В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 67
Текст из файла (страница 67)
сьс .. )0) как раз членом (О~.. 1 ..~0)(0!сс ' !0) = (О~.. 1 ..~0) (0(Ась(0) = А, (О/(Ра !0) = 7(зр, (0!б Фо) =Ф- (О!ЕрА/0) = А„*, (О/арфО) = ф„', (о!фу~о) = Ф гл (77.3) где Ар, 7()р фотонные и электронные волновые функции с импульсами р (поляризационные индексы, как и в 3 73, 74, для краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки «внутренних» операторов, стоящих под знаком Т-произведений. Поскольку при применении теоремы Вика последовательность множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих свертках сохранится хронологическая последовательность операторов, так что опи заменяются соответствующими пропагаторами ') .
1 ) По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание. При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации операторов с, с, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных>) фотонов. «Внешние» операторы с,, сг отвечают, разумеется, именно таким (начвльным и конечныъ1) фотонам. Операторы же Л (входящие под знаком Тчзроизведения) опись1вают, как было указано в 1 76, не только поперечные (при раскрытии (О) ..
с "с .. (О) аналогичный член (О! .. 1 .. (О) х х (0)с+с(0) = 0). Поэтому из (77.2) следует, что если теорема Вика справедлива для матричного элемента (0( .. с ~с .. )0), то она остается справедливой и после перестановки с и с+. Поскольку для одного определенного (нормального) порядка множителей теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в любом случае. Будучи верна для произведений операторов а, Ь....., теорема Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду с самими а, (з,... также их линейные комбинации у), у), А.
Применив эту теорему к матричному элементу (77.1), мы представим его в виде суммы членов, каждый из которых будет произведением некоторых попарных средних. Среди последних будут встречаться свертки операторов у), щ, А с «внешнимив операторами— операторами рождения начальных или уничтожения конечных частиц. Эти свертки выражаются через волновые функции начальных и конечных частиц согласно формулам; 348 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У!!! Каждый из членов су.ммы., на которую разбивается матричный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика, изображается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме и-го приближения содержится и вершин, каждой из которых ставится в соответствие одна из переменных интегрирования один из 4-векторов лы хз, ...
В каждой вершине сходится три луча два сплошных (электронных) и один штриховой (фотонный), которым соответствуют электронные ф и су) и фотонный (А) операторы как функции одной и той же переменной ан При этом оператору ф соответствует приходящая в вершину, а 575.—. выходящая из нее линия. Для иллюстрации приведем несколько примеров соответствия между членами матричного элемента третьего приближения и диаграммами. Опустив знак интеграла, знаки операторов и знак Т, а также множители — ее у и пе выписав аргу. ментов у операторов, напишем эти члены символически в виде а, (ЯАМИ)ЯАфИ555А5)г) = 1 — + — — м- фА 5рИ5)г А 5~5) Я А 75) = фАф)(фА~)фАф) =-+с.
)-~+ Для наппядности электронные и фотонные свертки изобрагкены, как и на диаграмме,. соответственно сплопшыми и штриховыми дугами. Направление стрелок на электронных свертках (от ф к уг) соответствует их направлению на диаграммах. Для внутренних фотонных сверток направление безразлично (что проявляется и в четности фотонного пропагатора как функции х — ю'). Среди получаемых таким образом членов есть эквивалентные, различающиеся лишь перестановкой номеров вершин — соответствием между вершинами и номерами переменных хмюз,..., т.
е. попросту обозначением переменных интегрирования. Число таких перестановок равно пй Оно сокращает множитель 1)п7 фотоны. Ситуация здесь такая гк, как и при вычислении Тге„в З 76. В силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора (О~ТА„А,... ~О)), которые определяются поперечныъ5н частями потенциютов. Тем самым она будет доказана и для любых произведений.
1 77 ОНЩИЕ НРАВИЛЛ ДИЛГРАЪ|Ъ|НОЙ ТЕХНИКИ в (77.1), после чего учитывать диаграммы с перестановкой вер- шин уже не надо. С этим обстоятельством мы уже сталкивались в ~ 73, 74. Так, эквивалентны две диаграммы второго приближе- ния: (фАф)(фАф) = /; фАф) фАф) = 1. ( (77 5) |ФЛФ||Ф |Ф| =---С:.-- имеет петлю с двумя вершинами. Сохранение направления вдоль электронной линии является графическим выражением сохранения заряда: «входящий» в кажду|о вершину заряд равен «выхо- дящему7Ф из нее заряду. Расположение биспипорных индексов вдоль непрерывной электронной линии соответствует записи матриц слева напра- В (77.4) и (77.5) изображены только внутренние свертки, которым соответствуют внутренние линии диаграмм (виртуальные электроны и фотоны). Оставшиеся свободными операторы свертываются с теми или иными внешними операторами, н результате чего устанавливается соответствие между свободными концами диаграмм и теми или иными начальными и конечными частицами.
11ри этом ФФФ (свертываясь с операторами аФ или 5, ) дает линию конечного электрона пли начального позитрона, а 77| (свертываясь с а,'. или 67) начального электрона или конечного позитрона. Свободный оператор А (свертываясь с с+ или ЕФ) может соответствовать как начальному, так и конечному фотонам. Таким образом, получается по нескольку топологически одинаковых (т.
е. состоящих из одинакового числа одинаково расположенных линий) диаграмм, отличающихся лишь перестановками начальных и конечных частиц по входящим и выходящим свободным концам. Каждая такая перестановка эквивалентна, очевидно, определенной перестановке внешних операторов а, Ь, ... в (77.1). Ясно поэтому, что если среди начальных или среди конечных частиц имеются тождественные фермионы| то относительные знаки диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок свободных концов, должны быть противоположны.
Непрерывающаяся последовательность сплошных линий на диаграммах составляет электронную линию, вдоль которой стрелки сохраняют непрерывное направление. Такая линия может либо иметь два свободных конца, либо образовывать замкнутую петлю. Так, диаграмма 350 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! во при движении против стрелок. Биспинорпыс индексы разных электронных линий никогда не перепутываются.
Вдоль незамкнутой линии пош5едовательность индексов заканчивается у свободных концов на электронных (или позитрояных) волновых функциях. На замкнутой же петле последовательность индексов тоже замыкается, т. е. петле соответствует след произведения расположенных вдоль нее матриц. Легко видеть, что этот след должен быть взят со знаком минус. Действительно, петле с А верп5инами отвечает совокупность г; сверток (5)5А ф) (ф А ф)... (515 Аф) 'ч ' '+~ (или другая эквивалентная, отличающаяся перестановкой вершин). В (й — 1)-й свертке операторы у5 и у5 уже стоят рядом в том порядке ф справа от 515), в котором они должны стоять в электронном пропагаторс.
Операторы же, стоящие по краям, приводятся в соседство с помощью четного числа перестановок с другими ф-операто15ами и после этого оказываются расположенными в порядке у55у. Поскольку (О!Тф фО) = — (О!Т555»5 !О) (ср. примеч. на с. 334), то замена этой свертки соответствующим пропагатором связана с изменением общего знака всего выражения. Переход к импульсному представлению в общем случае производится вполне аналогично тому, как это было сделано в 3 73, 74. Наряду с общим законом сохранения 4-импульса должны соблюдаться также «законы сохранения» в каждой вершине.
Однако всех этих законов может оказаться недостаточно для однозначного определения импульсов всех внутренних линий диаграммы. В таких случаях по всем оставшимся неопределенными внутренним импульсам остаются интегрирования (по 5»Ар/(255) ), производящиеся по всему р-пространству (в том числе и по ре от — со до +со). В изложенных рассуждениях подразумевалось, что роль возмущения играет взаимодействие между самими частицами, «активно» участвующими в реакции (т. е. Между частицами, состояние которых в результате процесса меняется). Аналогичным образом рассматривается также случай, когда в задаче фигурирует внешнее электромагнитное поле, т. е.
поле, создаваемое «пассивными55 частицами, состояние которых прн данном процессе не меняется. Пусть А5»5(я) - 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лагранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в 351 1 77 ОНЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ виде суммы А + А('1 (которая и перемножается с оператором тока Я. Поскольку А(е1 не содержит никаких операторов, он не может образовывать сверток с друтими операторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
