В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 60
Текст из файла (страница 60)
КоэффиЦиен"Гы 1о(з, с) называют инваРиасстньсми амплитУдами. Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали частипам с определенными спиральностями) мы получим определенные значения инвариантов РГ) = Ра(Л„Л7). Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однородных комбинаций инвариантных амплитуд С»).
Отсюда видно, что число независимых функций сн(в,б) совпадает с чисаом независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних определяется легко (как было обьяснепо в 2 69)) тем самым облегчается задача построения инвариантов г„, - мы заранее знаем, сколько их должно быть. Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Т- и Р-инвариантно; последнее 313 1 та ИНВАРИАНТНЫЬ АМПЛИТУДЫ свойство означает, что инварианты Е„должны быть истинными (а не псевдо) скалярами.
Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином ту2. Для подсчета чиула инвариантов .или. что то же, чиста независимых спиральных амплитуд залуечаем, что полное число элементов матрицы Я~ (т. е. число различных наборов чисел Лу, Л2, Л'„Ля) в данном случае равно 4 (Л! = Л', = О, Л2, Л2 —— = щ !у2) С учетол! Р-инвариантности число независимых элементов сводится к двум, после чего учет Т-инвариантности у.ке. не меняет этого числа.
В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать г! = и!и, г2 = и ( ух)и. (70.3) Здесь ул = н(р) ! и' = ул(р') — биспинорные амплитуды начального и конечного фермионов; Х = ус + Й', где Й и Й' -.4-импульсы на |альпого и конечного бозопов ') . Т-инвариантиость величин (70.3) станет очевидной, если захлетить, что произведения й'и и и!унн преобразуются при обращен~ли времени по тому же закону (28.6), что и операторы ургр и ф у" ф, матричными элементами которых они являются: произведение и'и инвариантно само по себе, а 4-вектор исуи преобразуется по закону йу и — »гг ум, и-уи — + — и уи. Таким же образом преобразуются 4-импульсы (Хо!К) » — » (а~, — К), и скалЯРное пРоизвеДение Р2 = Хр(и'Уии), слеловательно, инвариантно.
'Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спи- НОМ туз. Ддя ПОдСЧЕта ЧИСЛа НЕЗаВИСИМЫХ СПИраЛЬНЫХ аМПЛИтуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний: гр!К = гр-Р-Р + !р — — Ф2К = !р-Р-Р 'Ф вЂ”вЂ” ФЗК 'г'-Р— + Ф вЂ” -!- ! ти Ф-Р— 'т' — !- ! где индексы «+», « — » Указывают значениЯ спиРальностей (ж !у2) двух частиц.
Состояния 1н, 2н, Зн четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы и «э и запрещены, так что с у.четом перестановочной симметрии остается 16 — 6 = 10 матричных элементов. По отношению к инверсии ! ) На первый взгляд можно было бы составить егце инвариант вида й'о„ке)сми (матрицы ое, определены в (28.2)). Легко, однако, убедиться в его сводимости к инвариантам (70.3), если учесть:закон сохранения ЛУ = р+ Й вЂ” р' и уравнения ( ур)и = ти, й'( ур') = тй', которым удою!етворяют бислинорные амплитуды.
314 ГЛ. 55П МАТРИЦА РАССЕЯНИ55 Р функции л(ллх, ага и ага имеют противоположные четности; запрещение переходов ллежду ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, 7"-инвариаптность приводит к совпадению амплитуд переходов 18 — 5 Зд и 38 — > 1я, так что остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти независимых инвариантов можно выбрать Рл = (Гллил)(игиг), Рг = (Глл у ллл)(Глгу'ллг), Рз = (цл'УРил)(Глг'Уяиг), РА = (ил'УР'У ил)(Глг'Уи'У иг) (70.4) Ра = (и ллтн ил)(иглгиииг), где им иг биспиноРные амплитУды начальных, а им илг- конечных частиц.
Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выражаются через старые (см. задалу к З 28). Но выражение (70.2) с Ри из (70.4) не учитывает в явном виде требования, согласно котороллу перестановка двух тождественных фермионов должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде Му; = [(илил)(игиг)гл(лнлл) — (Глгллл)(Гллиг)гл(55,1)) +... (70 5) При перестановке рл и рлг (или рл и рг) кинематические инварианты: э — 5 а, 1 — л и, и — + 1, так что указанное требование выполняется автоматически.
Упругое рассеяние фотона на частицах со спином О и л/г. Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помощью единичных пространствснноподобных 4-векторов е('л, е(гл, удовлетворяющих условиям е(') г = е(г~ г = — 1 е(ОСОО = О е(Пй = е(глА = О. е(Пй' = е(г~уг = 0 (70.6) (для кагкдого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить теми 4-ортами, с помощью которых осущсств.ляется инвариантное описание их ллоллллризационньлх свойств — см. З 8). Пусть й и й' начальный и конечный 4-импульсы фотона, а р и р' — то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим 4-векторы Рл л + лл КлР л Р Алл лгиРР гл (70 7) где К = 1;+ й', ~ = р — р' = ~' — й. Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональны также 4-векторам К, лу, а следовательно, и й, й'.
Будучи ортогональны времениподобпому 4-вектору Л (Л г = 2йй' > 0), они сами пространствешюподобны (действительно, в системе отсчета, в которой К = О, из КР = 0 следует, что Ро = О., а потому 17а ИНВАРИАНТНЫЬ АМПЛИТУДЫ Р < О). Пронормировав Р и Ж, т. е. образовав (Пл х' р)л (70.8) '-М' е,/-р ' мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что ейй истинный, а ей~ — псевдовсктор.
Представим амплитуду рассеяния фотона в виде Муг = Р слеи (70.9) выделив в ней 4-векторы поляризации е и е' начального и конеч- ного фотонов. Спиральность фотона пробегает всего два значения (т1). По- этому для рассеяния фотона на частице со спинам 0 число неза- висимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рас- сеяния частиц со спинам 0 и 7,78, т. е.
равно 2. Тензор Рл" в (70.9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде РЛД У 60Л 0)и + У 00Л (2)и (70.10) где 1ы )з инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в Рл" не может быть члена с произведением ерйле~з~", так как это произведение - —.
псевдотепзор и при подстановке в (70.9) дало бы псевдоскаляр. Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спи- нам 778. Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы Я в этом слу- чае есть 16 (спиральность каждой из двух на~альных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-ип- вариантности уменьшает это число до 8, после чего требование Т-инвариантности доводит его до 6.
Представим тензор Рли в этом случае в виде Е'"ли = Са(ел еи + ел еи ) + С7(ел ед +ел еи ) + Ю (и ,(4 Р) (О 08) 60 О) + С (е е00 — е е00) + С (Р Р00 — е ебй), (70.11) где Са, Сз — истинные, а Сл, Сз — -псевдоскаляры. Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов й(р') и и(р), т. е. имеют вид С„= й(р )Я„и(р). (70.12) Общий вид матриц (по биспинорным индексам) (~„: Ф) = Л + 12(7п); Ю1 = 'У ~УЗ + ~4(7К)) (70 18) Ю2 = 'У У5 + 18(7ю))~ Юз = 17+ 18(77т), где К = ЛЗ+гк. Коэффициенты 7ы..., 18 инвариантиые ампли- туды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нуж- ного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Т-ипвариапт- ности. 316 МАТРИЦА РАССЕЯНИ5! гл. Мп Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-импульсы части51, меняя также знаки их пространственных компонент: Яо,)с) е+ ()со — 1с), (ро,р) еэ (ро -р) (70.14) 4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно (ео5 е) е-~ (Р'„*5 — е'*) (70.15) (ср.
(8.11а)), так что (еоо*ео е';*ео, е',*еь) — > (его*со — ео*е„е~,*е5). В силу последнего преобразования условие инвариантности амплитуды рассеяния (70.9) эквивалентно требованию (РОО5 й5О5 й5й) + (РОО5 Р055 Рйг). С другой стороны, как следствие замен (70.14), имеем (Ко, хк) + (Ко, хк)5 (Чо, с1) 5 ( Чо, с1), (Р51 Р) — 5 Ю5 — ~) (гУо5)ху) — 5 (гУо — Х)5 так что (ео~ ' ), е~ * )) 5 (ео ' ), -е( ' )) (70.16) Из выражения (70.11) следует поэтому, что должно быть Со,г,з — + Со,1 з Сз — 5 — Сг. Но прн обращении времеви й у и -+ — и у и, й у (уК)и — ~ й уо(-уК)и, как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псевдовекторных билинейных форм в (28.6). Поэтому из выражений (70.12), (70.13) видно, что в силу Т-инвариантности амплитуды рассеяния должно быть (70.17) Хз = Уо = О. й 71.
Условие унитарности Матрица рассеяния должна быть унитарной: Ыт = 1, или в матричных элементах: (яхт)уг = ~ ~яу„я,*„= бу„ (71. Ц л где индекс и нумерует все возможные промежуточные состояния ') . Это наиболее общее свойство Я-матрицы, которым 5 ) Смысл символа бп в (71.1) зависит, конечно, от конкретного выбора квантовых чисел и от нормировки волновых функиий систелгы. Он должен быть онределен звк, чтобы было г 6,5 = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
