В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 61
Текст из файла (страница 61)
З17 1 71 УС!!ОНИЕ УНИТАРНОСТИ обеспечивается сохранение нормировки и ортогональпости состояний при реакции (ср. П1, з 125, 144). В частности, диагональные элементы равенства (71.1) выражают просто тот факт, что сумма вероятностей перехода из данного начального в любое конечное состояние равна единице: и Подставив в (71.1) матричные элементы в виде (64.2), получим Ту, — Т;*.
= г(2я) ~ бИ!(Р~ — Ри)ТуиТ,*„= и = т(2!Т) ~~! б!~!(Ру — Ри)Ти7Ти!. (71.2) Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны равенства получаются при записи условия унитарности соответственно в виде Опт = 1 или У~ О = 1! с разными порядками расположения множителей Я и Я~. Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. Поэтому если взаимодействие (как, например, электромагнитное) содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а правая второго порядка малости.
В первое! приближении последней можно, следовательно, пренебречь, и тогда Ту! = Т,*1, (71.3) т. е. матрица Т эрмитова. Для придания условию унитарности (71.2) более конкретного вида надо уточнить, чтб именно подразумевается под суммированием по п. Сделаем это для столкновения двух частиц, причем будем считать, что законы сохранения допускают только упругое рассеяние; тогда и все промежуточные спето»!Иия в (71.2) такие же «двухчастичпые». Суммирование по ним означает интегрировангге по промежуточным импульсам р!, р2 и суммирование по сг!иновым квантовым числам (например, сг!иральностям) обеих частиц, которые обозначим через Л"; / Ъ' 4 Р! 4 Р! ') ~ (2и)« л" Иск.лючив б-функции тем же способом., как это делалось в з 64, получим «двухчастичное» условие унитарности в виде Ту! — Т!у — — — ~ — Туи Т!ие! ез а!о !Р%~!Р~1*иии Ли 318 мАГРицА РАссеяни57 Гл.
мп (71.8) ') Подчеркнем, что речь идет именно об элементах матрицы Т, а не Я, т. е. диагональный элемент берется цосле исключения иэ Я единичной матрицы, где р - импульс, с -- полная энергия в системе центра инерции. Нормировочный обьем исчезает из этого соотношения после перехода от амплитуд Ту, к амплитудам Му„согласно (64.10): Му М,'~ ~ и / М7 М*ис1о' (71 4) (4ГР Определим амплитуду упругого рассеяния так, чтобы было 7Ь = !(и'Л'/~!пЛ)/~до' (71.5) (п, и'---направления начального и конечного импульсов; Л, Л--- начальные и конечные спиновые квантовые числа). Сравнение с (64.19) показывает, 7то (и Л ~ )Л~пЛ) = — МГЛи (71.6) и условие унитарности (71.4) принимает вид (и'Л'/ДпЛ) — (пЛ/Дп'Л')* = — — 1Я '5173'л')Я лОИэл"Уч и, (77.7) Ли обобщающий 7лзвестную формулу нерелятивистской теории (см. П1 (1258)).
Амплитудой упругого рассеяния на пулевой угол называют диагональный матричный элсмент Т,„в котором конечное состояние частиц совпадает с начальным ') . Для этой амплитуды условие унитарности (71.2) принимает вид 21пгТп = (277) ~у ~Т,„~й77Г'7(Рà — Ри). п Правая сторона этого равенства лишь множителем отличается от полного сечения всех возможных процессов рассеяния из данного начального состояния 4; обозначим это сечение посредством Лтп Действительно, суммируя вероятность (64.5) по состояниям )' и деля на плотность потока у, находим с — (' ) Е ~Т;„~25~4~(Р, — Р„), так что 2р — 1шТИ = ом Нормировочный объем исчезает отсюда после замены Тч = М77,5(2ег1г 2айЪ') (егл сг энергии частиц в системс центра инерции) и подстановки у из (64.17); 1шМн = 2)р(с7тп (71.9) 319 1 71 условик унитлености Эта формула составляет содержание так называемой опшпческой теорелэы.
Если ввести амплитуду упругого рассеяния (71.6), она примет свой обычный вид 1ш(пЛ)~)пЛ) = Ктс (71.10) 4я (ср. П1, (142.10)). Если Я-матрица дана в моментном представ.ленин (парциальные амплитуды), то ввиду ее диагональности по 7 условие унитарности пишется для каждого значения,7 в отдельности.
Так, если возможно лишь упругое рассеяние, условие унитарности имеет вид ~(Л'~Ф~Лл)(Л~Ф~Лл)* = б . (71.11) л" В силу Т-инвариантности матрица упругого рассеяния симметрична (ср. (69.10)) и поэтому может быть приведена к диагональному виду. После этого условие уяитарности требует равенства диагональных элементов по модулю единице; их принято в таком случае записывать в виде Я~~ = ехр(2гдт„), (71.12) где Бз„-"вещественные постоянные -- функции энергии (индекс и нумерует при заданном 7 диагональные элементы).
В общем случае, когда число Х независимых амплитуд превьппает ранг (квадратной) матрицы Ф, коэффициенты преобразования, осуществляющего диагонаяизацию Я', зависят от,1 и Е (в этих коэффициентах, наряду с главными значениями матрицы, заключены также независимые величины, эквивалентные исходным Х величинам). Но если число Ж совпадает с рангом матрицы Я з (и тем самым с числом ее главных значений), то коэффициенты диагонавизации универсачьпы. При этом диагонализирующие состояния — это состояния с определенными четностями (но, конечно, уже без определенных спиральностей).
Условие (71.11), выраженное с помощью парпиальных амплитуд (Л'(7'з)Л), имеет вид (Л'/~~!Л) — (Л!~~!Л')' = 2г/р/ ~~ (Л'/~~!Л")Л!)~/Л")*, (71.13) л" в чем легко убедиться, подставив в (71.7) разложение (68.13) и учтя ортонорлплрованность Р-функций. При Т-инвариантности матрица (Л'~~'г~Л) симметрична, и (71.13) принимает вид 1пл(Л'!~~/Л) = /р/(Л'/~~~лэ !Л). (71.14) Если матрица диагонализована, то ее диагональные элементы = — (ехр(2гбн„) — 1) = — ехр(Ы,г„) вш бз„.
(71.15) 26р( ' )р( 320 гл. мп мАТРицА РАссеяниг! Наконец, укажем некоторые следствия, возникающие из условия унитарности вместе с требованием СРТ-инвариантности. В си>гу >господней Т71=Т вЂ”,, (71.16) где г и ) -состояния, отличающиеся от г и ) заменой всех частиц античастицами (а также изменением знака векторов момента при неизменных импульсах). В частности, для диагональных элементов Тм =Т вЂ” ". гг ' Из (71.8) или (71.9) следует поэтому, что полное сечение всех возможных процессов (с заданным начальным состоянием) одинаково для реакций между частицами и античастицами. В частности, одинаковы полные вероятности распада (т. е. времена жизни) гастицы и античастггцы. эти результаты (ггаряду с равенством масс частицы и античастицы 2 11) важнейшие следствия СРТ-инвариантности взаимодействий. Напомним (см, конец 2 69), что такое же утверждение для каждого из возможных каналов распада в отдельности требует также соблюдения СР-инвариаггтности.
Задача Исходя из условия унитарности, найти связь между фазами парциальных амплитуд фоторождепия пионов на нуклопах ( у -Р х — 5 я -~- х) и упругого рассеяния пионов на нуклонах (я+ Х вЂ” 5 я+ Х); при этом учитываегся, что яХ-рассеяние связано с сильными взаимодействиями, а фоторождение и тггг-рассеяние с электромагнитным взаимодействием. Р е ш е я и е. Обозначим парциальные амплитуды: (яХ)5)7Х) = 5 5775 ~Б~ 5Х) = 5 (яХ)5! гХ) = 5 (опущеггы индексы з и спиральностей). Фоторождение процесс первого, а Х-рассеяние второго порядка по заряду е; поэтому 5 е, 5 — 1 е . мплитуда же 5 „, малости не содержит. С точностью до членов е условия (71.1) дают 5;,55", -Р 5,.5..
= 5., -~- 5,.5„. = О, (1) 5 5*э+5 5* 5,5,* =1 (2) (в правой стороне равенства (2) надо понимать 1 как единичнуго матрицу по спиновым переменным). В силу Т-инвариантности матрица 5, симметрична, а 5 = 5ст Выберем магрипу 5, в диагональной форме, т. е. по отношению к состояниям пиона с определенными четностями; тогда из (2) следует, что диагональные элементы имеют вид е ' с различными постоянными б . После этого находим из (1) для каждого из элементов матрицы 5 5 555 = -еэ'~ откуда 5 ., = ж~5, ~ге' Таким образом, фаза парциальной амплитуды фоторождения (в состояние с определенной четпостью) определяется фазой упругого яХ-рассеяния. ГЛЛВЛ ЧП1 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩКНИЙ й 72.
Хронологическое произведение Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычис- 3!яютс5! с поълощью теории возму!цений, В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем н! достатком, что в нем н! выявлятотся явным образом требования релятивистской инвариантности.
Хотя при применении такого аппарата к релятивистским задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманам (11. Р. Реуптан, 1948 1949). Имея в виду вторично квантованное описание системы, обозначим через Ф ее волновучо функцию в представлении чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильтониан системы Й = Йа + Р, где к оператор взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
