В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если сталкивающ)леся частицы не тождественны и не являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой: (73.17) „ьу оо Диаграмела же аннигиляционного или обменного типа в этом случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов 5В) + .(Р) фВ)„,~(В)) + (1)(Р),у,~фв)) и взяв в произведении у" (х)~т~(х') матричные элементы от членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц. Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-иьшульса.
Матричные элементы оператора У~5 = — ге 5(х)А(л) д~л (73.18) для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке т55 трех реальных частиц: двух электронов я одного фасона. Они возникают в результате свертывания операторов у5(х) и 5)1(сн) в одной точке х и определяются (например, 332 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. ЧН! для испускания фотона) интегралами Вида О71 = — 1е фз(х)Ф1 (хн уА*(х)) 11Ах, обращаю1цимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя ехр( — 1(р1 — рз — к)х) с отличным от нуля показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю диаграммы с тремя свободными концами ! 4'Й (73.19) Р1 Я1 По этой же причине невозможны процессы второго порядка, В НОтОрых участВОВали бы (В на.1альнОм и 11Онс п10М сОстояниях) шесть частиц.
В матричном элементе О7,; соответствующих пе- реходов интеграл по 11~х 11~х' распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по 114х и О14х' от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Други- ми словами, соответствующие диаграммы распались бы на две независимые диаграммы вида (73.19). й 74. Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фохопа на электроне (эффект Комптонп).
Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы Й1 и р1, а в конечном Йз и рз (а также определенныс поляризации, которые для краткости не указываем). Фотонный матричный элемент (2~ТАЙ(х)А„(х')~1) = (О~СЙТАЯ(х)А„(х')СР~О), (74.1) де А = ~(СИАЙ+ с,~А,*,). Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем (74.1) = сгАН А',,С1~ +С2 АНА',,с~~ —— Аз А'„, + А1НА~Р (74.2) (при этом учтена коммутативность операторов с1, сз, по этой жс причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электронный матричный элемент (2~Ту" (х)1 (х')~1) = (О~ОП(1(Руиф)(ф у'Ч1')а~1~0).
(74.3) ДИАГРАМА)Ы ФКЙНМАНА ДЛЯ РАОСЕЯНИЯ ФОТОНА В нем фигурируют четыре ф-оператора. Только два из них будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами й~~ и аг. Это могут быть операторы 7)7, 7)7 или 7)7', 7)7 (но не 7(), 7у) или «у7', «у7'; рождение и уничтожение в одной и той же точке я: или х двух реальных электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному )7ул7о выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе (74.3) два члена; выпишем их сначала в предположении 1 > 1'.
(74.8) )777) = Я7"«)Я7" «), 7 )«7Ф«))«7"«), . )7А7) В первом члене свертываются операторы а27Р— ) а~а7 фэ7 7)7 а4 — + й)а7' «Р). Поскольку операторы йэйэ~ и йуй44 диагональны и стоят на краях )троизведения, они заменяются их средним по вакууму значени- ем, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второго члена в (74.4) надо сперва «протащить» оператор йз» налево, а йу направо.
Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов йр, а+р, в силу которых (йр, ф(~. = (йрт, ф(~. = О, (74 5) (йр,«У))4 — — 7)7р, (йр,7(7)4. — — 7))р. В рсзульнате выражение (74.4) преобразуется к виду (О~Я;у"Иксу'4) — (~у"~,)Му'~')~О), у > у' (74.8) (разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные мно- жители). Аналогичным образом при 7', < 77 получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов у«, Рл (О~ — (7(7сУ 7(77)(7777 УР7)7) + (7)77 У'7)) )(ф'Ун«)7')))О) 1 < 1. (74 7) Оба выражения можно записать в едином виде, введя хроно- логическое произведение 7(7-операторов согласно определению Тф,(х),)в(х') = 1 Ь«(")~"(') ~-~ь(*)й(-), > (47 й --биспинорные индексы).
Тогда первые и вторые члены в (74.6)7 (74.7) можно записать единым образом: 7)77 ур(О~Т7(7 ф /О) у'7))7 + ф~ у'(О/Т~!' ЯО)у" фу (74.9) (7)7 7)7 обозначает матрицу ффь). 334 ИНВАРИАНТ55А5С ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. 'сс!! Об)сатин внимание на то, что в естествеггно Возни~ше~ оп)зеделении 174.8) произведения операторов при 1 ( 1' и 1 ) 1' берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определения Т-произведения, которым мьг пользовались для операторов А и у. Происхождение этого различия связано с тем, что фермионные операторы с)2, 2)2 антикоммутируют вне светового конуса 1в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а также билинейных операторов ) = 2)572)2) ') . Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения 174.8) (формальное доказательство правил комму.тации с)2-операторов будет дано в 75) ') .
Введем электроннунз функцию распространения 1или электронный прсзиагатор) — биспинор в горого ранга Ссь(х — х') --- согласно определению С,ь(х — х') = — 2(О~Тф,(х)фь(хУ)~0). (74.10) Тогда электронный матричный элемент запишется в виде (2~Ту~ 1х) у~(х') ~1) = 22)5~ у" Сху'ф', + сфз7 С7"20. (74.11) После умножения на фотонный матричный элемент (74.1) и интегрирования по 51сх с)сх' оба члена в 174.11) дают одинаковый результат, так что получается оу, = — ге сс х сс х 2)сз(х)7~~Сс,х — х, )у'фДх ) х х (А~551х)А5Р(х') + А~„(х')А5 1х)).
174.12) Подставив для электронных и фотонных волновых функций плоские вшгны 164.8), 164.9) и выделив б-функциго, как это было сделано для 173.10), получим окончательно амплитуду рассеяния Му; = — 4кееиз(17е2)С(р, + 13)(уе5) + (уе5)С(рз — ЙЙН уе~))им 174.13) ') Напомним, что сами по себе с)2-операторы не отвечают каким-либо измеримым физическим величинам и потому не обязаны быть коммутативными вне светового конуса. 2 ) Аналогично можно определить 7'-произведессие лк5бого числа уьоператоров. Оно равно произведению всех этих операторов, расположенных справа налево в порядке возрастания времени, причем знак оссределяется четностью перестановки, которую нужно произвести, чтобы получить этот порядок из порядка, указанного под знаком Х-произведения.
СоотвЕтственно этому определению знак Т-произведения меняется при перестановке любых двух с52-операторов, например: 'Ц:,ЕхЯ~1х ) = — гуссбт, )55А1х). 335 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР где еы ег. - 4-векторы поляризации фотонов, С(р) - электронный пропагатор в импульсном представлении. Два члена в этом выражении представляются следующими диаграммами Фейнмана: й2 й1 г— l 42ге иг(" ег)С(г )(Уе2)иг = Г"= Р2-Ь й1 (74.14) Рг 4яе 11г(7е1)С(У )(уег)п1 А2 Р1 Штриховые свободные концы диаграмм отвечают реальным фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляется множитель ъ'4яе, а выходящим линиям (конечный фотон)-- множитель А(42Ре", где е.-. 4-вектор поляризации. В первой диаграмме начальный фотон поглощается вместе с начальным электроном, а конечный испускается вместе с конечным электроном.
Во второй диаграмме непускание конечного фотона происходит вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение начального фотона с рождением конечного электрона. Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) отвечает виртуальному электрону, 4-и21пульс которого определяется сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставляется множитель 2С(~). В отличие от 4-импульса реальной частицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен ш . Рассматривая инвариант 1~, например, в системе покоя электрона, легко найти, что (Рг + йг) ) тг 1~~ (Рг кг) ( гпг (74 15) 3 75. Электронный пропагатор Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппарате квантовой электродинамики.
Фотонный пропагатор РР, становится основной величиной, характеризукпцсй взаимодействие двух электронов. Эта его роль наглядно проявляется в положении, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда 12 входит умноженный на токи переходов двух частиц. Анало- 336 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! гичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии электрона и фотона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
