В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(Считае31 положительными направления внутрь треугольника, как указано па рис. 5 стрелками.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают значения 3, 1, и, изображающиеся (с соответствую1цими знаками) 298 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ гл. Мп длинами перпендикуляров., опугцепных на три оси. Выполяение условия в+1+ и = 6 обеспечивается при этом известной геометрической теоремой (если высота равностороннего треугольника равна Ь) ') . Рассмотрим важный случай, когда основному (в) каналу отвечает упругое рассеяние: при этом массы частиц попарно одинаковы: гп5=гпв=т5 тг=тл=р.
(67.7) Пусть т > 52. В условии (67.6) имеем 6 = 2(т~ + р~) а = с = О б = (гп — р~) так что ви1>(т — р, ) 1. (67.8) Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой 1 = О и гиперболы ( 2 2)2 (67.9) и секторах и < 05 в < О и в > О, О являются асимптотами гиперболы. Вместо (67.8) можно написать б > 01 ви > (т~ — д~) две ветви которой .лежат и > О;. оси в = О и и = или 2 < О, ви < (5512 — дг)г Кроме того, из условий (67.2) надо дополнительно учесть 4р неравенство в > (т+52) в в-ка- 5 — о нале и и > (т+ р)2 в и-канале; остальные неравенства удовлетворяются после этого автоматически. В результате найдем, что каналам 1, П, П1 (в, 1, и) отвечают, как говорят, физические области, изображенные на рис. 6 штриховкой.
2, 4-- фотоны), то нижняя ветвь ги- О и физические области выглядят, как в=(т-Рр) и=(п1 — и) =( э~р)' В=(5П вЂ” и) Рнс. б Если 55 = О (частицы перболы касается оси 1 = показано на рис. 7. Соединив, например, точку Р (рис. 5) с трсмя вершинами треугольника 1 А С, мы разобьем его на трн треугольника с высотами я, й и; приравняв сумму их площадей площади треугольника АВС, найдем требуемое равенство. Аналогичным образом оно доказывается н в случае, когда точка Р лежит вне треугольника АВС. 299 Физические овлАсти Если же ш = р, то границы области (67.8) вырождаются в координатные оси и физическими областями являются показанные на рис. 8 три сектора.
и=о Рис. 8 Рис. 7 В общем случае четырех различных масс уравнение Ми = ав+ Ы+ си (67.10) определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничи- с(0 Рис. 9 вают физические области трех каналов, как показано на рис. 9. Пусть ш1 >шя >шз >шл. Тогда а>Ь>с, а>О, Ь>0. Кривая (67.10) пересекает координатные оси в точках, .лежащих на прямой аз+ Ы+си = 0 (см. штриховые линии на рис. 9). В зависимости от знака с опа проходит, .как показано на рис.
9. При с ( 0 физическая область 300 МАТРИЦА РАССЕЯНИТ! Гл. мп Инварианты: 3 = ш1 + тпз — 27771Е25 2 2 1 = тп1 + шз — 2ш1ез, 2 2 2 2 и = т, + т4 — 2т7 е4. (67.12) Из (67.1) получим теперь: (тз + т4) < з < (т1 — тг), (7п2 + тп4) ~ <5 ~ <(тп1 шз) (ш2+ тз) < и < (т1 — т4) . (67.13) Таким образом, все три инварианта положительны, т.
е. физи- ческая область канала распада находится внутри координатного треугольника. Задачи 1. Найти физические области в случае трех одинаковых масс: ш5 = пз, тне = та = НМ = и (нанРимеР, РеакЦиЯ Л 4- к — 5 л 4- Я). Р е ш е и и е. Уравне57ио (67.10) принимает нид ми=в(т — и), (1) причем е 4- 7 4- а = Зр 4- т . и-канала захватывает часть площади координатного треугольника; другими словами, в этом случае величины з, 1, и могут быть одновременно положительными.
Все три ветви граничной кривой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения (67.10) одну из переменных с помощью соотношения в+1+ и, = 6 и устремив затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия (67.2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами, устанавливаемыми уравнением (67.10). Прямые линии5 соответствующие знакам равенства в (67.2), не пересекают заштрихованных на рис.
9 физических областей: некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным значениям переменных з, 1 или и в соответствующем канале. В случае, когда масса одной из частиц болыпе суммы масс трех остальных (ш1 ) т2+ т1+ т4) 5 наряду с каналами 1, П, П1 возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду: 1Ъ'.1 -5 2+ 3+ 4, (67.11) Для этого канала в системе покоя распадающейся частицы 01 — (т1 0) 572 — ( — ез Р2)5 74з — ( — ез5 Рз) 04 — ( е4 Р4) ез+ ез+е4 = ш1, рз+ рз+р4 = О. З01 ФИЗИЧКОКИБ ОБЛАСТИ Области 1, П, 1П ограничены одинаковыми по форме кривыми (для 1: А > О, 1 < О, и < О, и аналогично для П и П1). Если т > Зр, то (1) имеет также ветвь (замкнутую кривую) с э > О, 1 > О, и > 0 "гранину области канала 1У (рис.
10). и и (афпг;р)г (т.— 14,) 8 Рис. 11 Рис. 10 2. То же в случае тг = т, тп: — р, тпз = ш4 = О, т > р (например, реакция р -~- и -4 е 4- п). Р е ш е н и е. Условие (67.0) принимает вид г з1и ) )тп р гч причем в "; 1 -1- и = тг -~- рг. Физические области ограничены осто в = 0 и двумя ветвями гиперболы ги = ш р (рис. 1Ц. г 3. 'Го же в случае тт = тпз = т, тпт = О, ттм т— и р, причем тп > 2р (например, реакция р+ 7 — т р+ яо). Р е ш е н и е.
Уравнение границ (б7.10) принимает вид эги = о(в + и) + Ы, ай = т р Ь1т=ш (2пг — р ),6=2тп +р . йтг Исключив и, получим 1 ч- ( — -1- в — 6 ) 1 ~- — = О. и=(тп+р) з=(тп+р) При заданном з это — квадратное уравнение для й При з>(т+р)г " р (область а-канала) каждому з отвечают два отрицательных значения а При в=(т-~-р) эти дна корня квадратного уравнения сли- Рис. 12 ваются в один: 1= — пгр )(тч-р).
Граница области з-канала имеет вид, показанный на рис. 12. Нижняя ветвь граничной кривой асимптотически приблилсается к оси и = О, а верхняя пересекает зту ось в точке 1 = р ((р — ш ). Область и-канала симметрична по отношению к области з-канюта, а область рканала расположена, как показано па рисунке. 302 Гл.
мп мАтРицА Рассеяни55 3 68. Разложение по парциальным амплитудам Существенным этапом в анализе реакции вида (68.1) а+6 — ге+51 является разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной энергии е) определенному значению полного момента частиц Х в системе их центра инерции ') . Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими словами, элементы Я-ьгатрицы в моментноъл представлении: (еУМ'/Я/е,ХМ).
Поскольку моагент,У и его проекция М на заданную ось з сохраняются, Я-матрица диагональна по этим числам (как и по энергии е). При этом в силу изотропии пространства диагональные элементы не зависят от значения М. При заданных,1, М, е матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спиновым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем записывать более коротко в виде (е,ХМЛ'/Я/е,ХМЛ = (Л'/Ф(е)!Л) г (68.2) где Л и Л вЂ”. совокупности спиновых квантовых чисел. В качестве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спиральностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохраняется для свободной частицы., а также что опа коммутирует как с импульсом, так и с моментом частицы (см.
9 16). Поэтому спиральпостями можно пользоваться как в импульсном, так и в моментном представлениях матрицы рассеяния. Элементы Я-гггатрицы по индексам спиральностей мы будем называть спиральными алгплггтудами рассеяния и, таким образом, будем подразумевать под Л и Л' совокупности спиральностей начальных и конечных частиц: Л = (Ла, Лб), Л' = (Лег Лн). В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния определяются по отношению к состояниям ~епЛ) (и = р/~р~ — направление импульса относительного движения в системе центра инерции), а в момснтном по отношению к состояниям ~Н,ХМЛ). Они выражаются друг через друга в виде разложений /,УМЛ) = /пЛ) (пЛ/1МЛ) до„, (68.3) ') Больвгав часть результатов, излагаемых в 9 68, 69, принадлежит?Какобу и Вику (М.
3асоб, С. С. ггргсй, 1969). РАЗЛО?КВНИЕ ПО 11АРЦИАЛЬНЫМ АА?ПЛИТУДАА1 зоз где интегрирование производится по направлениям и (энерги?о е в символах состояний будем для краткости опускать). В силу унитарности этого преобразования (см. Ш., 3 12) коэффициенты обратного преобразования (.ТМЛ!пЛ) = (пЛ/.7МЛ)*. (68.4) По общему правилу преобразования матриц эти жс коэффициенты определят связь между элементами Я-матриц в обоих представлениях: (и Л~/Я/пЛ) '~ (п? Л1 )ЯМЛ )(7МЛ ~ЯЛМЛ)(ЯМЛ~пЛ) (68 5) зм Коэффициенты разложения (68.3) легко найти с помощью результатов 3 16. Пусть волновые функции всех состояний выражены в импульсном представлении, т.
е. как функции направления импульса (при заданной энергии); это направление как независимую переменную обозначим и в отличие от направления п как квантового числа состояния. В этом представлении волновая функция имеет вид (16.2) Ф лЖ = и( )и( )(" — и). (68.6) При подстановке (68.6) в разложение (68.3) последнее сводится к одному члену: 1)?змл = (иЛ~,1МЛ)и1А~?. (68.?) Спиральность Л„и Ль каждой из двух частиц определяется как проокция ее спина на направление ее же импульса. Ею?и импульсы частиц рА = р, рА = — р, то для первой частицы этонаправление п, а для второй йаправленне — и. Если рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральпостью Л в направлении п, то Л = Л, — Лм Ес волновая функция (в импульсном представлении) может быть представлена согласно (16.4) в виде Фумх(г') = и1 ~?ОАм(а') (68.8) Сравнив выражения (68.7), (68.8) (и изменив обозначение переменной и на и), получим для искомых коэффициентов (пЛ~.7МЛ) = 1Э (и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
