В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть Ф„собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф = 2,' С„Ф„. Тогда точное волновое уравнение ! — = (Нв+ Р')Ф д! (724) представится в виде системы уравнений для коэффициентов С„: гС„= ~ 1'„~ ехр(г(Ев — Е„,)11 Сон (72.2) где Ъ~ — не зависящие от времени матричные элементы оператора в', а Ев уровни энергии невозмущенной системы (ср. П1, э 40).
По определению оператор г" не зависит явно от времени. Величины же Ув,вЯ = Ь„в, ехр(!(Ев — Ев,)!) (72.3) 322 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Ус!! Ф(17) = П ехр( — сй Р(1 )) Ф(бс), с (72.6) где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам Й„между 1; и 17. Ешси бы И(1) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к сс ехр — с И(1) с(с с, Ио такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразуалевающейся при переходе от произведешля в (72.6) к суммированию в экспоненте.
Для оператора 1' (с) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозесо>кно. с ) Подчеркнем, что в определении (72.4) фигурирует невозмущенный гамильтониасс Йв. Этим оно отличается от гсйзсссбсргввсквгв представления операторов,в котором 12 (С) = ехр(сйС)рэехр( — сйС) (см. П1, ч 13 и ниже, З 102). можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора Р(1) = ехр(сйв1)'у'ехр( — сйоб).
(72.4) О нем говорят как об операторе в предстпавлении взассмодейстнил (в отличие от исходного не зависящего от времени спредингеровского оператора (Г ') ). Обозначив теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения (72.2) в символическом виде сФ = сг(1)Ф. (72.5) Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц.
Если Ф(1) и Ф(1+ Й) значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72.5) они связаны друг с другом посредством Ф(1+ Й) = (1 — сйу'(1)1Ф(1) = ехр( — сй уг(1))Ф(1). Соответственно значение Ф в произвольный момент 17 может быть выражено через значение в некоторый начальный момент 1, (11 > бс) как 323 1 72 ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Напишем (72.6) в символическом виде 17 Ф(11) = Т ехр — г Ъ'(1)с11 Ф(1,), (72.7) где Т символ лронологизации, означающий определенную («хронологическуюа) последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72.6).
В частности, положив 7,, — > — со, 17 — + +ос, получим Ф(+ос) = УФ( — оо), (72.8) де Я = Т ехр — г И(1) о)1 (72.9) Ч е (ХА)с)Зт (72.11) Подставив его в (72.9), получим Я = Тсхр — ге (7А) с1~х (72.12) ) Вывод правил релятивистской теории возмущений с поыоп1ью разложения (72.10) принадлежит Дайсову (Г. )Заузоп, 1949). Смысл записи (72.7) (72.9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: со со оо о=с'~" ,) 'ь)о, ..)о„.т1ко)кос ..РВИ1. П21П) в=о Здесь в каждом члене а-я степень интеграла написана в виде )с-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных 11, 12, ..., 7ь надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений 1 ') . Из определения (72.8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф, (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Фу (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент 57,.
Другими словами, .эти элементы и составляют Я-матрицу. Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в 3 43: 324 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. у'1!! Существенно, что оператор (72.12) релятивистски ицвариаптен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по с5 х и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения. Как известно, последовательность двух моментов времени ~5 и 42 (знак разности бз — 1~) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам хс и х2, разделенным времениподобным интервалом: (х2 — хс) ) О.
В таком слу- 2 чае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2— — хс)2 ( 0 (пространс5твенноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как 42 ) сы так и 22 < 15 ') . Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не люгут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам; некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями.
Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае; хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативпости множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок '). Легко видеть, что данное в этом параграфе определение о'-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности.
Представив О' в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72.6), и учитывая эрмитовость )У, найдем, что У~ вы- РажаетсЯ пРоизвеДением таких же множителей ехР(вуббо 'У'(го)) ) Вместо времениподобцых н пространственноподобных интервалов часто говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового г конуса: все точки т, отделенные от точки т интервалом с (т — я ) > О, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х, а точки, отделенные интервалом с Ст — х~) < О, — вне этого конуса.
) В применении к произведению сг(с5)У ссэ)... это утверждение надо уточнить во избожацие недоразумений. Поскольку сал5 оператор 1З не обладает калибровочной инвариантностью Сон меняется вместе с 55), множители 1г(С5), 1г(СЗ), ..., коммутативные при одной калибровке потенциала, могут окаэаться покоммутативными при другой шлибровко.
Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбора калибровки потенциала, при котором рС55) и г'СГэ) вне светового конуса будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на инвариантности Ь'-55атрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала сфору5ально эта независимость следует из отмеченной в з 43 калибровочной инвариан гности интеграла действия).
л тз ДИАГРАЕЛММ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАОСКЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 323 (с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном порядке. Поэтому при перемножении О' и УР все множители попарно сокращаются. Обратим внимание на то, что унитарность оператора У обеспечивается в данном сну.чае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой теории. Оно должно было бы выполняться и прн квантовомеханнческом описании, не использующем понятий о гамильтоннане и волновых функциях. 3 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния.
Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений. Оператор тока л содержит произведение двух электронных ф-операторов. Поэтоелу в первом порядке теории возелущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электрона (оператор л) н один фотон (оператор А). Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны . -они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если рл и рэ 4-импульсы электронов, а й фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством й = ря — рл или й = рз + рл. Но такие равенства невозможны, так как для фотона й = О, а квадрат (рз ~ рл) заведомо отличен от нуя 2 ля.
Действительно, вычисляя значение инварианта (рз ~ рл) в системе покоя одного нз электронов, получаем (рз:трл) = 2(т ~рлрз) = 2(т ~слез ~ рлрз) = 2т(трез). Поскольку ЕР > т, го (рз + рл) > б, (ря — рл) < б. (73.1) Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) элементы О'-матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении выражения (72.12)1 1 1/' фз) В О ~4,,14 1 Т( 51( ) 1 ( )У( 1)А ( 1)) Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Т-произведение можно 326 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! разбить на два Т-произведения: фз) е ~4 ~4 5 Т( р5 ) ~( 5))Т5А ( ) 1 ( 5)) (73 2) В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р5 и рз, а в конечном два электрона с другими 4-импульсами рэ и р«.
Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем. Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный пам матричный элемент Т-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент (О/... )0), где символ ) 0) обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Т-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов рр) функпи5о координат двух точек л и т'.
При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности л — х'. Тензор Рр,(л — т') = г(0~)ТА55(х)АДх')~)0) (73.3) называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в 3 76. Для Т-произведения электронных операторов пам надо вычислить матричный элемент (34)Ту" (л)у~(т'))12)5 (73.4) где символы )12), )34) обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства (2)г')1) = (0)аг.г'а5 )0), где г" произвольный оператор, а а и а5 операторы соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
