В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 86
Текст из файла (страница 86)
е. как для начальной (е), так и для конечной (о') скоростей электрона: ое~/йе << 1, ив~Де' << 1. При этом во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик: Ъ «1. Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля (об оправдании такого пренебрежения см. 3 97). Согласно (91.4) сечение тормозного излучения выражается через его амплитуду формулой ! Йт = ~Му,~ с1окйо'расе. (93.1) 8(2я)е~р~ В первом не исчезающем приближении матричному элементу Ме; отвечают две диаграммы: (93.2) Ао (Ч) = —.
(е) 4яее че (93.5) 1 ) Большая часть излагаемых ниже результатов была получена Бете н Га111 иерем (Н. А. ВеНе, Ит. Неенет, 1934) и независимо Вертером (Гб Ваи1еа 1934). 1З Л. Д. Ландау и Б.М, Лифшиц, том 1 1' Свободный конец д соответствует внешнему полю, так что д = = р' — р+1 есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебрежение отдачей означает, что временная компонента д~ = О. Согласно диаграммам (93.2) имеем М РЗА( )(44) У4лр*й1 ~м ТУ + уо + уо ~У+ у~ и уе — та (93.3) Промежуточные 4-импульсы 1 = р — й, 1' = р'+ 1с; введем обозначения: ~~ — гп' = — 2йр = — 2зеео, ('1~ — пР = — 21ср' = — 2зе'а1, (93.4) Ае скалярный потенциал внешнего поля; для чисто кулонова 1е1 поля 450 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Подставляя в (93.1), имеем для сечения 4з2 е Йт = —,— е*е,(и Яии)(йЯ и')г1оаг1о'4140, 4'ге ~Р~Ч4 (93.6) где ИУУ"'->т О О УУТН2 и ци 0 и-~- О 0 У24 +нз и иУ24 1-гн 0 е„е 1и Яии)1иЯ и ) — э — — БрЯ,41ур+ пт)о.
у,ур + т). 2 Вычисление следа производится по стандартным форалулам (см. 3 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использова- нием равенства о~ )о где р = 1е4 — р), если р = 1е, р). Кроме того, число подлежащих вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию по отношению к замене р еэ р, Й -э — Й, 4у — э — 47 (такая замена приводит лишь к циклической перестановке множителей в произведении матриц и поэтому не меняет его следа).
В результате получается следующее выражение для диффс ренциального сечения тормозного излучения с испусканием фотона заданных частоты и направления и с вылетом вторичного электрона в заданном направлении '): 444т — док44о х гэ .,'. р' 44 4я2 рэ4 2 х ~ О (2е2+2еу2 92)+(92(~ ~) (е ) + + 2 ( ) ( ) ~, (93.7) где 24 = е — пр, 2г' = е' — пр' 1п = 1с/ау), 41 = р' + 14 — р. ') Здесь н ниже в этом параграфе р, р', о обозначают абсолютные значения трехмерных векторою р = (Р), р = ~Р~, О = ~Ч~. Не рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение по направлениям спина начального электрона и просуммируем по поляризациям конечных электрона и фотона. Это сводится к замене 193 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ОЛУЧЛИ 451 Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид, несколько более удобный для исследования: 32 2» 7, 2 г»О = " — » — вшддд вш д'Мд'г»7»2(» (4в~ — с»~) вш2 д' + 2л м р7»з ,.2 + — '(4Е72 — 02) в1»»г 0+ 2" (р' в)п" д+ ~72 в)п2 07) МЗ Зся7 7 — (2Е2 + 2Е" — 7»~) в)п 0 гйп 0' сов 7р), (93.8) 77~ 7 где Зг = е — рсовд, Зс' = е' — р'совд', г»2 = р2 + р72 + о»2 — 2ро» сов 0 + 2р7о» сов 07в — 2рр'»совдсовд'+ вшдвшд'сов7Р), 0 и 0' углы между 1с и соответственно р и р'7 7»7 угол между плоскостями 1с, р и 1с, р'.
Интегрирование 193.8) по направлениям фотона и вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следую7цей формуле для спектрального распределения излучения '): йг„, = Е1 сп,— ' — ( — — 2се + 2 27»мр» 1 7Р РР р 3 р2Р72 + »н 7 1 — + 1' — — — »7 + Л ~ — + — х РЗ »уз»7»7' ) ~. 3»7»7' РЗР'З 2рр' ' РЗ р'3 где сс'+рр' — пз' с+р 7 с'+р' сс' — рр' — т2 с — Р С вЂ” »7 Напомним, что допустимые значения частот в полученных формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную скорость электрона 12 е»7п' « 1): электрон не должен терять почти всю свою энергию. При п7 — ~ 0 сечение излучения расходится, как 71о»,»о»; это — проявление общего правила, которое будет рассмотрено в 3 98.
В нерелятивистском пределе 1р « т) импульс фотона мал по сравнению с им»»ульсом электрона, так как 72 2 о»= «Р. 2777 ) Интегрирование по направлениям одного только вторичного электрона тоже может быть произведено в аналитическом виде-- см. бтис»сз»сгв Н. »., Ний М, Н,ОР1»ув. Иеч. — 1953.
— ч'. 90. — Р. 1030. 452 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х Поэтому. д2 = (р' — р)2. Положив в (93.8) е = е' = т, в пренебре- жении всеми р, р', о2 по сравнению с ш, получим ВГЕГ = — х2 ог,— — вшдддв)НО с(0 Г(Гр х 2 2 2ЕГГВР ВГ Г Г ГГ Г I Ро х (р2 В)п20+р'2 юп20' — 2рр'вшдвшО'сов ГГГ)Г или (93.11) 8 ~2ог2Е Гн 21Го5 х хГ 1хГ 1 х 7Г ЕЯ и ( (1 -'; 52) 2 (1 Ч- 5")2 2ее' (1 ~- Р)(1 ~- 8Г2) ') Получить эту формулу предельным переходом в (93.9), однако, довольно хлопотно ввиду взаимных сокращений ряда менов, У О Р (и 12ГГВВГГВ ГГГВ (93.10) Яс Р 94 в согласии с формулой, полученной в борновском приближении в задаче 1 8 92.
Соответственно и для спектрального распределения излучения получается известный уже нам результат (92.16) ') . В ультрарелятивистском шГучас ко1да велики как началь- Г пая, так и конечная энергии электрона (е, е» т), угловое распределение фотонов и вторичных электронов имеет очень специфический характер. При малых углах О, О' фигурирующие в знаменателях формулы (93.8) величины 2Г, 2ГГ равны и в области О < т)е становятся очень малыми. В этой области мала также и величина вектора с1(Г) т). Таким образом, в ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят вперед в узком конусе с утлом раствора тГГе. Количественную формулу для углового распределения в ультрарелятивистском случае легко получить из (93.8), подставив АГ, 2Г' из (93.11), заменив во всех других местах р, р' на е, е' и пренебрегая Г)2 по сравнению с е2. Введя удобные обозначения: б = — 'О, о' = — 'О', (93.12) Гп ГП представим эту формулу в виде 1эз ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 453 Написав с12 = 1пс))~ + 1пг)) (и = )с/ьз), легко найти, что для малых углов е г 1 б 1 -Р б'е г — = (о~ + о"2 — 2Ы' сое ~р) + гпт ~ — ) .
(93.14) юз 2г 2е' При д д' 1 второй член здесь мал по сравнению с первым. Эти члены сравниваются в области еше меньших углов где д т/е. Хотя здесь о становится в особенности малым ~д т2/е « т), интегральный вклад этой области в сечение все же мал по сравнению с вкладом всей области д < 1 (как легко видеть---в отношении ггг~/е~). Но с может достигать значений гп~(е также и при 5 д' 1, если при этом )б — д'! < †"', со < †"'.
(93.15) Е Вклад этой области того же порядка величины., что и все интегральное сечение (или даже является основным в нем-- см. ниже). Интегрирование формулы (93.13) по р и по б' дает угловое распределение фотонов (заданной частоты) безотносительно к направлениям вторичных электронов '); сЬ = 8ю ыг,— — х 2 2ные 6 лб ы - (1-~-бе)з (93.1б) Проинтегрировав по о, найдем спектральное распределение излучения в ультрарелятивистском случае: ~ г е е' е 31 Х ты 2/ 1эту формулу можно, коне гно, получить и непосредственно из (93.9)).
Обратим внимание на присутствие в (93.16) и (93.17) лога- ее рифма болыпой величины (даже при ш е отношенис— — » 1). Если она велика настолько, что велик даже ее логагп рифм, то в указанных форгиулах члены, содержащие логарифмы, ') Сначала ингегрируют по О (в пределах от О до 2к). Интегрирование по 6' удобно заменить интегрированием по разности ~Ь~ = ~6' — 6~, разбив его область на две части: от О до некоторого Ье и от ьге до со, где ьге удовлегворяег неравенствам т/е « г) е « 1. В каждой области возможны соответствующие пренебрежения в подынтегральном выражении. ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х становятся основными.
Отметим, что этот логарифм происходит от интегрирования по области (93.15) ') . Таким образом, в логарифмичсском приближении (тл е, в пренебрежении членами, не содержащими болыпого логарифма) вторичный электрон летит под углом (т/е) к направлению падения. 2 Наконец, приведем предельную формлуллу для области вблизи жесткой границы спектра, когда ультрарелятипистский электрон излучает почти всю свою энергию; ог — е » е'. Из (93.9) легко находим е р'г е' — р' 4р'г  — р' р' Формулы (93.17),(93.18) перекрывают весь интервал значений аг для улырарелятивистского начального:электрона; при ог— = е» е' » т эти формулы совпадают.
Если вторичный электрон нерелятивистский (рз « т), то (93.19) г =гг е гп е Поляризационньле эффекты. Поляризационные эффекты в тормозном излучении могут быть исследованы тем же общим методом, .который был описан в 3 65. Вопрос о выборе 4-векторов есул, есаул в данном случае особенно прост. Поскольку процесс удобно рассматривать фактически лишь в одной определенной системс отсчета (системе покоя ядра), то достаточно положить ЕП~ = 10, Ес~г), Ебй = (О, Есвй), ГдЕ Ес~г, Ес~) ПсрисидИКупярНЫЕ 1с единичные векторы, из которых один лежит в плоскости 1ср, а другой перпендикулярен ей. Не будем приводить здесь ни самих довольно громоздких вычислений, ни их количественных результатов.
Отметим лишь некоторые качественные свойства поляризационных эффектов г). 1 ) В этом легко убедиться, рассмотрев область интегрирования, в которой Лг и ЛА = 6' — 6 удовлетворяют условиям: т7е « гг, Эг « 1. В этой области дг/гн гаг + Эгг6г, а выражение в фигурных скобках в С93.13) содержат члены, пропорциональные сг или Ь Спрн сг = О и га = О оно обращается в 2 г нуль).
Интегралы же вида эггс1лгс1Ь Ьгйэ йЬ или 1 у л 6г гр у с,л г Р 6г,„г)г логарифмически расходятся; их «обрезание» происходит на границах указанной области значений переменных. г) Более подробное обсуждение этих эффектов можно найти в указанной на с. 411 обзорной статье МакМасщера, а также в книге Байер В. Н., Каьь каа В. М., йгадин В. С. Излучение релятивистских электронов. -- Мл Атом- издат, 1973. ~эз ТСРМСЗ11СЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 4об Эти свойства могут быть получены с помощью различных соотношений симметрии, подобно тому как это было сделано в ~ 87 для эффекта Комптона. Излагаемая теория отвечает первому не исчезающему приближен1лю теории возл1ущений.
В этом приближении сечение не может содержать члена, пропорционального одному лишь вектору поляризации начального (1,) или конечного (1, ) электрона. Отсутствие члена сс 1, означает, что полное (просуу1у1ированное по поляризациям фотона и вторичного электрона) сечение излучения не зависит от поляризации падающего электрона. Из числа членов, пропорциональных одним только полярпзационным параметрам фотона (С1, (з, (з), отсутствует член сс ~в. Это значит, что при излучении неполяризованным электроном фотон не обладает круговой поляризацией. Здесь имеется, однако, отличие от аналогичного результата для эффекта Комптона. В последнем случае такие члены были запрещены пространственной четностью в связи с невозможностью сосгавления псевдоскаляра из единственных имевшихся в нашем распоряжении двух независимых векторов 1с, 1с'.
В случае же тормозного излучения имеется три независимых импульса (р, р', 1с), что достаточно для построения псевдоскаляра (Црр]). Член вида б~(1с[рр']) не противоречит простра~ственпои четности и, строго говоря, отличен от нуля. Однако он нс инвариантсн по отношению к изменению знаков всех импульсов (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
