В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Иначе говоря, внепшему полю будут соответствовать в диаграммах Фейнмана лишь внешние линии. Представим А(') в виде интеграла Фурье: А(')(х) = А(')(|7)е мк (77.6) А|Р| (и) — АОО (я) е|||т|1А т В выражениях для матричных элементов в импульсном представлении 4-вектор |7 будет фигурировать наряду с 4-импульсами других внешних .линий, отвечающих реальным частицам. Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель А|л)(|7), причем линию надо рассматривать как «входящую -- в соответствии со знаком показателя в множителе е |'|", с которым А(А)(|7) входит в интеграл Фурье (евыходящей» же линии надо было бы сопоставить множитель А(')*(ц)).
Если при этом окажется, что закон сохранения 4-импульса пе фиксирует (при заданных 4-нмпульсах всех реальных частиц) однозначным образом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающимся «свободныыи» д производится интегрирование (по а|Ад/(2я)л), как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий диаграммы. Если внешнее поле не зависит от времени, то А(»1(11) 2яб(,70) АОО (с1) (77.7) где А|'|(с1) трехмерная компонента Фурье; АОО(с1) = А('1(г)е 'ч'|1зас (77.8) В этом случае внешней линии сопоставляется множитель А(') (с1) и ей приписывается 4-импульс |7" = (О, с1); энергии электронных линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся нефиксировапными трехмерным импульсам р внутренних линий должно производиться интегрирование по |1эр/(2я)з. Вычисленная таким образом амплитуда ЛХ7, определяет, например, сечение рассеяния (64.25). Дадим сводку окончательных правил дииграмл|ной техники, по которым составляется выражение для амплитуды рассеяния (точнее выражение для гМ1;) в импульсном представлении.
352 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! 1. Приближению и-го порядка теории возмущений отвечают диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся одна входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (штриховая) линии. В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние линии) в числе, равном числу начальных, и конечных частиц. 2. Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляется амплитуда начального электрона и(р) или конечного позитропа и( — р) (р --. 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплошной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона й(р) или начального позитрона, й( — р).
3. Каждой вершине сопоставляется 4-вектор — 1еу". 4. Каждой вне5пней входящей штриховой линии сопоставляется амплитуда начального фотона у54яе„, а выходящей линии. амплитуда ъ'4яе„" конечного фотона (е 4-вектор поляризации). Векторный индекс р совпадает с индексом матрицы у" в соответствующей вершине (так что возникает скалярное произведение уе или уе*). 5. Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется множитель гС(р), а внутренней штриховой линия —.множитель — 1Р„(р).
Тензорные индексы ди совпадают с индексами матриц у", у в вершинах, соединяемых штриховой линией. 6. Вдоль каждой непрерывной последовательности электронных линии стрелки имеют неизменное направление, а расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи матриц слева направо при движении против стрелок.
Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее матриц. 7. В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней линий удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Импульсы свободных концов --.:заданные (с соблюдением общего закона сохранения) величины, причем позитронной линии приписывается иьшульс — р. По импульсам внутренних линий, остающимся нефиксированпыми после у.чета законов сохранения во всех вершинах, производится интегрирование (по 54Ар55(2.т)4). 8. Входяп1ему свободному концу, отвечающему внеп5нему полю, сопоставляется множитель А5'~ (57); 4-вектор д связан с 4-импульсами других линий законом сохранения в вершине.
Если поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется множитель А5В5(ч), а по остающимся нефиксированными трехмерным импульсам внутренних линий производится интегрпрова5555е по 51зр,5(2я)з 353 1 78 ПЕРЕКРЕСТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 9. Дополпителызый множитель — 1 привносится в выражение для гМЛ каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы " начало и конец одной последовательности сплошных линий.
Если среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько электронов или позитронов, то относите. льный знак диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок пар тождественных частиц (т. е, соответствующих им внешних концов), должен быть противоположным. Для уточнения последнего правила добавим, что одинаковыми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы с одинаковыми сплошными линиями, т, с, диаграммы, которые оказались бы тождественными после снятия с них всех фотонных линий.
Напомним также, что при наличии тождественных фермнонов общий знак амплитуды усшовен, 3 78. Перекрестная инвариантность Представление амплитуд рассеяния МЛ интегралами Фейнмана обнаруживает их замечательную симметрикй состоящую в следующем. Любую из входящих внешних линий диаграммы Фейнмана можно рассматривать (без изменения ее направления) как частицу в начальном или античастицу в конечном состоянии, а каждую выходящую линию --как конечную частицу или начальную античастицу. Одновременно с переходом от частицы к античастице меняется также и смысл приписываемого липин 4-импульса р: р = р, для частицы (скажем., электрона) и р = — р„для пози- трона.
Меняется также и приписываемая частице поляризация. Поскольку входящей внешней линии должна сопоставляться волновая амплитуда и, а выходящей и* для электрона и = и„а для позитрона и = и,*,. Но переход от и к и* означает изменение знака проекции спина частицы (или ее спирапьности). Для фотона, как истинно нейтральной частицы, изменение смысла внешней линии означает просто переход от испускания фотона к его поглощению или наоборот: внешняя фотонная линия с импульсом е отвечает либо поглощению фотона с импуль- СОМ Киота = А', ЛИбО ИСПУСКаНИЮ фОтОНа С ИМПУЛЬСОМ Аиои = — А' и с противоположным знаком спирапьности.
Такое изменение смысла внешних линий эквивалентно переходу от одного перекрестного канала реакции к другим каналам. Отсюда следует, что одна и та же амплитуда как функция импульсов свободных концов диаграмм описывает все каналы ре- 12 Л. Д. Лаидау и Е.М, Лифи1иц, том 1У 354 ИНВАРИАНТНА51 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. Мн! акции ') . В зависимости от канала меняется лишь смысл аргу.- ментов функции: при переходе от частицы к античастице заменяется р, э — рг, где р, 4-импульс начальной (в одном канале), а рг 4-импульс конечной (в другом канале) частицы. Об этом свойстве амплитуды рассеяния говорят как о перекрестной симАаетрии, или перекрест»1ой инвориантности. В терминах введенных в 5 70 инвариантных амплитуд, функций кинсматических инвариантов, можно сказать, что эти функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала их аргументы пробегают значения в своей физической области.
Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариантные амплитуды как аналитические функции: их значения в разных физических областях являются аналитическим продолжением функции, заданной в одной из областей. Так как подынтегральные выражения интегралов Фейнмана содержат особенности, то и инвариантные амплитуды имеют особенности, определяемые из выражений для этих интегралов (с учетом правила обхода полюсов). Если инвариантные амплитуды вычиш1ены для какого-либо канала по интегралам Фейнмана, то и их аналитическое продолжение к другим каналам будет автоматически учитывать эти особенности.
Подчеркнем, что перекрестная инвариантность есть нечто большее, чем свойства матрицы рассеяния, вытекающие из общих требований пространственно-временнбй симметрии. Последние требуют равенства амплитуд процессов, получающихся друг из друга перестановкой начального и конечного состояний с заменой всех частиц античастицами (при неизменных импульсах р всех частиц и измененных по знаку проекциях их моментов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
