В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(68.9) Подстановка этих коэффициентов в (68.5) дает (и'Л'~Я~пЛ) = ~? Т), (и')7Л,'„~ (п)(Л'~Я~~Л), (68.10) ,1ЛХ Л=Л,— Лм Л'=Л,— Лл, 304 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ГЛ. МН где использовано сокращенное обозначение (68.2). Выберем направление и в качестве оси з; тогда РАги(п) = аААл Ю и (68.10) принимает вид (и'Л'/Я/пЛ) = 55 + РЛ Л (и')(Л'/Я~!Л), (68 11) Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осуществляется с функциями Р, в качество коэффициентов. Для 60 реакции вида (68.1) удобно определить амплитуду рассеяния (' таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было сЬ = )(и'Л') (')пЛ) )~сто' (68.12) (сравнением с (64.19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом Мсс). Ее разложение по парциальным амплитудам напишем в виде (и'Л'фпЛ) = 5 (21+ 1)Р,,А, (и')Р А;(п)(Л')Х~(Л), (68.13) зм или1 выбирая ось з вдоль направления и: (п'Л')ДпЛ) = ~~5 (2,1+1)Р„', (и')(Л')(~)Л).
(68.14) Эта форьлула представляет собой обобщение обычного разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых частиц (см. П1, (123.14)). Поскольку Рвов — — Рь(совр)5 при равных нулю спинах (68.14) сводится к разложению по полиномам Лежандра ~(0) = ~(2Т + 1)~ьРь(совВ). ь Сечение (68.12) относится к случаю, когда все частицы имеют определенные спиральности.
Если же частицы находятся в смешанных поляризационных состояниях, то сечение получается путем усреднения произведения (Л,ЛД~Л,Л,) (Л',Л',~У~Л'.Л',)* по поляризационным матрицаъл п.лотности частиц (Л„~р~'~ /Л',) (Л,/р~'~!Л',) (Л',/р~'~ /Лс) (Л'„/р~"~ !Л„) (см. примеч. на с. 204). Так, для реакции между неполяризованными частицами а, б с образованием неполяризованных же 305 СИМУ|ЬТРИЯ СПИРАЛЬНЪ|Х АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! частиц с,сь получим (255+ 1)(2,55 + 1)(ЛАЛ||~~ ~ЛАЛЬ) Х [л> оп х (Л Л|5!~~ ~Л Ль)*РИмЛ (п~)РА, т (и!) (68.15) (ось з направлена по и, знак У означает суммирование по (л> ЛвЛЬЛсЛл). Заменив функцию Р,ЛА согласно формуле (58.19) 510* (см. 1П) и затем воспользовавшись разложением (110.2) (см. П1), получим окончательно |1о = ~5 ( — 1)А л (2,7 + 1)(2У + 1) х ьлул х (ЛСЛк((' ~ЛоЛь)(ЛСЛ,Ц~ ~ЛоЛь)* ~ ~(2Т + 1) х в "(Л Л 0)(Л Л 01|Р (с|пай) (6816) 1 У Т, 1 У Т, (й угол между н| и осью з); суммирование по 1 производится по всем целым значениям, возникающим при векторном сложении Д и Л'.
Разложение амплитуды рассеяния по |тарциальным алшлитудам полностью учитывает все свойства углового распределения рассеяния, связанныс с симметрией по отноп|онию к пространственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном виде свойства, связанные с симметрией по отношению к пространственной инверсии. Р-инвариантность (если взаимодействие обладает ею) приводит к определенным связям между различными спиральными амплитудами (см.
ниже, з 69). й 69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния Требования, налагаемые симметрией по отношению к преобразованиям Р, С, Т (если, конечно, данный процесс взаимодействия частиц действительно обладает втой симметрией), приводят к появлению определенных связей между различными спиральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают число независимых амплитуд ') . 1 ) Само число независимых амплитуд не зависит, конечно, от конкретного представления матрицы о~ и остается одинаковым при любом выборе спиновых переменных. 306 Гл.
Цп МАТРИЦА РАССВЯНИ55 Для установления этих связей выясним предварительно свойства симметрии спиральных состояний системы двух частиц. Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обладает импульсом р5=р и спиральностью ЛГ относительно направления р, а другая импульсом ря= — р н спиральностью Ля относительно направления — р. Если же определять спиральности для обеих частиц относительно одного и того же направления р, то они будут равны Л5 и — Ля, Соответственно они будут описы- [лП ( — л) ваться плоскими волнами с амплитудами и и и .
Система же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной) <л,л,> (л,) < — лг) ир, составленной из произведений амплитуд глр и ир Рассматривая теперь систему как одну частицу со С55иральпостью Л = Л5 — Лг в направлении п = р,1~р~, мы можем написать волновую функцию (в импульсном представлении, т.
е. как функцию п) для состояния с определенными значениями,/, гИ, Лм Лг (а также полной энергии е): г)55млглг = ир1 г О~д, (п)~: Л = Л5 — Лз (69.1) 455 (ср. (68.8)). Так как Л есть проекция полного момента на р, то должно быть ~Л~ < Х (69.2) Согласно (16.14) при инверсии Ри~ ' гг(П) = 5051ти~ ' г~( — П) = — 51 51 ( 1).55-~-5г — лг-Рлги( — лг — лг)(п) (69 8) где бм ггя - внутренние четности частиц. 1Лспользовав также (16.10), найдем закон преобразования функций (69.1): РЮзлглглг = 51551>( — 1)" ь" Фзлг — л,-лг.
(69 4) Если частицы тождественны, то возникает вопрос о симметрии по отношению к их перестановке. Перестановка частиц означает перестановку их импульсов и спиноз. Для уяснения смысла этой операции в применении к функции (69.1) замечаем, что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что моменты обеих частиц проецируются на направление одного и того же вектора р5 = р импульса одной (55ервой) из частиц. После перестановки место этого вектора займет вектор рз = — р; проекции моментов )5 и )я на этот вектор будут ЛГ и Лг (вместо проекций ЛГ и — Ля на р). Поэтому результат воздействия оператора перестановки частиц (Рш) на функцию (69.1) можно записать как Р5ЛФЗМЛ5Лг = и ( П)55ААГ( П)1/ — ( л~ — лг) (у) 2.1+ 1 СИММЬТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! 307 где по-прежнему Л = Л5 — Лз. Использовав затем (69.3) и (16.10), найдем Р5гФуАГЛ,Л, = ( — 1)см ФЗМЛ,Л„ (69.5) где в5 =за=а Для тождественных частиц допустимы состояния ли5пь симметричные (для бозопов) или лишь аптисимметричные (для фермиопов) относительно перестановки.
Поскольку первый случай имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц в, в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций (1+ ( — 1) Р5з)5755мл5л„ или, согласно, (69.5) 575змл,А, + ( — 1) Юлил,л5. (69.6) Заь5ечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозонов и фермионов. Для системы из частицы и античастицы результат перестановки выражается той же формулой (69.5). Однако, в отличие от случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих перестаповочных симметрий, т.
е. обе комбинации 555 — 5Р',5АТА5АР ~ ( — 1) 5РзАТАРА5. (69.7) Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностями С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как результат полной перестановки всех переменных (спиновых и зарядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой спиновых переменных (спирвльностей). Результат первой операции должен совпадать с результатом порестановки в системе двух тождественных частиц. Отсюда ясно, что при верхнем знаке в (69.7) (совпадающем со знаком в допустимом дпя тождественных частиц состоянии (69.6)) система будет зарядово-четна, а при нижнем знаке зарядово-нечетна; Сч5 = и-у5 Наконец, рассмотрим операцию обрап5ения времени.
Волновая функция покоящейся частицы со спином я и его проекцией с преобразуется согласно тР,. = (-1)' ФА, . (см. П1, (60.2)). Волновую функцию двух частиц в системе их центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении трансформационных свойств) как волновую функцию «покоящейся частицы» с моментом 7 и его проекцией ЛХ. Что касается спиральностей Лы Лз, то они пе меняются: обращение времени меняет знак векторов импульса и момента, а потому произведения 308 Ъ|АТРИЦА РАССВЯНИ5! Гл.
Цп 1р це меняются. Таким образом, ТФ~мл,л, = ( — 1)' "Ф,55ил,л . (69.8) Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для спиральных амплитуд. Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции а+6 — 5 с+0 должны совпадать (при заданных 1 и е) амплитуды переходов !ЛРЛА) -+ !ЛАЛИ) и Р~Л,ЛА) -+ Р!ЛРЛД. Использовав (69.4), найдем поэтому (ЛРЛ ~Ь' ~Л,Л ) = = — '5"55( — 1)"~'" '" "( — Л вЂ” Ли~Я~~ — ЛА5 — ЛЬ).
(699) Ч 515 Если же вместо состояний с определенными спиралыГостями выбрать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации 1 —;(Фпмл,л, ~ РФглтл,л,) А/2 (где ЛГЛ2 = Л ЛА или Л,Ли), то обратятся в пуль амплитуды переходов, не сохраняющих четность. Обращение времени преобразует каждое состояние согласно (69.8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состояния. Поэтому Т-инвариантность приводит к соотношениям (Л ЛН~ЯГЯ~Л ЛА) = (Л ЛА|Б'5Я~ЛРЛН) (69.10) Эти две амплитуды, однако, относятся к разли 5ным процессам (прямая и обратная реакции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
