 1с, 1 98 излучение мяГких ФО'ГОнОВ 11Ри стОлкнОвениях 485 и поскольку )с1! ей, хлы получаем условие в» "'"'. (98.10) Ввиду квазиклассического характера формул (98.5) — (98.8) они справедливы для излучения любыми заряженными частицами (нс обязательно электронами, для которых был проведен вывод). В общем ш1учае, когда в реакции участвует несколько таких частиц, формула (98.5) должна быть записана в виде М 1 = М1У"~~ еъГ4я ~~ Л1 1~ 1 1р'а) 1рь) Г' (98.11) 111 к К хе или — — — Ь ЬЗК 1т Ь1 Р-Ь1-Ь1 Р-Ь1 Р где суммирование производится по всем частицам (с зарядами ее); соответствующим образом меняются и формулы (98.6) --(98.8). В частности, в нсрелятивистском случае МЛ = М~~~ ~~ ~~1 Х(у' — у)е*.
(98.12) Для двух частиц эта формула принимает вид (упр1 ъ14Я ч ~/Я1е еее'1 (98.13) с1 = Гп(Хà — зе), гп = т1 Ч- те где ч и зе' . - относительная скорость частиц до и после столкновения. Интегрируя квадрат ~М11~ по направлениям вылета фотона и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде 2е' /е1 ЕО "12 2еы ЗЛ1т1 т) м Полученные результаты обобщаются на случай одновременного излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фотонов в амплитуду Му; добавляется свой множитель того вида, который стоит при М У,"Р в (98.5).
В этом легко убедиться непосредственно, скажем, на примере двух фотонов. Линии обоих испускаемых фотонов должны добавляться па внешних электронных линиях, причем в двух различных последовательностях, т, е. диаграмма с внешней линией р заменяется двумя диаграмлеами с линиями 486 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМП! ГЛ Х Каждеся из пих содержит множитель (знатленатели электрош!ых пропагаторов) 1 1 1 1 или 2((рй1) -~- (р)а)) 2(рй1) 2((р)с1) -!- (РЬЯ 2(р)се) Их сумма равна 1 1 2(РЙ1) 2(рье) т.
е, содержит произведение двух независимых множителей, отвечающих первому и второму фотону. После этого в сумме всех диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариант- ности) в произведение разностей (''; — —;Н ", — —;) (Р е;) СГ1е1) 1 ('(Р е1) (Ре1) ) (Р !Г1) (РЕ1) (Р )с2) (Р)се) Соответственно факторизации амплитуды разбивается на множители также и сечение процесса. Таким образом, мягкие фотоны испускаются независимо.
Сечение процесса с испусканием н мягких фотонов может быть представлено в виде сссс = с(сстлрс(т! ... с(и1„, (98.14) где с(сл!! с(ю2, ... вероятности отдельного испускания фотонов с(кс, сйз, ... При интегрировании этой формулы по конечному интервалу значений переменных (частот и направлений), одинаковому для всех квантов, должен быть введен множитель 1Сн!, учитывающий тождественность фотонов.
Если проинтегрировать сечение излучения (98.1) по частотам в некотором конечном интервале от сл! до и!2, то мы получим выражение вида сЬ ст 1п ='с(!Тх„р (98.15) 111 (ср. (98.8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие, так что возможные значения сл2 ограничены условием применимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно положить В!2 е, где е — начальная энергия излучающей частицы.
Значения же и!~ вообще ничем не ограничены снизу. Но устремив щ! к нулю, мы увидим, что сечение излучения всех возможных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной клтастрофьс (К В1ос)с, А. 717огсЬсесИ, 1937). При сс1п е >1 (98.16) М1 будет с(сс > с(стт„р. Но это означает неприменимость теории возмущений - невозможность вычислять с(!т как величину более высокого порядка малости, чем с(ст „р.
Другими словами, параметром 1 ав излучение мяГких ФО'ГОнОВ НРН ОТОлкнОВвниях 487 малости должно считаться в данном случае пе О, а произведение 1.И,"): Таким образом, вывод формул (98.5),(98.6) на основе теории возмущений оказывается неверным при достаточно малых частотах. С другой стороны, классическая формула для интенсивности Ы (см. П, (69.4)) применима в тем большей степени, чем меньше ы. Поэтому формула (98.Ц останется правильной, если несколько видоизменить ее смысл в сторону болыпей классичност1ь Именно, в (98.1) подразумевалось, что излучается один фотон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с ы и «сечение относительной потери энергии» дается выражением ый»,1е, или ЙГ„Н„ (98.17) В действительности же при достаточно малых ы вероятность излучения не мала, а вероятность излучения двух и более фотонов не меныпе1 а больше вероятности излучения одного фотона.
В этих условиях выражение (98.17) останется справедливым, но классическая интенсивность 111 будет определять не вероятность излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов ГН = —, (98.18) или в конечном интервале частот (98.19) Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо (это справедливо во всех приближениях теории возму1цений), к процессу множественного излучения можно применить формулу Пуассояа: вероятность н1(п) излучения и, фотонов выражается через среднее число »1 формулой ш(п) = — ехр1 — и). (98.20) Представим сечение процесса рассеяния с излучением фотонов в виде Г1п — ЙГ р ' ш(п) (98.21) Поскольку 2,'н1(»1) = 1, то Йт яр представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением.
Это обстоятельство, очевидно из классического рассмотрения; по теории же возмущений Йт „р есть сечение чисто упругого рассеяния. Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так, 488 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х что т)тт „р, вычисленное по теории возмущений как сечение упругого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых мягких фотонов. Что же касается сечения чисто упругого рассеяния, то оно в действительности равно нулю; при ьтг -+ 0 среднее чисто и — + ОО, и согласно (98.20) обращается в пуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов ') . Задачи 1. Найти спектральное распределение тормозного излучения мягких фотонов при рассеянии ультрарелятивистского электрона на ядре. Р е ш е н и е.
Интегрирование формулы (98.8) по т)ок дает тл = ар(б) — 'сЬт„р, % где Р(() = — ~ 1тт(( -~- Я'" + 1) — 11, б = — зш — (2) .т у /бр+ 1 т 2 (р. — импульс, В-- угол рассеяния электрона). В ультрарелятивистском случае основную роль играет область углов « ⠫— (3) г е (нижняя граница — условие (98.10), о верхней границе см. ниже). При этом б = ер/(2т) « 1, так что Р(Я) (8ДзхЯ, а сечение упругого рассеяния электрона на ядре (см. (80.10)) эти по э тл „РВ47 т,— (4) Интеграл 16 т злы /' 40 па = — Я от,— ут 3 ' l В логарифмически расходится; он обрезается снизу на углах 0 тп рт)е', а сверху — при ( 1, т.
е. на углах д тп/е (ттрн ( -э со 4 г" — 1и б, так что интеграл сходится). Таким образом, с логарифмической точностью находим 16 т тпьт е с6т = — Я Ог,— !и— (5) 3 ю пи~ — в согласии с логарифмической частью формулы (93.17) (в которой надо положить Е Е ). Достичь нелогарифмической точности можно, лишь выйдя за пределы квазиклассической области. ') Мы вернемся ВВце к обсуждению этой ситуации в 3 130 в связи с изучением радиационных поправок. ') Приведенные ниже применения формулы (98.7) принадлежат В. Н.
Байеру и В. М. ГплттикомтуЯ364). з 99 МСТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТ'ОНОВ 2. Для столкновения двух ультрарелятивистских электронов определить (в системе центра инерции) сечение одновременного испускания двух мягких фотонов в противоположных направлениях под малыми углами к импульсам электронов. Р е щ е н и е. Фотоны, летящие в противоположных направлениях, испускаются различными электронами, каждым В направлении своего движения. Сечение одновременного излучения Жт = 7(о р ОРЯ ОР(б), б = — гйп —, (б) Ыг щг ш 2' где е — энергия каждого из электронов,  — угол рассеяния в системе центра инерции, одинаковый для обоих электронов (поскольку фотоны испускаются заведомо в различных направлониях, вводить в сочение множитель г,бг не надо). Сечение упругого рассеяния электронов на малые углы в системе центра инерции в ультрарелятивистском случае совпадает с (4) (ср, (81.11)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
