В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 74
Текст из файла (страница 74)
г 2 Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотонный пропагатор Х>ие Выбрать не в обычной, а в кулоновой калибровке (76.12),(7б.13) '): Ч'' ' Ча — ыэ/се — 10 1 Ч' / Тогда амплитуда рассеяния Му, = е ((и1у~и~) (и2 уоа2) 1гоо + (и1у'иу) (изуки2) 1)ь17. (83 3) В пренебрежении всеми членами, содержащими 1/с, второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает Му, = — 2т1 2т2(ю( Р1ю~ ) (ю~ '2ю2 )77(с1), (83.4) (83.5) а через юы ю2, ...
обозначены введенные в 3 23 спинорные о о (двухкомпо~ентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция ЕУ(с1) представляет собой компоненту Фурье потенциальной энергии кулонового взаимодействгля: У(г) = е /г. В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» вол- новаЯ фУнкЦим свобоДной частиЦы 1РВ1р (ноРмиРованнаЯ по ин- тегРалУ ( ~1о р~ и~' л) УдовлетвоРЯет УРавнению в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спипорную) ) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах множители с, а в окончательных формулах также и 6.
383 уРАБнение БРБЙТА такой плоской волны обозначим через ю (при 1ттс — ~ О она переходит в ит(0)). Именпо через зти амплитуды и должна быть выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ес виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении. В соответствии с формулой (33.1Ц биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» амплитуду и с требуемой здесь точностью в виде (83.7) С помощью втой формулы находим ~г — 1 О 1* т Р14Р11 1* ит'у ит — — итит —— 2тпт ~1 — ю,и11+ 8т'",'сг ) 1 1 и, уит = и,аит = — и т(тт(орт) + (орт)ст)ют = с = -и т(т[о с1) + 2рт + с]1т~т с (где с] = рт — рт = р2 — р2). Аналогичные выражения для (и12 уои2) и (и12 уив) отличаются заменой индексов 1 на 2 и соответственно заменой тт на -Тт. Подставим чти выражения в (83.3).
Поскольку произведение (йт'уит)(й2 1и2) уже содержтнг множитель 1ттс~, то в В,ь можно пренебречь членом из,т'с2 в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде ЛХтт = — 2»ит 2тн2(ю'тю'2бт(рм р2, с1) юттн2), (83.8) где ] «$8тп]с 8птгс т1п»гс»Ц 1п1тпгс и тт»1[чр1] тп'1[стрг] итг[чрг] ттог[чр1] 4ттсгпг 2тттпгсгттг 4ПДсгтсг 2тгтгсгп» + ( тя)( гч) 1 г (839) 41пттгсгчг 4т1тпсг ~ (индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные индексы они действуитт: стт действует на ют, а 1т2 на ю2). ГЛ 1Х ВЗАИЗ1ОЛВЙСТВИВ ЭЛЕКТРОНОВ 384 Функгцля (Л (рл, р2, с1) есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представлении. Он связан с оператором (4' (р14 р2, г) в координатном представлении формулой | — 1(р1г1трзгз) (т ( р 1 )1 1(рлг1+рзгз)т(' ГГ ЛЛ' т = (2я)' 4)(рл+ Р2 — Рл — Р2)(7(рл, Р24 41).
(83.10) Если оператор 0 представляет собой просто функцию (7(г)(г = = гл — г2), то 17(рл, р2, 41) не зависит от рл, р2 и формула (83.10) сводится к обычному определению компоненты Фурье: Р лч"17(г)т(з: = ЦЧ). Отсюда ясно, что для нахождения 14'(рл, рв, г) надо вычислить интеграл и затем заменить рл, р2 операторами рл = — Л71, р2 = — 1472, расположив их правее всех других множителей. Нужные интегралы вычисляются дифференцированием фор- мулы гяг 441 4( Ч е Чз (211)з т (83. 11) Так, взятием градиента находим Наконец, Г 41Г(аЧ)(ЬЧ) 1Чг 11 Ч = — (аз(7)(Ь(7)- 411 (2г)з т Г Чг 4гч НЧ (83.12) Чз (24т)з т 1.з' Далее (а1 ь постоянные векторы) 44т(ач)(ЬЧ) 1Чг 4( Я 4 ( д ) / тяг (~ д ) 1 4Г Ч Чл (241)з 2 1 дг/ ( ) дч! Чз (24т)з' получившийся интеграл после интегрирования по частям сводится к (83.12) и дает 44т(аЧНЬЧ) 1Чг 44 я 1( 4(7)Ьг 1 ~ ) (аг)(ЬР)~ (83 И) Чл (211)з 2 т 2т ~ тз 385 1 83 уРАВнение БРейтА При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выражение содержит в себе б-функцию б(г) .
Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям г: — (а27)(Ьь ) — = — — (аЬ)2з — = — (аЬ)б(г). Раскрывая теперь производные обычным образом, находим 2 2 1 С 4и(ап)(ЬЧ) гяг 4211 1 / Ь 3 (аг)(Ьг) ') + 4и ( Ч2 (211)1 та ( т2 ) 3 (83.14) (при усреднении по направлениям г первый член обращается в нуль и остается лишь член с б-функцией).
С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц; 11(р„р2, г) = — — ~ —, + —.) 3(г)— с ис111 1 1 1 т 2с1 1 т1 т2) 2тистасат [ 1 2 2 — ,,([гр~)сг2 — [гр2)сгс) + 4т11и с2 С га т' 3 Полный гамильтониан системы двух частиц в этом приближении й = й,"+й,"+О, (83.1б) где йгс") " гамильтонианы свободных частиц из (83.б). Два электрона. Если обе частицы тождественны (два электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изображающийся «обменнойи диаграммой Р2 Р1 ! Р1 Р2 Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, пет необходимости. Дело в том, что описание системы тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с помощью такого же оператора взаимодействия, как для нетождественных частиц, есснс условиться о должной симметризации 13 Л.
Д. Лаицау и Н.М, Лифшиц, том 1 1' 387 УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 4к 4е Оии —, Ьри —,, Зри ° й» М»/В» й» В данном случае Й = рз + р, и поскольку частицы Епочти нере- лятивистские», то — -4т с»(р»+р ) =14. Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать (83.19) '~~ли . Кри. ш»с» Здесь уке. содержится множитель 1/с~. Поэтому амплитуды и(р) достаточно брать в пулевом приближении: <о) ~ п(р ) = 42чп гв — ), 0 ) 0 и( — р~ ) = /2т, <о> где ш ., иФ фигурирующие в (23.12) 3-спиноры (ниже индексы 0И (О) у них опустим). С этими амплитудами и( — рь)у~и(р ) = и ( — рэ)и(р ) = О, и( — р,) уи(р ) = и"'( — рт )с»и(р ) = 2»п(ш*сги> ).
После подстановки этих выражений Ваннигиляционная» часть амплитуды рассеяния принимает вид (83.20) Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры и~, через которые выражаются амплитуды и( — рт), еще не являются в буквальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды получаются из и( — рь) преобразованием зарядового сопряжения; согласно (26.6) соответствующие им спиноры (обозна п1м их через ш т) связаны с гВ соотношением ш т — — п„ш*, откуда и = п»пьь — — — и»батю ш = — пэю». (83.21) позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия. Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83.1)) приводит, естественно, к оператору, отличающемуся от (83.17) лишь общим знаком. Займемся преобраюванием второго члена.
Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной калибровке: 388 ВЗЛИМОДВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ 1Х Во-первых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друт с другом электронные (ю и и1 ) и позитронные (ю и и1Р) спиноры. Эта цель достигается с помощью формулы (ю'1гш )1,ш 1гю ) = — 1ш ю Нш*ю ) — — 1ш егн1 Иш'1гш ), 2 2 (83.22) которая сама следует из (28.16). Наконец, выразив ю и ю' через юь и ю', согласно (83.21), найдем, как легко проверить, (ш*и1') = (ш'. юе ), (н1 о"ш') = — (юш ои1 Р). (83.23) Подставив (83.23) в (83.22) и затем в (83.20), получим окончательное выражение для аннигиляционной 1асти амплитуды рассеяния М~~,,""~ = — 4т (ш' ш'+ ~ (3+егэлт )~ ю юь) (матрицы «т и егт действуют соответственно на ю и ют).
Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий координатный оператор 01""")(г) = (3+ 1г~ег )а(г), г = г — г (83.24) 2,В1е' (Рп ение, 1947; Б. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть 17 + 17(ннн) с 0 из (83.17). 8 84. Позитроний Полученные в предыдущем параграфе формулы можно применить к позитронию водородоподобной системе из электрона и позитрона.
В системе центра инерции операторы импульсов электрона и оозитрона в позитронии; р = — рт = р, где р = — 1Л7 оператор импульса относительного движения, соответствующий относительному радиус-вектору г = г — гт. Полный гамильто- 389 1 84 нозитгоний ниап позитрония ') г О = — — — + Р) + У2 + гз, «а ,, + 44г4«юб(г) ,, 4 Р + ., 1 2 ОРО 1Б> гз 18 = бпе — « — — Б» + Ьгпо ( — Б — 2) д(г). 2 г (Вг)(йг) 4-2 2 /7-2 73 74 3 3 Здесь рв = еТЦ(2тс) — магнетон Бора, И = [гр) --оператор ор- битального момента, Й = (о«+о )/2-- оператор полного спина системы (его квадрат о~ = ~ЦЗ+ о«о )). В »1 включены все поправочные члены чисто орбитального характера; Р~ — - спип-ор- битальное взаимодействие; Рз вклки4ает в себя спин-спиновое и «аннигиляционное» взаимодействия. «Невозмущенный» гамильгониан Й= —" т отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь заменой массы электрона приведенной массой гп/2.
Уровни энер- гии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине) уровней атома водорода: Ь = — "", (84.2) (и главное квантовое число). Остальные члены в (84.1) приводят к расщеплению уров- ней (84.2) появлению тонкой структуры. Возникающие уровни классифицируются прежде всего по значениям полного момен- та ~.
Мы видим также, что операторы спипов частиц входят в гамильтониан (84.1) только в виде суммы Я. Это значит, что га- мильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина Й, т. е. полный спин продолжает сохраняться и в рассматри- ваемом (втором по 1/с) приближении. Поэтому уровни энергии позитрония можно классифицировать также и по полному спи- ну., принимающему значения Я = О и Я = 1. Уровни со олином О называют уровнями парипозитропия, а уровни со спинам 1 уровнями оргаопозитропия. Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в пози- тронии является в действительности точным законом, не свя- занным с тем или иным приближением по 1/с; он следует из ') В обычных единицах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
