В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Интегрирование по 11(е5 + е2) устраняет 12 12 12 12 вторую о-функцию, и получается 51ю = 15, (М!2)2)р')а5 1'. (64.13) Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами рг и р2 и энергиями е1 и е2) с превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами р'„. Вместо (64.11) получим теперь 288 МАТРИЦА РАССЕЯНИИ Гл. Мп Придадим этой формуле окопчате.льный вид, исключив из нее б-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. Пусть е = ег + 62 = е', + 62 - полная ЭНЕРГИЯ; Р1 = — Рв ЬЭ Р И Рг~ — — — Р!2 = Р' НаЧаЛЬНЫЙ И КОНЕЧ- ный импульсы.
Устранение д-функции производится так же, как и при выводе (64.13), и получается 641 1' ~1ы (64.19) (в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при столкновении не меняется, ~р'~ = ~р~). Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее инвариантную величину ( 1)2 2+„12 21,,1) = т2+т2 — 2еге', +2~рг'бр',~сов0, (64.20) где 0- угол между рг и ры В системе центра инерции импуль- сы ~рг~ = ~р~ и ~р', ~ = ~р ~ определяются одной только полной энергией е, и при заданном е 04 = 2)р))р')дсов О.
(64.21) Поэтому в (64.19) можно заменить 51о' = — 51грг1 сов 0 = 2)р((р'! где (гр -- азимут рг относительно рг ') . Таким образом, СЬ = — ~МУ1~ —— 1 222Ф 64х У' 25г (64.22) Йт = — ~ЛХу,~ 2 ггс 64я (64.23) Если одна пз сталкивагощихся частиц достаточно тяжела (и ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль ') Поскольку правильный знак дифференциала в подобных случаях очевиден, будем ниже для простоты писать 522 вместо 4( — Ф) и т.
п. (ыы снова ввели инвариант 1 согласно (64.16)). Азимут гр, а с ним и сечение в форме (64.22) инвариантны относительно преобразований Лоренца, не меняющих направление относительного движения частиц. Если сечение не зависит от азимута, формула (64.22) принимает особенно простой вид 289 Амплитуда РАссвнни5! 5д (Еу — Е1 )) — 5 — б(Е1 — Е;) й 2и Перейдя затем (как и при выводе (64.11)) к амплитуде М51 вместо ТРм получим следующее выражение для вероятности процесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле, создает в конечном состоянии некоторое число других частиц; оа бп1 = 2яд(Е7 — ЯМ11 ~' — и 2РГ (2и)а2а'„ а Здесь снова а(,= Е,) — энергия начальной частицы, р', и е'„— импульсы и энергии конечных частиц.
Сечение же рассеяния получится делением йн на плотность потока 2 = 055'5', где н = ~р~/е-- скорость рассеиваомой частицы. В результате нормировочный объем снова выпадает из ответа и получается 57а = 25гд(ЕХ вЂ” еКМЫ вЂ” П Р", . 2(р) (2и)а25'„ (64.25) В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом и той же энергией. Заменив 510р' — > р'~51~р'~51о' = ~р'~е'57е'бо' и устранив д(е' — е) интегрированием по 55е', получим сечение в виде Йг = ~М7;~ 57о'.
(64.26) Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле системы частиц, совершающих заданное движение), то в Я-матрице отсутствует также и д-функция от энергии. Тогда 311 = = 1Туз и по1ле перехода от Т11 к М51 согласно (64.10) вероятность, например, процесса, в котором поле рождает определенную совокупность частиц, будет даваться формулой ~'П „.';„„ (64.27) 10 Л. Д.
Лаццау и Н.М, Лифшиц, том Г1' в процессе сводится к роли неподвижного источника постоянного поля, в котором рассеивается друтая частица. В соответствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения представим элементы Я-матрицы в виде Бу; =1 255д(Е1 — Е;)7У;. (64.24) В выражении для ~Я7;~2 квадрат одномерной д-функции должен пониматься как 290 мАГРицА РАссвяни5! Гл. Ып 9 65. Реакции с поляризованными частицами или (и'Аи)* = иАи', (65.2) где ') А, о ~~-,уо Таким образом,. ~Му5~ = (и'АиИиАи') = ииьАыи5итлАга5' (65.3) Если начальный электрон находился в смешанном [частично поляризованном) состоянии с матрицей плотности р и если нас интересует сечение процесса с образованием конечного алектрона в определенном наперед заданном поляризационном состоянии р', то надо заменить произведения компонент биспинорных амплитуд 5 — I 5 и,ил — + Р,Ю иУи — > Р5„,.
Тогда ~Му ~г Вр[р~АрА) Матрицы плотности р и р' даются формулой (29.13) р = — (ур+ тп)[1 — у (уо)) 2 (и аналогично для р'). Если начальный электрон не поляризован5 то Р = — ( УР+ гп). [65 4) (65.5) (65.6) ') В связи с необходимостью образовывать матрнну А отметим для будущего следующие легко проверяемые равенства: 7 = Э 'у"'у' ЧА = 'уе 'у ЧР, у = — у, ув у" =.5'-5". (66.2а) В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поляризационное состояние участвующих в реакции частиц. Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по одному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид Му, = й'Аи[= й';Аеьиь), (65.1) где и и и' биспинорные амплитуды начального и конечного электронов, А некоторая матрица (зависящая от импульсов и поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, ее ли таковые имеются).
Сечение рассеяния пропорционально ~Му5~2. Имеем (пАп)* = п'.уо*А'п* = п*АТ"у~~55', 291 ввлкцнн о полявнзовлннымн члстнцлмн Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по поляризациям электрона. Если требуется определить сечение рассеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то надо положить также р' = ( ур + т) /2 и удвоить результат; эта операция эквивалентна суммированию по поляризациям электрона. Таким образом, получим — ~ ~Му,~2 = — Яр )("7р'+ т)А(7р+ т)А), (65.7) 2 2 поляр где 2 „,„означает суммирование по начальным и конечным поляризациям, а множитель ',~~ превращает одно из суммирований в усреднение.
Матрица плотности р' в (65.4) . вспомогательное понятие, характеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризациопном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если рП~ — матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоянии у' получится проецированием р~71 на р', т.
е. образованием свода Яр(р~71р'). Этой же величине будет пропорционально соответствующее сечение, т. е. квадрат ~Му,~~. Сравнив с (65А), мы делаем вывод, .что р171 АрА. (65.8) Поскольку заранее известно, что ры) должно иметь вид (65.5) с некоторым 4-вектором а17), дело сводится к определенинв последнего. Это можно было бы сделать по формуле (29.14), но еще проще поступить, как будет указано ниже.
Мы видели в 2 29, что компоненты 4-вектора а выражаются через компоненты 3-вектора ~ среднего (удвоенного) значения спина электрона в его системе покоя. Поляризациопные состояния электронов полностью определяются этими векторами, и целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат ~М7,~2 будет линеен по каждому из векторов ~ и ~, относящихся к начальному и конечному электронам. Как функция от ~' он будет иметь вид ~М ~2 + Р~! (65.9) где а и р' сами линейные функции ~. Вектор ~' в (65.9) заданная поляризация конечного электрона, выделяемая детектором.
Вектор же ~П~, отвечающий матрице плотности р®, легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше ~М,, ~2 - Вр (р'р®). 1О* 292 ЫАТРИЦА РАССЕЯНИ5! Гл. ъ'и Ввиду релятивистской инвариантпости этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В систел5С покоя конечного электрона имеем согласно (29.20) Ф)-( + С'И + Р') Поэтому ~М, ~ 1+~~17) и, с15авннв с (65.9), 55аходим5 Гто ~Ф Р5, (65.10) Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра ~', мы тем самым определим и поляризацию 5,5~5.
В более сложных случаях (более чем по одному начальному или конечному электрону) вычисления производятся аналогичным образом по изложенной схеме. Так, если в начале и конце имеется по два электрона, амплитуда рассеяния приобретает вид МВ = ф5Аи5)(йгВиг) + (йгСЦГ)(й5Риг), гДе иы иг-.- биспиноРные амплитУДы па5альных, а и'ы и5г --.
копечных электронов. При образовании квадрата ~МВ~г появятся 555ены вида /Б1Аи5( /игВиг! и вида (и5Аи5ИигВигИигСи5) 1и,1зиг) . Первые приводятся к производениям двух следов вида (65.4), а вторые к следам вида Яр 1р5 Ар, СргВрЯ). Позитроны описываются амплитудами «отрицательной частоты» и( — р). Для реакций с участием позитронов отличие от изложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотности надо пользоваться выражениями, отличающимися от (65.5), (65.6) лишь изменением знака перед «п (ср. (29.16), (29.17)). Обратимся к поляризационным состояниям участвующих в реакции фотонов. Поляризация каждого начального фотона входит в амплитуду рассеяния линейно в виде 4-вектора е, а каждого конечного фотона -в виде е*. В обоих случаях в сечение (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
