В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 79
Текст из файла (страница 79)
1 . (87.22) Здесь Йт((, (') -- сечение (87.12). Выписаны все члены,. содержащие произведения двух поляризационных параметров. Опущены ') Более подробные сведения можно найти в обзорных статьях: То12гоеа Н. А.тт Рек Мог1. Рйув.--1956. -- Ъ'. 28. — Р. 277; МсМанст Иг. Н.,т)Век Мос1. Р1гуа — 1961. — У, 33. — Р, 8. 412 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х 1 — ВОР д(1 д 1 Р) тп — ~(1с сов д + 1с') — (1 + сов д) (1с — 1с')~, т м — м'+ 2т — ~(1с + 1с' сов д) — (1 + сов д) (1с — 1с')1. т м — ы' -~- 2т (87.23) В сечении (87.22) отсутствует член вида СГ,; это значит,что поляризация электрона не влияет на полное (просуммнрованное по ~~ и ~~) сечение рассеяния поляризованных фотонов.
Отсутствует также член вида С ~; это значит, что при рассеянии неполяризованных фотонов электрон отдачи не поляризуется. Мы видим также, что в члены, билинейные по поляризациям электрона и фотона, входят только параметры Гз, ~2, отвечающие круговой поляризации фотона. Векторы же Гюляризацни электронов ~ и ~ входят в виде скалярных произведений 1~, ..., содержащих лишь проекции этих векторов на плоскость рассеяния. Поэтому, например, сечение рассеяния поляризованного фотона поляризованным электроном Йт(Я, ~) = ЙГ® + — г, ( — ) ~24'~до' (87.24) отличается от Йт(г,) только при наличии у фотона круговой поляризации, а у электронов - отличной от нуля проекции среднего спина на плоскость рассеяния.
По той же причине электрон отдачи поляризуется только в случае, если фотон обладает круговой поляризацией; вектор же возникающей поляризации электрона лежит при этом в плоскости рассеяния: С 2 К. И К (87.25) Соотношения симметрии. В заключение укажем, что качественныс свойства поляризационных эффектов прн рассеянии фотонов на электронах следуют уже из общих требований симметрии.
члены, содержащие произведения трех или четырех параметров: этн члены несущественны, если нас интересуют корреляции между поляризациями лишь двух частиц: онн выпадают, когда поляризациопные параметры двух других частиц полагаются равными нулю. Приведем значения некоторых из коэффициентов в лабораторной системе отсчета: 1 87 полягизационныв эФФБкты Параметр ~2 циркулярной поляризации.-.псевдоскаляр (см. 8 8). Поэтому в силу требования Р-ипвариантности члены вида сх С2 (или сх © в сечении рассеяния могли бы возникнуть лишь как произведение ~2 на какой-либо псевдоскаляр, составленнь|й из имеющихся в нашем распоряжении векторов 1с и 1с' ') . Но из двух полярных векторов нельзя составить псевдоскаляр.
Отсюда и следует, что указанных членов в сечении не может быть. Параметры линейной поляризации б1 и (2 связаны с компонентами двумерного (в плоскости, перпендикулярной 1с) симметричного тензора я 1 И+ И 1( 1+чз ч1 2~ об До) 2~ ч1 1 СЗ В данном случае одна из осей поляризации выбрана вдоль вектора и = 11с1с ], а другая лежит в плоскости 1с1с (вдоль вектора оси] или 11с'и] для одного или другого фотона). Члены сх ~~ могли бы возникнуть в сечении лишь как произведения Я дио[1сыи]8 (или, что то же, Яодыой~8) и т. п. Но поскольку и —.
аксиальный и 1с полярный векторы, а Я и истинный тензор,. то такие произведения не инвариантны по отношению к инверсии. Поэтому членов сх ~~ (или сс Я) в сечении тоже не может быть. Члены жЕ СХ Сз (ИЛИ СХ СЗ) ВОЗНИКаЮт КаК ПРОИЗВЕДЕНИЯ Я Дыоре И т. П. и соображениями симметрии не запрещаются. Члены в сечении, пропорциональные электронной поляризации ~, не запрещены по четности: такие члены могли бы бьггь образованы как произведения двух аксиальных векторов: ~и.
Они, однако, должны отсутствовать в рассмотренном яами первом не исчезаю|нем приближении теории возмущений как следствие эрмитовости матрицы рассеяния в этом приближении (см. 8 71). В силу этой эрмитовости квадрат амплитуды рассеяния (а с ним и сечение) не меняется при перестановке начального и конечного состояний. В то же время сечение должно быть инвариантно по отношению к обращению времени перестановке начального и конечного состояний вместе с одновременным изменением знака векторов импульса и момента всех частиц (параметры же Стокса (м с2, (8 при этом не меняются — см.
8 8). Комбинируя оба эти требования, заключаем, что в рассматриваемом приближении сечение не должно меняться при одновременном изменении знака всех импульсов и моментов без перестановки ') Рассматриваем процесс и лабораторной системе, где р = О, р' = к — 1с'. Очевидно, что интересующие нас следствия требований симметрии (наличие или отсутствие тех или иных членов я сечении) не зависят от выбора системы отсчета. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х начального и кояечпого состояний, т. е.
при преобразовании 1с — » — 1«', 1с' — » — 1Е', «, — » — «,' «,"' — » — Г,' (87.26) и неизменных параметрах ~, г . Преобразование (87.26) меняет знак произведения «,и, и потому такие члены не могут фигурировать в сечении. Подчеркнем, однако, что этот запрет не является следствием строгих требований симметрии и может нарушаться в следующих приближениях теории возмущений. Заметим, что симметрия по четности запрещает члепы вида Ыз и с2~з в двойной корреляции между поляризациями фотонов друг с другом и не накладывает никаких ограничений на вид корреляции фотонов с электронами. Однако все члены вида С»СЕ, СГЬ, Сз«, запрещены в первом приближении требованием инвариантиости относительно преобразования (87.26). Так, члены вида ГГ(~з и (~«, можно было бы образовать (с точки зрения соблюдепия четности) как скаляры, например ~~(Я ф' » д) и ф„вй' и««)(«,1Е); эти комбинации, одпако, меняют знак при преобразовапии (87.26).
Разрешенные корреляционные члены вида (2«, могут быть образованы как произведения типа ~я(~1с). Векторы поляризации электронов входят в пих лишь в виде проекций па плоскость рассеяния. Наконец, ряд соотношений между коэффициентами в разрешенных членах возникает из требований кросс-универсвльиости. Каналы реакции, различающиеся перестановкой начального и конечного фотонов, отвечают одному процессу рассеянию фотона на электроне.
Поэтому квадрат модуля амплитуды, а с иим и сечение рассеяния должны бь»ть инвариантны по отношению к преобразованию, выражающему переход от одного из этих капалов к другому: й «-+ — к', е «-» е'* при неизменных импульсах и поляризациях электронов. В трехмерном виде это преобразование означает замены; ГВ «-~ — Вз', 1с «-» — 1с', 6 «-» ~~, ~г «-» — (е, Аз «-» ~з. (87.27) Изменение знака параметра ~з очевидно из выражения ~2 = Цее*)п» в котором вектор (ее') при .Замене е «-» — е* меняет знак, а вектор п = 1с/ш при замене 1« «-» — 1с, ГВ «-+ — и» не меняется.
Преобразоват«ие (87.27), не затрагивая импульсов электронов, оставляет лабораторную систему, лабораторной. Поэтому сечение (87.22) не должно менять своего вида при этом преобразоваиии; формулы (87.12), (87.22),(87.23) действительно удовлетворяют этому условию. 1 88 ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛ5ЩИЯ ЭЛВКТРОННОЙ 11АРЫ 416 8 88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары Аннигиляции электрона и позитрона (4-импульсы р . и Р ~) с образованием двух фотонов (й5 и йг) отвечают две диаграммы: й5 — +-~ — + — Р- Ь2 — +-à — + — Р- Они отличаются от диаграмм рассеяния фотона на электроне заменой Х1 РР— Р + Рэ 85 5 к15 85 э 5сг. (88.2) Оба процесса--.
два перекрестных канала одной и той же (обобщенной) реакции. После замены (88.2) кинематические инварианты (86.2) приобретают следующий смысл: )2 (Р— + Хг-~-) (А'5 + 522) (88.3) и = (Р— Йг) . Если рассеяние фотона было а-каналом, то аннигиляция есть Х-канал. Квадрат ~МХ,~2 для аннигиляции (усредненный по поляризациям электронов и просуммированный по поляризациям фотонов) будучи выражен через инварианты 8, и, совпадает с аналогичной величиной для рассеяния с изменением лишь смысла инвариантов ') . В формуле же для сечения (64.23), в множителях при ~МХ;~, надо заменить: 8 с-» Х, причем д,ля величины Х г имеем теперь, согласно (64.15а), 1 = -Х(4 — 4пз~).
4 Произведя соответствующие изменения в формуле (86.6), получим в результате сечение аннигиляции 2, 2 2 е ~(~ — 4п22) 1'А э — т2 в — тэ l +( щ 2+ 2) ( 2+ 2)) (88.4) Физическая область аннигиляционного канала есть область П на рис. 7 (см. с. 299). При заданном 4 (заданной энергии в системе ) При этом учитывается, что фотоны и электроны имеют одинаковое число (два) независимых поляризаций и потому несущественно, по которым ~ЛХ5,~ усредняется, а по которым суммируется.
'2 416 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х где т =174т2 1Р. А. М. РГгис, 1930). В перелятнвистском предоле (т -4 1) находим отсюда (88.7) В ультрарелятивистском жс случае ),т — 1 со) сг = — '" (1п4т — 1) (у, р.). (88.8) 2т В лабораторной системе, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, инвариант т есть 1 ет = -(1+з)4 2 4П Формулы (88.6)-(88.8) дают зависимость полного сечения от энергии налетающего позитрона: В частности, в нерелятивистском пределе ') О = ТГГ81П4 (Н. Р,), (88.11) (88.9) где нт -- скорость позитрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
