В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 87
Текст из файла (страница 87)
(87.26)) и потому отсутствует в первом борновском приближении. Существование псевдоскаляра (Црр']) приводит также к тому, что наряду с членом ск бз оказывается разрешенным в сечении также и член а ~у (в противоположность ситуации при эффекте Комптопа). Этот член возникает как произведение вида ~1 ]ЙЖрр']) (где и = ~асср]), инвариантное как по отношению к пространственной инверсии, тнк и по отношению к изменению знака всех импульсов. Таким образом, излучаемый фотон обладает линейной поляризацией обоих видов (как в направлениях осей е~ц и е~з~, так и в «диагональныхь направлениях, под углом 45' к этим осям).
Это относится, однако, только к условиям., когда регистрируется также и направление вылета вторичного электрона. При интегрировании же по всем направлениям р' член сс (1 в сечении обращается в нуль. Это очевидно из соображений симметрии; после интегрирования оба несовпадающих друг с другом «диагональныхь направления становятся эквивалентными., и потому предпочтительная поляризация вдоль одной из них (как это имеет место при ~~~ ф 0) невозможна. 456 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х « д й,=р — р' — Вт= е — т — е — т — (е — е')= г г г г 2«Е' (93.20) Экранирование существенно, если т1В„„< 1/а или а та«т 1/тп (93.21) Это условие во всяком случае выполняется при достаточно больших энергиях падающего электрона.
Если д;„« 1/а («полная экранировкаФ), то с логарифмической точностью можно сразу выписать ответ для спектрального распределения излучения. Действительно, под знаком логарифма в (93.17) как раз стоит левая часть неравенства ее'/(птьт)» » та.
При соблюдении неравенства интеграл по дд, приводящий к этому логарифму, обрежется па значении порядка правой стороны неравенства. Согласно модели Томаса Ферми а аобу Гт', где ао 1/(тег) боровский радиус (см. 1П, 2 70); тогда атп 1/(ГГЯ и').
Таким образом, при полной экранировке логарифм в (93.17) следует заменить на 1п(1/(ГТЯт~')). Степень линейной поляризации пе зависит от поляризационного состояния падающето электрона: корреляционные члены в сечении вида ~1~~ и ~зт, запрещены в первом борновском приближении. Член же (гт, разретпен, так что при излучении поляризованным электроном фотон обладает круговой поляризацией (Я. Б. Эельдовттч, 1952). Экранироваиие. Полученные выше формулы выведены для чисто кулонова поля. Если же речь идет об излучении прн столкновении пе с «голым» ядром, а с атомом, то должна быть учтена экранировка поля ядра электронами, приводящая к уменыпению сечения. Для этого надо ввести в потенциал внешнего поля А~«1(9) атомный формфактор Е(т7) (см. Ш, 5 139). Согласно (139.2) (см.
Ш) это достигается заменой Я на Я вЂ” Е(д). Выясним условия, при которых экранирование существенно. Определенному значению т7 в формфакторе отвечают расстояния г 1/д в пространственном распределении электронных зарядов в атоме. Формфактор приближается к значению У (полное экранирование) при т7 < 1/а, где а размеры атома. С другой стороны, в ультрарелятивистском случае существенный вклад в сечение излучения возникает, как мы видели выше, уже от области значений т7 вблизи того наименьшего значения, которое вообще может иметь д при заданных начальной и конечной энергиях электрона.
В ультрарелятивнстском случае '1ОРмозиое излзчение' РелятиВистский слу'1аи 457 193 Потеря энергии. Потеря энергии электроном на излучение характеризуется «эффективным торможениемз; з — 1п со11п1„. о 193.22) Вычисление интеграла с йт из 193.17) приводит к следующему реву.льтату '): 2 2 112ез+4гл е+р Зсизл ™с Е 1 1п Зер гп ') Хотя формула 193.17) вблизи верхнего предела неприменима, ввиду сходимости интеграла зто несущественно.
18е+ бр)и1з 1 2 е+ р 4 1п Зерз гп 3 + — г ( р , ) ), 193.23) где Р(б) функция Спенса, определенная согласно 1131.19). В нерелятивистском случае формула, 193.23) переходит в зг„з = — Х ог,гп 1и. р.) 193.24) (использовано, что Р(~) ~ при ~ << 1 -см. 1131.23)).
Это выражение можно, конечно, получить и непосредственным интегрированием нерелятивистской борновской формулы 193.16). В ультрарелятивистском случае зг„,л = 4Хзспте (1п — — — ) (у. р.) (93.25) ш 1при с » 1 имеем г'1с) 172 1пзс см. 1131.20); оба члена с квадратом логарифма в 193.23) могут быть при этом опущены). Отношение зс„зл7'е называют также сечением потеРи эпеРгии на излучение. При болыпих е оно растет логарифмически.
Это возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При полном экрапировании зг„зл/е стремится к постоянному пределу — 4Х2с11 2 1п(17'(стХ '7з) ) При столкновении с атомом некоторое излучение происходит не только на ядре, но и на электронах. Мы увидим ниже 1см. 3 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения па ядре лишь отсутствием множителя Х2. Поэтому наличие Х атомных электронов можно приближенно учесть зазлсной Х2 на Х17+ 1). При прохождении через среду, содержащую Л1 атомов на единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию 458 взаимодействие злектРОнОВ О Фот'Оняьн! Гл х иа расстояниях порядка 1рад Ь ГЕЖГ~ 1п 1;.
7793.26) 7"77м „, Ог'7 ~ эту длииу называют радиацио777зог!. Длина когерептности. Формуле (93.20) можно дать и другое, более общее истолкование: д.ля применимости полученных формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстояниях (93.27) я я н7зс7 Х с 7п ь7/ эту длину называют длиной 97ормированил излучения или длиной когеренгпнасгаи ') . Зна гение (93.27), полученное в борповском приближении, имеет в действительности (для ультрарелятивистских частиц) совершенно общий характер легко получить его и в противоположном предельном случае квазиклассического движения. Действительно, из формулы (93.22) ') сразу видно, что для излучения под малыми углами к направлению движения существенны времена е ее т Я! 311 — н) 77! т.
е. участок траектории с длиной ст 1ко,. При заданной частоте а7 длина когерентности растет с увеличением энергии электрона. Между тем формулы, полученные для тормозного излучения па отдельном изолированноал атоме, к!агут быть справедливы для излучения при прохождении через среду лишь при условии, что на длине когерентности ие происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона. Первое означает, что должно быть 1 „,. « 1р„. Но уже значительно раньше нарушается второе условие на пути 1р„д возникает многократное рассеяние электрона иа ядрах атомов среды.
Для формулировки количественного условия вернемся к формуле (90.22) до того, как в показателе экспоненты произведено интегрирование по времени, и запишем его в виде 7! з-т 7! -!-т — 1 — 1 (1 — и 7)сК вЂ” — — (1 — и)т+ — О~А, (93.28) е,1 2 / 7, 7, ') Излагаемые соображения принадлежат М. Л. Тер-М77казллн79 (1953). ) Вывод формулы (90.22) основан только на малости кривизны траектории и в этом смысле не связан с тем, что в 1 90 рассматривалось конкретно магнитное поле. ОВРАЗОВАНИВ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЬ ЯДРА О > 1рад (93.29) >УЯ>е« 1~(11(ОЯ н')) Второй член в (93.28), набегающий за время т I „„оценивается теперь как — 2 е 1 у О1РАА Для применимости формул тормозного излучения, полученных без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал по сравнению с единицой.
Отсюда находим условие 1ког « >х1рад> (93.30) более сильное, чем условие 1,о, « 1рад (Л. Д. Ландау, О. Я. По- мера нч ух, 1953) . 8 94. Образование пар фотоном в поле ядра Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром (Я + у — + Я + е + е ) и тормозное излучение ') Напомним, что длина пробега определяется >ранспортным сечением и Р— — 1 (1 — сову)дп(Х). Для рассеяния улырарелятивистских электронов на кулоновом центре сечение сЬ(Х) дается формулой (80.10).
где 0 - малый угол между и и и, связанный с рассеянием на ядрах. При кулоновом рассеянии угол 0 меняется малыми «порциямиэ, так что изменение 0 со временеь> имеет характер медленной «диффузии по угламв. Средний квадрат отклонения электрона на пути 1 — 1> (= с(1 — 11)) 0' - (1 — 11)/1„., где 1, л — длина свободного пробега по отношению к кулоновым столкновениям. Для этого пробега имеем 1 >1>Я е 1п где )г>в;в и )сп>ах — минимальный и максимальный углы рассеяния в одном столкновении, для которых рассеяние можно еще считать резерфордовским (ср.
Х, 8 41) ') . Первый из них определяется атомными размерами а, на которых поле ядра экранируется; типо 1>>(ра). Большие же утлы рассеяния ограничены (для ультрарелятивистского электрона) расстояниями порядка радиуса ядра Л > т а -1/(рВ).
Если положить Л-1>5 10 >зЯ»эсм г«ул'> то получим 460 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОИОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х д~ = ' " Ртр вшОФГ10тв1~0 410 охр х 22г 24зо4 г 2 2 х ( — 4; (4е — 9 ) вш 04 + — ", (4е — 9 ) вш 0 — (Р2 вш 04 +р 2 в1п~О )— мз зс 2РФР— — (2Е~ + 2Е2 — 92) вшО в1ИО совЭ2), (94.1) зге ЗС— 9 =(рэ+р — 1)', „+, 2 2 зг~ = е~ — гьь ссзв Оь, (Н. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
