В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 94
Текст из файла (страница 94)
где е = т7 и е — начальная и конечная энергии электрона в систелш Л (е — е' = и2'). Подставив (б) в (1),получим ~оР '=ЯР. + + 2 2 Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по ш1 при заданном 22 (т. е. заданном с ) в пределах между 2сь2' 2ть2' 111 А Ь/1 Ы = (эти значения получаются из (3) — (4) при 01 = 0 и 01 = я. Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших а11 главный вклад в него дает область ш1 вблизи нижнего предела (т. е.
можно положить 221„„— > оо). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью ) получаем 1 1)22' е' 1' с е' 2 1 ее' сл, = 4г,аУ вЂ” — ~ — 4- — — -) 1п —. 22 Р Р г 3 1п22 Для справедливости этого результата, помимо условия е >) т (ультрарелятивистский элоктрон), должно выполняться условие (99.11): существенные при интегрировании частоты 221 р ы „, должны быть много меныпе е. Отсюда е — е' = рз' «ее'ут. В этих условиях полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью с (93,17).
2. То же для тормозного излучения электрона на электроне. Р е ш е н и е. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фотонов на быстром электроне дает сечение 1)о „, совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с Я = 1.
Рассеяние же виртуш1ьпых фотонов на электроне отдачи дает сечение излучения 495 1 1оо МВТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ 22~ г >> т. В первом случае полу"шем 2 в согласии с (97.3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой точностью е/от~ на г/т). В случае же 22~ е метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления дп„т . Частота виртуальных фотонов 121 ь2 пробегает значения,начиная от и',и при ь2 = ь2' е, следовательно,не вьшолняется условие (99.11).
3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов. Р е ш е н и е. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): 22»пь Перейдем в систему отсчета Ко, в которой ядро движется навстречу фотону со скоростью ее такой,что 1 ы /Г:ет 2 В этой системе энергия фотона 1 — го ь2 Г Ь2Е =22 ~)~ "о =Ш. ,т:.2 Искомое сечение и вычисляем в системе Ко как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона юе с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим через ьт': и = ( пттп(ь2 )Л22, где и т — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается получен- ной в задаче к 3 88 формулой (1), в которой надо положить Перейдя к переменной е вместо 22~, получим сг = 2Т,ОУ~ Н1п~ — (1 — е )~ ~(3 — е') 1п — 2г(2 — е )~4ш 21 т 1 — 22 е При учете сходимости интеграла на верхнем пределе интегрирование рас- пространяется на всю область от порога реакции ь2' = т (г = О) до ы' = = Оо (г = Ц и производится с логарифмической точностьк> (т.
е. логарифм 1п(ы(1 — ь') (тп) заменяется его значением при е = 0 и выносится из-под знака интеграла). В результате получим 28 22 ю и= — пь 1,1п— 9 т в согласии с (94.6); формула справедлива прн 1п(а2/222) » 1. 496 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 9 100. Образование пар при столкновениях частиц Образование электронной пары при столкновении двух заряженных частиц описывается диаграммами двух типов: (100.
1) +-'-+. Р— — Р+ б — Р+ а (,(и (,Ф! ! (,ио (,и( ! ! (100.2) Р— Р Р+ где ()( ), ()! ) «импульсыь компонент Фурье полей двух частиц. Потенциал А" = (Ао, А), создаваемый равномерно движущейся со скоростью ч классической частицей, удовлетворяет уравнениям ПАВ = — 4ИУеб(г — ХГ1 — го), ьзА = — 4ИУеь б(г — чб — го). Его компоненты Фурье: АО(, )с) = — ' е ' ""б( — ) ы~а )сз и аналогично для А(оз, )с). В четырехмерном виде АР(9') = — яя Все"( а 11иб()у ) а где 1.Г- 4-скорость частицы, а 4-вектор то = (О, гв). Если ядро 1 покоится в начале координат (го —— О), то р = го ) есть (0 (2) вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной ) Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением движения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен.
См. об этом указанную нв с. 454 книгу В. Н. Байера, В. М. Коптева и В. С. Фадина. Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся частицам, нижняя -- рождающейся паре. Рассмотрим в ультрарелятивистском случае столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. с, можно рассматривать их как источники внешнего поля ') .
Этому отвечают, две диаграммы первого типа: 497 1юо ОБРАЗОВАНИЕ' ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ направлению движения ядра 2). Это выражение для А" (д) и должно использоваться при аналитической записи диаграмм (100.2) . В проведении вычислений этим способом в данном случае, однако, пет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по известному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре. Замена поля одной из частиц 1скажем, первой) спектром эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах (100.2) линии 90) рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2. При е.г, е » гп сечение последнего процесса дается формулой (94.5).
Умножив это выражение на спектр (99.16) эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц: п=-г,'(г,гв ) 8 2 2 ЕЕЕПЕ / 2 2 2 ~ЕЛ +Е +-ЕЕЕ ) Х Я (Е-~- -РŠ— ) 3 х 1п е+е 1п 7, (100.3) т(Е,.+Е ) Еэ+Е где у = 1,1Л вЂ” и » 1. Здесь предполагается, что (100.4) ш«е,, е «т:у: верхнее неравенство есть условие применимости метода эквивалентных фотонов. В тоже время область, определяемая неравенствами (100.4), совпадает с областью энергий электрона и позитрона, существенных при интегрировании выражения (100.3).
При интегрировании по еч. или е при заданной сумме е = еч + +е (» гп) существенна область вблизи верхнего предела; отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем Йт = — г, (Я~ Увет) 1п — 1п — —. 56 в 2 е туЖ 9Я т Е Е Интеграл по е, взятый по области (100.4), расходится как куб логарифма, а на краях этой области --лишь как квадрат логарифма.
В логарифмичсском приближении (1и 7 » 1), следовательно, область (100.4) действительно основная, и интеграл может быть взят в пределах от гп до ту. Имеем 1п ~11п.у — 1п ~) — = — 1п у, 6 1 498 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х так что полное сечение образования пары с. = 28 г,(У Я гт)21пз 27я ТУà — еэ (100.5) (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934). Рассмотрим теперь случай перелятивистских скоростей сталкивающихся ядер.
В этом случае ста,иовится существенным изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основной вклад в сечение образования пары дшот диаграммы второго типа в (100.1). Таких диаграмм четыре; две диаграммы ! и» вЂ” (-г-»- ' !»>А»! !й ! )Й р-+ — ' — + — — р- и две аналогичные, в которых виртуальный фотон к: (рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром ') . Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кинетической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции: ет + е « МИ~7»2 (100.7) ') Отметим, что образованию пары при столкновении двух электронов отвечает всего Зб диаграмм: 2! 3! = 12 диаграмм типа а), получающихся друг из друта перестановками двух начальных и трех конечных электронов, плюс 2 2! 3! = 24 диаграммы типа б)» получающиеся таким же образом из двух диаграмм (100.б). е ) В нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с изменением иьшульса излучающих частиц (!бр~ ь>>»е), и потому им можно пренебречь (по сравнению с бр) даже тогда, когда не пренебрегаем энергией фотона.
Это тем более относится в данном случае к виртуальному фотону, для которого кэ = (рт + р — )> > О, так что !к! < ы. В этих условиях разница между реальным и виртуальным фотоном исчезает, чем и оправдывается использование формулы (98.13). (т» . Начальная относительная скорость, М=М>М27»(М1+М2) —. приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары па движение ядер. Если в диаграммах (100.6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать непускание сталкивающимися частицами виртуш>ьного фотона малой частоты (о>=ет+е ).
Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в 8 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая формулой (98.13) (с тем отличием, что вместо амплитуды А74ле* реального фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона е) . 1 100 ОБРАЗОВАНИЕ' ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАОТИЦ Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запишется в виде М М1упр) 1 (е4с ~~~')ухХ) (Хс)( зе(а,урпз )) (100 8) Л4Х, ЛХ2 А где у = (О, с1), с1 = М(зт' — зг) . Как обычно, в нерелятивнстском случае фотонный пропагатор следует выбрать в калибровке (76.14). По амплитуде (100.8) находим сечение процесса: у 2 гдс Ц4 = ел.
+е —, 1 = рз+р, Ч = Ч вЂ” ю,1с(с)1с); 1 414трас — сечение УпРУгого РассеЯниЯ ЯДеР ДРУГ на ДРУге (в системе их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда ') 2 СХ4грасс = 4(Я~ юзез) — 4(Я~ Узе~) ~" ~' (100.10) Ч4 4/ 414 (приближенное равенство предполагает малость отклонения ядер от их начального направления движения оси т). Подставив это выражение в (100.9) и произведя обычным образом суммирование по поляризациям пары, получим и,„. = (илзе ) —,( — ' — — ') 22с ХЪ из 4~ рас— с'-' ЛХ4 ЛХ2 х Ор((ур + т)(уь4)(ур — т)(7С1)) (1 00.11) Дальнейшее вычисление производится в приближении, в котором все возникающие при интегрировании логарифмы считаются большими величинами.
Мы увидим, что с этой точностью основ- НУЮ РОЛЬ ИГРаЮт ЭНЕРГИИ ПаРЫ ЕХ, Е » т И УГЛЫ С) МЕЖДУ Рз и р в области п2Х'Б « й « 1. (100.12) ') Диаграммы (100.6) ссютветствуют бориовскому приближению для рассеяния ядер. Однако поскольку формул~ Розсрфорда точная (для кулонова взаимодействия), то справедливость полученных результатов В действительности не требует соблюдения условия применимости борновского приближения. 500 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х С соответствующими пренебрежениями вычисление следа, в (100.11) дает яр1...) = 4~(ете — р-~р-)(с1 — ч ) + +2(р с1)(р-Г1)+ ~.--(с11д)2 ч (, Чр-+е-с1р -)~ причем можно положить; ~рт~ = ет, ~р ~ = е .
В знаменателе же „2 1,2 =,, В2+ т2('-+'-' Е4-Е— Интегрируя по направлениям рэ и р при постоянном угле между ними, получаем Х О= — (г,г,е ) — ',( — ' — — '~ ~(. + ° )ХВ,ХВ х 8 з -'-' РЗЮ 419,41 . (100 1З) 2 92 .2 22 Вид зависимости от 0 подтверждает предположение (100.12), ВТЕКИЂ и интегрирование по 0 дает 1п + . Интегрирование же по- 2В(- +Е ) следнего множителя в (100.13) производится в пределах от ГХ —— = 412 = 0 до уЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
