В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Лишь в случае упругого рассеяния оба процесса по существу совпадают, и тогда (69.10) представляет собой определенную связь между спиральными амплитудами одной и той же реакции. При упругом рассеянии двух тождественных частиц число различных амплитуд уменыпается еще и в силу перестановочной симметрии. Мы видели, что при заданном,7 осуществляются либо только симметричные, либо только антисимметричные по Л1, Л2 состояния. Тем самым сохранение момента автоматически означает сохранение также и симметрии по отношению к перестановке спиральностей. Ана55огичная ситуация имеет место при упругом рассеянии частицы на античастице (или при превращении такой пары в другую пару, т.
е, при реакции вида а + а -э 6 + 55). При заданном 1 существуют как симметричные, так и антисимметричные по Л1, Л2 состояния, но этим состояниям отвечают разные ЗО9 СИМУ|ЬТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! значения зарядовой четности системы. Отсюда следует, что если взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая четность сохраняется, то переходы между состояниями различной симметрии по Л1, Лз запрещены ') .
Подчеркнем, однако, отличие от шгучая тождественных частиц, когда при каждом заданном 5 состояния одной из симметрий вообще отсутствуют. В случае же «частица — античастица!5 запрещены лишь переходы между состояниями различной симметрии, хоти сами эти состояния (для каждого,7) существуют.
В силу универсальной СРТ-инвариантности существование Т-инвариантности означает также и СР-инвариантность. Последняя приводит к равенству амплитуд двух реакций, из которых одна получается из другой заменой всех частиц античастицами (и изменением знака спиральностей), причем Л вЂ” = — Ла, ... '): (Л«Л„~~'~Л«Л,) = (ЛаЛ-„/Ф/ЛПЛ-,). (69.11) Число независимых амплитуд одинаково для всех кросс-каналов одной и той же обобщенной реакции; поэтому для оп)>еделения этого числа можно рассматривать любой из каналов. Так, одинаковым числом независимых амплитуд описываются упругое рассеяние и + Π— Э а + 15 и аннигиляция а + а — Э 6+ б. При этом ограничения, налагаемые в первом случае Т-инвариантностью, эквивалентны ограничениям, налагаемым во втором случае С-инвариантностью.
Остановимся еще на реакции распада одной частицы на две: а — 1 б+ с. В системе центра инерции (система покоя частицы а) ИМЕЕМ РЬ = — Рс. УМНОЖИВ На Р!, РаВЕНСтВО ) =1Ь+ )с, ПОЛУЧИМ Л = Ль — Л (69 12) (спиральность Лв первичной частицы определена как проекция ее спина па направление импульса одной из вторичных частиц). Это соотношение является, можно сказать, следствием дополнительной симметрии, которой обладает данный процесс: аксивльной симметрии вокруг направления рь и р .
Если спин первичной частицы за ( за + зс, то соотношение (69.12) уменыпает число допустимых наборов значений Л„Лм Лс и тем самым число независимых спиральных амплитуд распада. Полный момент 1 в данном ш5учае совпадает со спиноы первичной частицы з, так что является фиксированной величиной. ) йню5огичный запрет может возникнуть и как следствие нзотопической ннвариаптпоети взаимодействия нетождвственных частиц. Так, с точностью до этой инвариантности запрещены переходы между состояниями различной симметрии по Л5, Ле при рассеянии нейтрона протоном.
~) Поскольку эти две амплитуды относятся к различным реакциям, интереренция между которыми тем самым невозможна, фазовый! Множитель в 69.11) вообще не имеет смысла и его можно положить равным 1. Реальным смыслом обладает лишь следующее из (69.11) равенство сечений. мАТРицА РАссвяни55 Гл.
Мп Р-инвариантность при распаде выражается соотношением (ЛьЛс)Я (Л„) = — "' '( — 1)'" " в"'( — Ль — Лс)Я ( — Л„) (69.13) <Л„Л,~Я'~Л.) = <Л-,Л-,~Ф~Лн) (69.14) причем Л вЂ”, = — Л„... ), т. е. к равенству вероятностей распада частицы и античастицы.
Если частица может распадаться различными способами (по разным каналам), то это равенство относится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот результат предполагает соблюдение СР-инвариантности, нс являющейся универсальным свойством природы. Универсальный характер имеет лишь СРТ-инвариантноствб это требование само по себе привело бы лишь к равенству (Л,Л,~Ф~Л.) = <Л-.~Ф~Л-,Лв), в котором правая сторона относится к процессу.. .обратному распаду. )Лйы увидим ниже (см. 9 71), что условие СРТ-инвариашгности вместе с требованиями унитарности все же приводит к некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для вероятностей распада частицы и античастицы.
Задачи 1. С помощью (69.6) получить классификацию возможных состояний системы двух фотонов. Р е ю е н и е. В этом случае Л5, Ле = х1. 11ри четных,1 (1 > 0), согласно (69.6), допускаются три симметри щых по Л5 Лэ состояния: а) 5555555 б) 5й5м 5.-Р в) щзА55-5 -Ь 5р555-55. (здесь использован наряду с (69.4) также и закон преобразования волновой функции одной частицы (16.16)). Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие ограничения возникают, если сохраняется С-четность. Здесь надо различать три случая.
Если продукты распада тоже истинно нейтральны, то должно быть С = САСс; это условие либо запрещает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым ограничениям. Еспи частицы 6 и с вообще различны, то С-инвариантность устанавливает соотношение между амплитудами различных процессов: а -+ 6+с и а -э 15+С. Наконец,. для распада а — э 6+6 во:зннкает ограничение, связанное с тем, что при заданной зарядовой четности С и заданном полном моменте 7 = ва система может находиться .лишь в состояниях либо симметричных, .либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости от четности числа 1 и знака С.
СР-инвариантность приводит к равенству амплитуд распадов а -Э 6+ с и а -Э 55+ с: СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! При нечетных,7 (,У > Ц допускается одно антисимметрнчное состояние: г) гымг-! — 6ггм-г! Состояния в) и г) обладаю! в то же время определенной (+Ц четиостью! согласно (69А) Р(йгмг-! ~бгггг-г!) = ~( — Ц (бцмг-! ~~Ум-и)! множитель х( — Ц = 1, так как верхний знак относится к четным, а ниж- 5 ний — к нечетным значениям У. Состояния же а) и б) сами по себе не обладают определенной четностью, но, составив из них колгбипации а'Я!А!5! + Вггм-5-5, б')г)5!А!5! — фюи-5-5, мы получим четные и нечетные состояния. При У = 0 допускаются (в связи с условием )Л! — Лз( ( l) лишь Л! = Лг., так что состояние в) вьшадает, и остаются лишь одно четное и одно нечетное состояния а') и б').
Наконец, при У = 1 единственное допустимое при нечетных,У состояние г) запрещено, так как для него Л = 2 >,У. Таким образом, мы приходим к таблице допустимых состояний (9.5) . 2, В перелятивистском приближении полный момент системы У есть результат сложения спина л н орбитального момента У. Для системы двух частиц найти связь между состояниями )УУБМ) и !УМЛ5Лг). Р е и! е н и е. Согласно правилу составления волновых фуикпий при сложении моментов имеем УАгьям = ~ ~(55м .~~г .(а~о )ЯМУ)~5)ЕА5,(М5Мв~УМ).
(Ц Здесь 556 — собственные функции спина з с проекцией и (на фиксированную ось з), фььгь — то жс для орбитального моьюнта У с проекцией Мь; выражение в скобках отвечает сложению в! и вг в с, после чего л складывается с У в У! суммирование — по всем пг-индексам. Выразим все функции в импульсиол! предСтавлении как функции направления и (импульеа р = р!), причем функции гл, выразим с помощью формулы (58.7) (см.
П1) через функции спиральных состояний 55!„г: гг = ЕВА,,(ПК' » Ргз з = х УУ вЂ” Аг г(п)Ф -лг. ДлЯ фУнкции же ы!Ььгь имеем бгемг, = еггь(п) =5, 5( УУомь(п) .ь 12У -!- 1 550 (использованы формула (58,25) (см. П1) и определение (16.5)). Подставив эти функции в (Ц, воспользуемся дважды разложением (110.Ц (см. П1), а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша--Горлана (см. 1П, (106.13)). В результате получим гргьэ и в виде разложения гугьэм = ~~', ФУА5А, л,(УМЛ Лг~УУЯМ), (2) где /2,У+ 1 Ф.!А!А!Аз = Рс л,~~ю — АгП,555(п)5! ', й = Л! — Лг, 4х 312 Гл.
Мп МАТРИЦА РАССВЯНИ5) а ковффициентм 61мл, л,),гйям) = = ) — ))') — ))" " ))5»+ )))25 )) С»»») )»»») . )3) В силу унитарности преобразования С2) (ХАИМ)ХМЛ)Лз) = (ЛМЛ)Л»~,гй5М)*. й 70. Инвариантные амплитуды В спиральных амплитудах используется определенная система отсчета - . система центра инерции. Между тем при вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории возмущений са также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно ипвариантпой форме. Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произведений 4-импульсов частиц.
Для реакции вида а+6 — >с+54 с70.1) в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из определенных в 2 66 величин я, 1, и. Тогда амплитуда рассеяния сводится к одной функции Мс; = 1(я) 1). Если жс частицы обладают спинами, то, помимо кинематических инвариантов н, 1, и) существуют также инварианты, которые можно составить из волновых амплитуд частиц (бис)пиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь вид »))Ху, = ~ ~„(в,б)Р„, (70.2) 'и где Є— инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
