В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поэтому при С другой стороны, при ~оз — ь5„4 ~ >> Го формула должна переходить в нерезонансную формулу (59.5). Отсюда ясно, что искомое сечение рассеяния получится просто заменой Е„на ń— гГ„,52 в формуле (59.5), причем в сумме по п можно ограничиться лишь резонансными членами 282 гл. ч! РАССЬ5!НИЕ СВЕТА облучении монохроматическим светом монохроматичным будет и рассеянный свет. Коли же падающий свет имеет спектральное распределение интенсивности г(го), причем функция г(го) мало меняется на ширине Гв, то интенсивность рассеянного света будет пропорциональна П<5в!)гл!5 (63.3) ( — „,)в Л-Г„,Ч' Другими словами, форма линии рассеяния будет совпадать с ес'тественной формой линии ггри спонтанном испускании с уровня Е„,.
Сечению (63.1) отвечал.т тснзор рассеяния Е „64) -И )- 1С7ь)йг ьг„! — ьг — гГ Г!2 (63.4) В частности, тензор поляризуемости ЕА5„(4*) -Иг). гггь = 1сикц! = ы ! — ьг — гГ„552 (63 5) (погл) 4 2 ~~, з ~с) ~2„Г 52 АЛ„, к)(ы — ыю)' л- Г'гг4) В пределе Г, — л 0 последний множитель в этой формуле стремится к д-фу!!ниии б(го — нгггг), в соответствигл с тем, что в этом случае может поглощаться .лишь фотон строго определенной частоты. Пусть на атом падает свет со спектральной и угловой ) Подчеркивал, что речь идет о поглощении системой, находящейся в стабильном, основном состоянии. Ввиду конечности времени опыта постановка вопроса для возбужггениого состояния была бы другой.
Сразу же отметим, что прибавление мнимой части к уровням энергии промежуточных возбужденных состояний нарушает эрмитовость тензора поляризуемости и при частотах ниже порога ионизации. У него появляется мнимая часть, непосредственно связанная с поглощением света. Поглотив квант, атом рано или поздно вновь перейдет в основное состояние с испусканием одного или нескольких фотонов. Поэтому с такой точки зрения сечение поглогцения есть просто полное сечение ог всех возможных процессов расс'еяния ') .
С другой стороны, согласно формуле (59.25), выражающей собой оптическую теорему, это сечение определяется антиэрмитовой частью тензора поляризуемости. Подставив в (59.25) тензор сггь из (63.5), найдем следующую формулу для сечения поглощения фотона частоты ог, близкой Озш: 283 РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦНЯ плотностью потока энергии 1а (ср. ~44.7)). Тогда плотность потока числа фотонов равна — Йыдо, и вероятность поглощения 7 (погл) (погл) 1м (63.7) Если функция 1и (го) мало меняется на ширине Гп, то после ин- тегрирования по частотам получим ЙН вЂ” 4я ~ ~агин~ 1не(ЫЯ1) ГАНГ 4О.
АГ„ Заметив, с другой стороны, что, согласно (45.5), з , з д~~'"~ = ы ~~~ ~С$ГЯЕ*~ЕДО = ы ~~ ~С$п1Е~ЕДО 2л 2. м.„ М. есть вероятность спонтанного испускания фотона частоты гопы мы вернемся к формуле (44.9). ГЛАВА ЧП МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ~ 64. Амплитуда рассеяния Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том, чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая совокупность свободных частиц) найти вероятности различных возможных конечных состояний (друтис совокупности свободных частиц). Если символ ~г) обозначает начальное состояние, то результат столкновения можно представить как суперпозицию ~Д(~~Я~г), (64.Ц Х где суммирование производится по различным возможным конечным состояниям ( Д.
Коэффициенты этого разложения (((Я)г) (или в краткой записи оу,) составляют матрицу рассеяния, или о'-матрицу ') . Квадраты ~Яу,~2 дают вероятности переходов в определенные состояния ~Д. В отсутствие взаимодействия между частицами состояние системы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная о-матрица (отсутствие рассеяния).
Удобно всегда выделять эту единицу, представив матрицу рассеяния в виде оу, = бгг + г(2л) б( )(Ру — Р)Три (64.2) где Тг, новая матрица. Во втором члене выделена четырехмерная б-функция, .выражающая закон сохранения 4-импульса (Р, и Рг суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); остальные множители введены для удобства в дальнейшем. В недиагональных матричных элементах первый член в (64.2) выпадает, так что для перехода г — г ~ элементы матриц о' и Т связаны друг с другом соотношением Я~, = г(2л) б(~~(Ру — Р,)Ту, (64.3) Матричные элементы ТВ, остающиеся после выделения б-функции, будем называть амплитудами рассеянии.
При возведении модулей ~Яу,~ в квадрат появится квадрат д-функции. Его надо понимать следующим образом. б-фу.нкция ) От английского слова всвмеппя или немецкого 61гепппя. 285 АМНЛИ'ГУДА РАСОКЯН145! возникает от интеграла, 5Н)(Р, — Ре) = — ' /.Ц' -")Ч'*.
(64.4) (2я)4 1 Если же вычислять другой такой же интеграл пр14 Р) = Р, (в силу наличия уже одной о-функции), причем распространить интегрирование по некоторому большому, но конечному обьему Ъ' и интервалу времени г, то получится )'155(2я)4 ') .
Поэтом1у можно написать ~2 12 )45(4)(р р)~Т ~2)г1 Разделив на $, получим вероятность перехода в единицу времени пз,,у = (2я)~оН)(Р1 — Р1)~1Ту;~ Ъ'. (64.5) Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) описывается своей волновой функцглей плоской волной с некоторой амплитудой и (для электрона это биспинор, для фотона 4-вектор и т. п.). Амплитуда рассеяния Ту; имеет структуру вида Туч = и1 из... Яи1иг (64.6) где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а справа — начальных частиц; сь5 есть некоторая матрица (по отношению к индексам компонент амплитуд всех частиц).
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о распаде, во втором о столкновении двух частиц. Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами р', в элементе импульсного пространства П 41зр' (индекс а нул1ерует частицы в конечном состоянии, так что 2,р', = Ру). Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем Г '), есть П' " 1543 5 (2я)з а На, эту величину надо умножить выражение (64.5)1 12 )45~4)(Р Р)1Т 125-П р а ) Это можно показать иначе. вычислив сначала интеграл по каждой из координат в (64.4) в конечных пределах и затем устремив пределы к бесконечности с помощью формулы (42.4) (см.
111): зш 156 11ш, = яа(о). 4 — 5. (ое ) Для болыпей наглядности вычислений в этом параграфе не будем полагать нормировочный объем равным единице. 286 мАГРицА РАссьяния Гл. ъп При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на одну частицу в обьеме 1'. Так, для электрона - это плоская волна (23.Ц, для частицы со спином 1 .
(14.12)г для фотона - (4.3). Все эти функции содержат множитель 1ггь'2Л', где е энергия частицы. Однако в дььльнейшем будет удобным условиться писать во всех вычишгениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет ф=ие '"', а фотонная волна (64.8) йи=2т, А = ъ'4лее '~'*, ее' = — 1, ей = О. (64.9) Вычиссчшгную Г тнкимн фуню1иями амплитуду рассеяния обозначим (в отличие от '1"уг) Му,. Очевидно, что т~, = (64.10) (2ег 1'... 2е, 1 ...) Л в знаменателе стоит по одному множителю ъ'2е)5 на каждую начальную или конечную частицу. В частности, для вероятности распада получим вместо (64.7) Г)гп = (25Г) г)г'5(Р~ — Р,)~М1;~ — и р', (64.11) а где е энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал ') .
Придадим формуле (64.11) более законченный вид (устранив в ней б-функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами р1, р12 и энергиями е'1, с~2). В системе покоя распадающейся частицы р', = — р!~ = р', е' + е!2 — — гп, так что имеем . ~Муг~, д(Р1 + Р2)гг(с1 + с!2 ™)сг р1сг Р2. (25г)1 2ш 4е',е!е Первая б-функция устраняется интегрированием по дар~~, дифференциал же гг'~р', переписываем в виде лзрг р12,)~р1~,4о = ~р1~,4о'гее4'1+'г) (64.12) ег + ег ') Если среди конечных частиц илгеется гг' тождественных, то при интегрировании по их импульСам (с цЕлью нахождения интегральной вероятности) должен быть введен множитель 15гх!, учитывающий тождественность состояний, ракличающихся перестановкой частиц.
287 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИ51 ди1 = (2п)4о14)(Р— Р)~М;~2 П а Интересующей нас величиной в этом случае является, однако, не вероятность, а сечение а555. Инвариантное (относительно преобразований Лоренца) сечение получается из 515л делением па величину ! у = Гсгсз (64.14) где ! обозначает 4-скаляр (см. П, 8 12) ') . В системе центра инерции (рг ! = ~Р~(ег+ е2), (64.15) Р2 = Р) (64.16) так что (64.17) ХЕ1 Е2Г Р что совпадает с обычным определением плотности потока сталкивающихся частиц (пм п2 их скорости) ') .
Таким образом, находим для сечения формулу 5Ь = (2п)~61~)(Р! — Р)~М1;~~ — П Р' . (64.18) а ') На будущее выпишем также выражение для ! в виде 1 = 151(а — (1л1-Р1п ) ](я — (т1 — нм) (54яба) где в = (р1+рз) . ) В произвольной системе отсчета 1=15А1Л": У*:Р:Р. Это выражение сводится к обы.1ной плотности потока во всех случаях, когда ъ 1 '5 У51 у = ~У5 — Уз),%'. (в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ег2— — т5 — — е2 — т2 — — р ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
