В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 56
Текст из файла (страница 56)
с. квадрат ~М~7,~ входит 4-тепзор еле*. Для перехода к случаю произвольного частичяо поляризованного состояния этот тензор должен 293 кинемктическив инвквиангы быть заменен четырехмерной матрицей плотности --4-тензором Рди' еде*, -у рд,. (65.11) В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8.15), Рд = — 8 /2. (65.12) Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится к тензорному свертыванию в ~М7;~ по соответствующим двум 2 тепзорпым индексам Рм ') . Если требуется произвести не усреднение, а суммирование по поляризациям фотона, то надо заменить еде,' вдвое ббльшим выражением: еде~ + 8д~ (65.13) Матрица плотности поляризованного фотона дается формулой (8.17). Выбор 4-векторов е111, е12) фигурирующих в этом выражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи.
В одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными пространственными направлениями в некоторой системе отсчета. В других случаях более удобно связывать их с фигурирующими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импульсами частиц. В (8.17) поляризация фотона описывается параметрами Стокса, составляющими «вектор» с = 1су,ез,ез). Как и для электрона, необходимо отличать поляризацию (® конечного фотона как такового от поляризации с', выделяемой детектором. Если известен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра ~; ~М1, ~2 = си + я, то поляризация сы) = 13/су, что аналогично формуле (65.10). 9 66.
Кинематические инварианты Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для процессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном состояниях имеется всего по две частицы. Мы имеем в виду соотношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы частиц и от законов их взаимодействия. ) Выражение (6542) как бы сводит усрсдпоние по двум реально возможным поляризациям фотона к усреднению по четырем независимым направлениям 4-вектора е.
294 ГЛ. >5П МАТРИЦА РАССВЯНИ55 Запи>пем закон сохранения 4-импульса в общем виде, не предрешающем, которые из импульсов относятся к начальным, а которые — к конечным частицам: й+дз+ дз+94 = 0 (66.1) Здесь ~д, 4-векторы импульсов, причем два из них отвечают падающим частицам, а два-- рассеянным; для последних импульсами являются — д . Другими словами, у двух из д, временная компонента д~ ) О, а у двух д, < О. Наряду с сохранением 4-импульса должен соблюдаться закон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся величины, имеющие разный знак у частиц и античастиц.
При заданных видах участвующих в процессе частиц квадраты 4-векторов д являются заданными квадратами масс частиц (57~~ = т~~). В зависимости от значений, пробегаемых временными компонентами д„и от значений зарядов мы получим три разные реакции. Запишем эти три процесса так; 1.1+ 2 — > 3+ 4, П.1+3 — > 2+ 4, (66.2) П1, 1 + 4 -> 2 + 3. Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отличает античастицу от частицы. Переходу от одной Глз реакций к другой, т, е, перенесению частицы из одной стороны формулы в другую, отвечает изменение знака соответствующей временной компоненты д„, а также знака заряда, т.
е. замена частицы ано тичастицей. (Йаряду с процессами (66.2) возможны, конечно, и обратные реакции.) О трех процессах (66.2) говорят как о трех перекрестных (или кросс-) каналах одной (обобще>>пой) реакции. Приведем несколько примеров. Еечи частицы 1 и 3 электроны, а 2 и 4 фотоны, то канал 1 представляет собой рассеяние фотона электропоъ5, ввиду истинной нейтральности фотона канал П1 то же, что 1. Канал же П есть превращение электрон-позитронной пары в два фотона.
Если все четыре частицы — электроны,то канал 1-- рассеяние электрона на электроне, а каналы П и П1 — рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и 3 — электроны, а 2 и 4 мюоны, то канал 1 . рассеяние е на >л, канал П1 рассеяние е на 55, канал П превращение пары ее в Г!ару ях.
При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из 4-импульсов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния (сь5. 9 70). 295 кинемлтичеокив инвлгилнгы Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу (66.Ц всего три 4-вектора Чо независимы, пусть это будут Ч1, Ч2, Чз. Из них можно составить шесть инвариантов: три квадрата Ч1, Ч2, Чз и три произведения Ч1Ч2, Ч1ЧЗ, Ч2Чз.
Но первые три есть заданнйе квадраты класс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства ') (Ч1 + Ч2 + Чз) = Ч4 = ш4 2 2 2 Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие: в = (Ч1 + Чз) = (Чз + Ч4),, г = (й + Чз) = (Чз + Чи) и = (Ч1 + Ч4) = (Ч2 + Чз) . (66.3) Они связаны, как легко видеть, соотношением (66.4) где ц = гп1 + гпз + п1з + гп4.
2 2 2 2 (66.5) Ч1 = Р1 = (е1 Р') Чз = Р2 = (ез: — Р.) (66.6) Чз = — рз = ( — ез, — р,',) Ч4 = — р4 = ( — е1, р',) ') В общем случае, когда в реакции участвуют п ) 4 частиц, число функцнонально независимых ннварнантных переменных равно Зп, — 10. Действнтельно, имеется всего 4п величин — компоненг п 4-импульсов Ч . Между ними имеется и функциональных связей Ч, = т, н еще четыре, даваемых е 2 законом сохранения 2 Ч = О. Произвольные 'значения могут быть приданы шести величинам по числу параметров, определяющих общое преобразование Лоренца (общнй четырехмерный поворот). Поэтому число независимых ннварнантных переменных: 4п — п, — 4 — б = Зп — 10.
В основном (1) канале злнва1илант з имеет простойз физический смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц (1 и 2) в системе их центра инерции (при р1+ рз = О: в = (е1+ + ез) ). В канале Н аналогичную роль играет инвариант 1, а в канале Н1- -инвариант и.
В связи с этим каналы 1, Н, 111 часто называют з-, 1- и и-каналами. Не представляет труда выразить инварианты з, 1, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из каналов. Рассмотрим в-канац. В системе центра инерции частиц 1 и 2 временные и пространственные компоненты 4-векторов Ч задаются следующим образом: 296 ЫАТРИЦА РАССЕЯНИ55 Гл. Цп (66.9) 9 67.
Физические области Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независимых переменных в, Ь, и (связанных лишь соотношением в+6+и = = Ь), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений. Значения, которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным ушювиям, являющимся с55едствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат КажДОГО ИЗ 4-ВЕКТОРОВ Сьа ЕСТЬ ЗаДаниаЯ ВЕЛИЧИНа д = т,„.
Произведение двух 4-импульсов Рарь 5а ГнаГП6. (67.1) 1155ЭТОЬГУ (57а + Чь) (Ра + Рь) 3~ ЕШСН Ча = Ра~ ЧЬ = Р6 (ГСЛИ Ча = Ра~ или же (9а, + Чь) = (Ра — Рь) в 2 (та+ ть) 576 = — Рь) (та — ть),. если д, =Р„ЧЬ = — Рь. (инДекс в У Ра, Р, напоминает о том, что эти импУльсы относЯтсЯ к реакции в в-канале). Тогда в = е„е, = ес + ез = ез + еа; (66.7) 46Р,, = [в — (т, + та) ][а — (тс — 5тьа) ], (66.8) 4вра = [э — (та+ та) ][в — (та — та) ]; 26 = 56 — в+ 4Р,Р', — -(т, — тз)(тз — тпь), 2и = и — а — 4р,р,.
+ — (т5 — тз)(тз — та). В случае упругого рассеяния (гсьс = тв, тв = шэ) имеем [р,[ = = [р',[, так что ес = еа, ев = ем Вместо (66.9) при этом получа- ются более простые формулы 6 = — (р, — р',) = — 2р~(1 — сов д,), (66.10) и = — 2р~(1+ совда) + (е5 — еэ)з, где да ---угол между ра и р5, Отметим, что инвариант — Ь пред- ставляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса. Аналогичные формулы для других каналов получаются про- стым изменением обозначений.
Для перехода к 6-каналу надо произвести в (66.6) — (66.10) замену э (-~ Г, 2 еь 3; для перехода к и-каналу -- замену в +э и, 2 сэ 4. 297 Физические Оиллсти Отсюда следует, что для реакции в 3-канале: (т1 + т2) ( 3 ) (7пз + га4) (ш! — 7пз) ~ ~1 ~ ~(7712 — ш4) (67.2) (ш1 — т4) > и < (т2 — тз) (аналогичные неравенства в 1- и и-каналах). Для нахождения остальных условий составим 4-вектор Л, дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов Ч, скажем Лл = ел,.„4Ч2Чзр. (67.3) В системе покоя одной из частиц (например, частицы Ц Ч1 = (Ч~1~,0). При атом Л имеет лишь пространственные компоненты: Ь7 = еЮЫЧ1Ч2Ч1.
Другими слое 11 В вами, Л пространствеиноподобпый вектор, и во всякой системе 3 отсчета Ь2 < О. Раскрыв квадрат Ь2, получим условие Ч1 Ч1Ч2 Ч1ЧЗ 2 А С вЂ” -' — и = 0 Ч2Ч1 Ч2 Ч2ЧЗ ) О. (67.4) ЧзЧ1 ЧзЧ2 Чз 2 Рис. 3 Оно может быть выражено через инварианты 3, 1, и в едином для всех каналов виде 31и > аз+ И+ си, (67.5) где а17 = (т1т2 — т37П4)(т1 2 2 2 2 2 ("7117 пз 77127714) (7 а1 сй = (т17П4 — т27пз) (7П1 2 2 2 2 2 + т2 — шз — ш4), 2 2 2 + 7ПЗ 7712 7П4) 2 2 2 + 7714 7712 7713 ) 2 2 2 (67.6) (Т. И7. В.
К7561е, 1960). Для графического изображения областей изменения переменных 3, 1, и удобно пользоваться так называемыми треугольными координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; Я. Мап71е171а7п, 1958). Координатными осями в ней являются три прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник. Координаты 3, 1, и отсчитываются по направлениям, перпендикулярным зтим трем прямым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
