В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 81
Текст из файла (страница 81)
В силУ этих законов тРи частоты ГВМ ГВ2, Гез должны изображаться длинами сторон треугольника с периметром 2т. Другими словами, величины импульсов 1сы 1сз, 1са и углы между ними полностью определяются заданием двух частот. Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма 421 1 89 Аннигиляцитт позитгония где 15 "' = ~~ у С(йз — рт)ут'С1р — Й,) у', (89,10) ттер причем сумма берется по всем перестановкам номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соот- ВстетВУЮЩИХ тЕНЗОРНЫХ ИНДЕКСОВ ЛУттт.
КВаДРат МОДУЛЯ аМПЛИ- туды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммировапный по поляризациям фотонов: — ~ ~ЛХу,~~ = 14~) Бр ~~)~бУ~"'рЯ~И ) ., поляр 189.11) где Р- — 1УР + т), й»Й2 = 2т1т — нтз) 189.12) В результате все же довольно длинного вычисления получа ется — !МУт/2=(4Я) е .16[( ' ') +( г) +( ' ') ]. поп яр 1 2 — Лри Матрицы Я отличаются от матриц Ял"Р обращением порядка множителей в каждом члене суммы. В интересующем нас предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы р и рт равными нулю, т. е. положить р = рэ = 1т, О). Тогда электронные функции Грина ЗР— Зйт + ш — Зйт -Р т1г -Р 1) Й,)г г — 2тптот и т.
и., а матрицы плотности сводятся к тп( 9~1) 2 При перемножении в 189.11) возникает большое количество членов. Однако число подлежащих вычисленито членов можно сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно перемножить шесть членов в е55»"' 189.10) лишь с одним каким-либо — Лри членом в ьт .
В оставшихся, таким образом, шести следах тоже можно выделить некоторые части, переходящие друт в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при раскрытии следов произведения 4-векторов р, Й1, Й2, Йз выражаются через частоты нт1, нт2, шз, Поскольку р = 1т, О), то рй1 = = тпптт, ... Произведения же Й~Й2, ... определяются из уравнения сохранения 4-импульса: 2р = й1 + й2 + йз, .так, переписав это равенство в виде 2р — йт = Й1 + Й2 и возведя его в квадрат, получим 422 ВЗАНМОДЕЙСТВНЬ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Подставив это выражение в (89.8), найдем дифферепциальяое сечение трехфотонной аннигиляции; ,~аЬ,~ВЬ,~АЙ х б(1Е1 + 1с2+ 1сз)б(ГВ1 + ы2+ Гоа — 2гп) ' ' '. (89.13) Ю1М2МЗ Здесь надо еще исключить д-функции. Первая из них устраняется интегрированием по Г1 АЗ, после чего заменяем остальные дифференциалы: Г4Й1ГГ Г1йй2 — + 4яыГ~А)Г 2яьз2 Г1(сов РВ12) Гйлз, где 012 — угол между Ы1 и 1с2, .подразумевается, что уже произведено интегрирование по направлениям 1с1 и азимуту 1с2 относительно 1с1.
Дифференцируя равенство находим ГГ сов 012 = — доз. Ю1 Ю~ Интегрированием по ыз устраняем вторую б-функцию. В результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов с заданными энергиями в виде Вв,=-' '"' (( -") +(""-") +('"-"') ) 1ы1 й 2 (89.14) (имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы ввели сюда множитель 1/В, учитывающий тождественность фотонов Е (ср. примеч. На с. 286)). 1,0 Каждая из частот ш1, и2, шз может пробегать значения между О и т (значение Го достигается двумя ча- 0,6 ' —..~'-.
" '- —, - стотами, когда третья равна нулю). При заданном и1 частота и2 меняется между т — ы1 и т. Интегрируя (89.14) 0,2 — --- — -( --; — -'- — —,— по ю2 в этих пределах, получаем спек- — тральное распределение фотонов рас- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 пала. и1/т ГБзт = — Г'(ГВ1)4 ~1, 8е зитА Рис. 14 Г'(ГВ1) =, + + ~ ВЛ(т — и1) 2т — МГ (2Гл(т — а~1) 2т(т — аа)~1 Г — м1 ] 1п (2т — ю~)2 (2т — ЕЛ)В т Функция г'(ГВ1) монотонно возрастает от нуля при м1 = О до 1 при ш1 = т; на рис.
14 изображея ее график. 423 1аа МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧВНИЕ Полное сечш1ие аннигиляции получается интег1зированием (89.14) по обеим частотам; т Рп 1ГЗ.1 —— 4ее / / ~ы~ -ь М2 — т)2 Ю, Юа. 3 ' /,/ 2 2 а т — пп СтОящий ЗдЕСь двОйнОй интЕгран равЕн (на — 9) /3, и мы прихОдим к приведенной выше формуле (89.6). й 90.
Магнитотормозное излучение о2 И2а ( — ) (90.1) где ОЗа = и~е~Н ~е~Н (90.2) М е .. частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю) ') . Будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю, :этого всегда можно добиться надлежащим выбором системы отсчета. Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона.
Последняя определяется отношением йо2/е, и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести параметр где Оа = т~/(~е~й)(= т~с~Д~е~й)) = 4,4. 10'з Гс. В классической области т йсо/е « 1. В случае Зг > 1 энергия излученного фотона 12о2 е, причем при зг » 1 (как мы увидим в дальнейшем) существенная область спектра простирается до частот, при которых энергия электрона после испускания е' т — '«е.
(90.4) Н (90.3) ) В этом параграфе полагаем с = 1, но сохраняем множители Г2. Согласно классической теории (см. П, 3 74) ультрарелятивистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле П, излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходящимся на частоту ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФО'!'ОНЛЛН! ГЛ Х Что касается квантования самого движения электрона, то опо характеризуется отношением 6ого!ге; 6гоо есть расстояние между соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку йгое Н (гп)2 то ввиду (90.5) 6!во « е, т.
е. движение электрона квазиклассично вне зависимости от значения К. Другими словами, можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических переменных электрона друг с другом (величины — 6гоогге), учитывая в то же время их некоммутативпость с операторами фотонного поля (величины 6гво7ге) ') . Квазиклассические волновые функции стационарных состояния электрона во внешнем поле могут быть представлены н символическом виде г)г = (2Й) и'и(р) ехр ( — — Йл) уз(г), (90.6) где ул(г) ехр(гЯ7г6) квазиклассические волновые функции бесспиновой частицы (О(г)) — ее классическое действие); и(р )-- операторный биспинор (Й + т) ггэи (Й + гп) и'(о р)ш и р ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ и ~~ ~ ! получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и(р) (23.9) заменой р и е операторами ') р=Р— еА= — г6'à — еА, Й =(р +т2)пг, Р— обобщенный импульс частицы в поле с векторным потенциалом А(г); порядок, в котором стоят операторные множители ') Полное решение квантоной задачи о магннтотормозном излучения было дано Н.
Н. Клепиковым (1964), а первая квантовая поправка к класснческой формуле А. А. Соколовмм, Н. Н. Клвпиковмм н И. М. 7ерновым (1962). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий явным образом квазнкласснчность движения, принадлежит В. Н. Венеру н В.
М. Квшкову (1967). Аналогичный метод был использован ранее Швинеером (о'. Ясбшгггдет, 1967) для получения первой квантовой поправки в ннтевснвностн излучения. г) В этом параграфе (в отличие от гл. 1г') обобщенный нлшульс обозначается прописной буквой Р: обозначение же р прнменяется для обычного (кннетнческого) импульса. Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию — « 1. (90.5) Но 425 190 магните г оемознов излкчвнив в гр, несуществен, поскольку их некоммутативностью мы пренебрегаем: спиновое состояние электрона определяется 3-спинором и). Для вычисления вероятности излучения фотона в квазик.лассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений (44.3), а из формулы, в которой еще пе произведено интегрирование по времени.
Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем ') с) =Е~ у ~' 4, у'= I ЪЪЯг44 (907) (2я)з у — со (ср. Ш, (41.2)); суммирование производится по конечным состояниям электрона. Использовав (90.6), запишем матричный элемент для испускания фотона оз, 1с в операторном виде га(Е = -' ' ) (г~ р ( — 'к~) (2Й) и' ' Н / где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множители ехр(+гйгг'гг) превращают стоящие между ними шредингеровские операторы в зависящие явно от времени операторы гсйзенберговского представления.
Запишем Гу,(2) в виде $у,;(б) = е — (~~ф2)~г)е' где ®б) обозначает гейзенберговский оператор О(2) пт (р) ( е) — гйгбй и (р ) (90.8) (2Й) пз (2Й) пв а матричный элемент берется по отношению к функциям 9зу, 9з,. )Подставив тгп 0) = \ и ехр(киопг), получим ап = 2ягнб(ын). Учитывая, что квадрат б-функции надо пони- мать как ~б(ы) ~ — > (4/2.г)ббо), где б - полное время наблюдения (ср. вывод (64.5)), получаем из (90.7) для вероятности в единипу времени формулу (44.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
