В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 71
Текст из файла (страница 71)
2 = 4 (усреднение по поляризациям двух начальных и суммирование по поляризациям двух конечных электронов). Сечение рассеяния определяется формулой (64.23), в которой надо положить, согласно (64.15а), 1 = у,у48(8 — 4тг). Представим сечение в виде Йт = Ю ', (('(1, и) + 8(1, и) + ('(и, 1) + 8(и, т)1, 2 (б; и) =, О1з(('ур2 + т)у (ур2 + т) у ] х х 8р[ИР1 + т)Ъ(ур1 + т)Ъ] (81 5) 8(1,и) = — БР((УР2+ т)7~('УР2+ т) У (УР, + т)('УР1+ т) У ]. В 7'(1, и) сначала вычисляются следы (с помощью (22.9), (22.10)), а затем производится суммирование по уг и ы '); в 8(1, и) сначала производится суммирование по и и гг (с помощью формул (22.6)). ') Этот вид ЛХП находится в соответствии с общим выражением (70.5). В первом не исчезающем приближении теории возмущений из пяти инвариантных аыплитуд отлична от нуля только одна: 1'г(й и) = 4те /1.
г г) Отметим для будущих ссылок формулу Ч4ОР('1рг 4 пг)у (1рг т т)ч = К (Рл — ргрг) 4 Ргрг тргр~~ 366 Взлимодвйствие электвонов ГЛ 1Х В результате получим / (4 и) =,1(Р1Р2) + (Р1Р2) + 2т (т Р1Р1)); 8'(1, и) = — (Р1Р2 — 2т2НР1Р2), 1в, или, выразив функции /' и я через инварианты (81.2)1 /(1, и) = —,~ +41п (1 — гп )1, 8(1, и) = 8'(и, 1) = — ( — — т ) ( — — Зт ). си 2 2 Таким образом, сечение + —, ~ + 41г1'(и — т )] + — (-' — т ) ( — — Зтз) ~, (81.7) где г, = е2/т.
Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь 1 = — 4р е)п 20 2 — Ж = — 2рзд сов 0 = Р 41о и = — 4р сое 2, 2 Н (81.8) (~р~, е величина импульса и энергия электронов, пе к1енявзщиеся при рассеянии; 0 . - угол рассеяния). В нерелятивистском случае (е — т) ') получим 1е ( + ) в2 =( ) е2 ')2 1 1 1 + пепз / ° 4 0 В . 2 Р Р е ) 41о = сйп4 — сов' — сйп' — сое'— 2 2 2 2 е ) 4(1 + 3 сове и) 1 =( 2)2, ' .,р, 2/ в 4д ') Скорость ю предполагается малой (в «1), но такой, чтобы все еще выполнялось условие применимости теории возмущений: е /ю(= е /(11ю)) «1.
2 2 (где ч = 2р/т относительная скорость электронов) что находится в согласии с нерелятивистской теорией (см. 1П, 2 137). В общем случае произвольных скоростей формула (81.7) после 1 81 РАОСЕЯНИЕ ЭЛЕК'ТРОНОВ И 71ОЗИТРОНОЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ 367 подстановки (81.8) и простых преобразований может быть при- ведена к виду Е 4 2н1 (е +р) ~ 4 4р4ее 1 ' 44 (81.10) (СЬ. МО11ег, 1932). В ультрарелятивистском случае (р2 — 82) 2ш' (3 4- соя' а)') (81.11) ез 4 айне О В лабораторной системе отсчета, в которой один из электронов 1скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сечение через величину (81.12) 777, энергию (в единицах т), переданную налетающим (первым) электроном второму ') .
Инварианты е = 2т(тп+ 81), 1 = — 2т~7л, и = — 2т(81 — тп — тЬ). Подстановка этих выражений в (81.7) приводит к следующей ормуле для распределения по энергиям вторичных электронов или, как говорят, б-электронов), возникающих при рассеянии быстрых первичных электронов; ) 2 2 774А 1 17 — 1) 7' 27 +27 — 1 + 1) 781 14) ' 14 — 1 1Ь7(7 — 1 — Ь)7 41(7 — 1 — Ь) где у = 81 !7п; тех и 77417 — 1 — Ь) кинетические энергии двух электронов после столкновения; тождественность обеих частиц проявляется здесь в сиалметрии формулы по отношению к этим величинам. Если условиться называть электроном отдачи тот из них, который имеет меньшую энергию, то Ь будет пробегать зна- чения от 0 до (.7 — 1),12.
При малых Ь формула (81.14) принимает вид (81.13) 447т = 27ггв ~ — =, —, Ь << 7 — 1. (81.15) е,е 1 1,7 4 4,7' Отметим, что эта форалула, выраженная через скорость налетающего электрона (Е1 = (р1(/81), сохраняет свой вид при переходе к нерелятивистскому случаю. Естественно поэтому, что она по форме совпадает с результатом нерелятивистской теории 1ср. Ш, (148.17)). ) Кинематические соотношения лля упругих столкновений е различных системах отсчета см.
е т. 11, 8 13. 368 Вэаимодкйотвик элкктРОИОВ ГЛ. 1Х Рассмотрим теперь рассеяние позитрона на электроне 1Н. ВЬаоЬа, 1936). Это другой кросс-канал той же обобщенной реакции, к которой относится рассеяние электрона на электроне. Если р, рт начальные, а р', рт~ . конечные импульсы электрона и познтрона, то переход от одного случая к другому осуществляется заменой 1 1 1 1 Рг — » — Рт Рг — » Р- Р1 — » — Рт Рг — » Р-. При этом кипематические инварианты 181.2) приобрета1от следующий смысл: = Ь- — р'„)', 4= ЬР— Р'„)', '« = Ь- — 1»)г (81.16) Ес ш ее-рассеяние было В-каналом, то ее-рассеяние есть и-канал реакции. Квадрат амплитуды рассеяния, выраженный через В, 4, и, остается прежним, а в знаменателе формулы (81.5) надо заменить  — » и. Таким образом, для сечения рассеяния позитрона на электроне получим вместо 181.7) + — [е + +4т 1'и — т )] + — ( — ' — т )( — ' — Зт )).
181.17) В системе центра инерции значения инвариантов В1 4, и отличаются от (81.8) перестановкой в и и: В = — 4р соз —, 4 = — 4р В1п —, и = 4е . 181.18) 28 г 28 2 2' В нерелятивистском пределе формула 181.17) сводится к формуле Резерфорда щсе) В1п«10/2) , =(",)' 181.19) 1 ) Переход к нерелятивистскому пределу в рассеивательном и аннигиляционном членах амплитуды рассеяния — см. Виже (83.4) и (83.20). Аннигиляционный член (83.20) содержит множитель 1/се и потому обращается в атом пределе в нуль.
где и = 2р/т. Она получается из первого члена в фигурных скобках в 181.17), происходящего от диаграммы «рассеивательного» типа 1см. '3 73). Вклады же от «аннигиляционной» диаграммы (второй член в (81.17)) и от ее интерференции с рассеивательной диаграммой 1третий член) в нерелятивистском пределе обращаются в нуль ') . В общем случае произвольных скоростей вклады всех трех членов в 181.17) — одного порядка величины (лигпь в области РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И НОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 369 1 81 малых углов первый член преобладает благодаря множителю 1 2 сс Еш 4(0у42). После приведения подобных членов можно представить сечение рассеяния позитрона на электроне (в системе центра инерции) в виде 1е те 1ее + рз)1 1 8е — т4 1 су= о' 16 ее ре в,п41В/2) рее' Е1пе(В72) 12ся+т 4Р (е +Р) ° 2В 4Р ° 2В) (8126) Симметрия по отношению к замене 0 — э л — О, характерная для рассеяния тождественных частиц, .при рассеянии позитрона на электроне, разумеется, отсутствует.
В ульграрелятивистском пределе выражение (81.20) отличается от электрон-электронного сечения лишь множителем со8410442): 414тея = соь 414тее У4у Р ). (81.21) 2 В лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, снова вводим величину (81.22) т. е. энергию., передаваемую позитроном электрону. Аналогично (81.13) имеем теперь в = — 2т(е, — т — тих), 1 = — 2т~та, н = 2т(т+ е, ). Подставив эти выражения в (81.17), после простых преобразований получим следующую формулу для распределения вторичных электронов по энергиям; 2 444А ~ "1' 21' -~-41'-Р1 1 614Т = 2лгс 'уз — 1 441 'у -Ь 1 4А + ~ ~ — ~ Ь + Ь2) (81.23) (у+1)е Ь+1)е Ру+1)е гдс у = -4 ут; Ь прОбЕгаЕт Значсния От 0 дО у — 1. При Ь « « у — 1 из (81.23) получается та же формула (81.15), что и для рассеяния электронов.
Поляризационные эффекты при рассеянии электронов или позитронов вычисляются по общим правилам, изложенным в 8 65. В сколько-нибудь общих случаях вычисления приводят к громоздким формулам. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями ') . ') Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в обзорной статье МЕМаесет )4'. Н.))Р4ет. МО4). РЬуе.— 1961.— 1Д 133,— Р. 8. 370 Взаиьзодвйотвив элвктРОнОВ гл. зх В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по векторам поляризации начальных или конечных частиц. Как и в нерапятивистской теории Гсм.
П1, 8 140) 4 такие члены запрещены требованиями, вьггекающими из эрмитовосги матрицы рассеяния. Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризованных частиц не приводит к их поляризации. Эти жс требования запрещают корреляционные члены в сечении, содержащие произведения поляризаций трех из участвующих в процессе (начальньгх и конечных) частиц. Сечение содержитз однако, двойные и четверные корреляционные члены. При рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон, электрон и мюон) в нерелятгивистском пределе эти члены обращаются в нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие.
При столкновении же одинаковых частиц корреляционные члены имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным эффектам. Задачи 1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нерелятивистском случае. Р е ш ен и е. В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы плотности — двухрядными матрицами (29.20). В амплитуде рассеяния 181.3) остаются отличными от нуля лишь члены с д = и = О, содержащие диагональные (в стандартном представлении) матрицы у~.
Вмосто (81.4) будем иметь ~МГ,~ = 164г е 4гп (( е + — з) Яр(1+зтаз) 814(1 + зтЬв)— ие Р 2 е 4 4 Г 1 1 1 — — ЯрГ14-ггьз)Яр11+зг~з)) = 16я е 4т 4~ —, + — — — 11+чзэс)~ 1и Гэ и' Ги 1суммироваззие по поляризациям конечных электронов). Отсюда сечение рас- сеяния где в -- угол рассеяния в системе центра инерции, 41оо —. сечение для неполяризованных частиц (81.9).
Для полностью поляризованных электронов эта формула совпадает с результатом задачи в 111., 8 137 (при этом ~~4 ~=~4 ~=1, Ь4Ь = сова, о — угол между направлениями поляризации электронов). Для рассеяния позитр<шов ва элоктронах поляризационная зависимость в том же приближении отсутствует 141о = 41ао), в этом легко убедиться, заметив, что в нерелятивистском пределе в электронных и позитронных амплитудах иа и и „отличны от нуля различные пары компонент.
2. В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных электроновв при рассеянии неполяризованного пучка иа поляризованной мишени. Р е ш е и и е. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной полЯРизаЦии Ьв и ДетектиРУемой конечной полЯРизаЦии 4, 04етектиРУетсв 2 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 371 поляризация лишь одного из конечных электронов). Тем же способом, что и в задаче 1, получим 1 Г, 2 соэ ВП вЂ” сов В) ] — В „[1 2 1-Р Зсове В Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона имеем бп 2 соэ ВП вЂ” сов В) 1 -~- 3 сок 2 В 3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения направления спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на неполяризованном электроне. Р е ш е н и е. Аналогичным образом находим сечение при заданных поляризациях Э и А'1: 1 1, 2соэВ(1+соэВ)~ 82 = -Вне[1+ ~,~', 2 " 1+ Зсоэз В Положив ь»ь'» — — 1, найдем отсюда вероятность обращения направления спина; Ж (1 — соэ В) 2 Воо 2(1 + 3 соэ2 В) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
