В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 50
Текст из файла (страница 50)
) Эта операция сводится к полному усреднению по направлениям е согласно с,с1 — — 5,А/3 и последующему умножению иа 2 2 4я 4я. ) Время жизни уровня 2в 1В, обусловленное двойным испусканием, составляет 0,15 с, 51ю = ~(Ьсь)21~ сЬН. (59.28) Ояйвсо Вероятность испускания двух фотонов ю и ш' обычно очень мала по сравнению с вероятностью испускания одного фотона с частотой оз + оу. Исключение составляют случаи, когда правила отбора, запрещая второй процесс, допускают первый.
Таковы, например, переходы между двумя состояниями с 7 — О, для которых всякие процессы излучения одного фотона запрещены строго. Другим примером является переход из первого возбужденного состояния атома водорода (2в1~2) в основное состояние (1Е~72), запрещенный как для Е1-, так и для ЛХ1-излучения (см. задачу 2, 2 52) ') . Если агом находится в поле падающего на него потока фотонов оз, 1с, то наряду со спонтанным двойным испусканием, вероятность которого есть (59.27), существует также и вынужденное двойное непускание: под влиянием поля испускается еще один такой же фотон и с ним фотон со', 1с'.
Вероятность этого процесса отличается от вероятности спонтанного испускания множителем Як, плотностью числа фотонов падающего света с заданными 1с, е. Плотность потока падак1щих фотонов есть азу И = СЬ7к.— ' = А„, ' 1ЫС. о (2я)з в алас 264 гл. ч! РАСОЕ5!ние с!ВЕТА Вычисление теизоров (с,ь)!о или (5,ь)19 для конкретных атомов требует вычисления сумм вида (,у(9)) ~ И )з. И )- (59 30) причелл Е принимает значения Е! ж йко или Е! ж йео'.
Пусть, для упрощения записи, речь идет об атоме водорода. Запишем сумму (59.30) в виде интеграла (М,ь )з! = фз)т)с)лС(г, г'; Е)й~г)!!(т') г)ах!)йх', (59.31) где С(г г!. Е) ~- ~Г~Ф;(т') Е. -Е-ло' (59.32) Подействуем на функцию С оператором Й вЂ” Е, где Й гамильтониан атома. Поскольку Йг)!в = Епе)!и, получим (Й вЂ” Е)С = ~~! !)!„(г)ф„'(г'). Задача Вычислить вероятность упругого рассеяния электрона 1нерелятнвистского) на почти монохроматической стоячей световой волне !Н.
Л. Капица, Н. А. М. Дирак, 1933). Р е щ е н и е. Стоячую все!ну можно рассматривать как совокупность фотонов с импульсами )с и — )с !и одинаковылги поляризациял!и). Рассеяние же электрона. — как поглощение фотона с импульсом и и вынужденное испускание фотона с импульсом — )с, в результате чего импульс р электрона получает приращение 25)с, поворачиваясь !без изменения величины) на ) См. Нее!)ег Ь.О.!. Ма!5. РЬув.
1964. — Ъ'о1. 5. Р. 591. Прилленение этой функции Грина к вычислению амплитуды рассеяния на атоме водорода — см. Грановский Я, И.ОЖЭТФ. — 1969. — Т. 56. — С. 605. Но стоящая здесь сумма есть, в силу полноты системы функций ф„, б-функция б(г — г'). Таким образом, функция С удовлетворяет уравнению (Й вЂ” Е) С(г, г'; Е) = б(г — г'), (59.33) т. е. является функцией Грина уравнения Шредингера (правило обхода в (59.32) определяет, какое из решений этого уравнения следует выбрать). Тем самым задача о вычислении суммы (59.30) сводится к нахождению функции Грина атома.
Точное решение уравнения (59.33) возможно, однако, лишь если известны точные решения однородного уравнения Шредингера, т. е. фактически —. лишь для атома водорода ') . РАссеяние' сВОБОднО ОРикнтиРуюшимис5! системами 265 угол 8: ~р~ з1п(0,52) = ьь>/с. Вероятность этого процесса можно получить из сечения томсоновского рассеяния (89.18) Исг = т,. ~е'е~ г)о = г,,4о путем умножения на плотность потОка фотонов с импульсОм К и чиСло фо- тонов с импульсом — 15.
Плотность потока фотонов с частотами в интервале 5зь> равна СП 51ь>Д21ку), где с> пь> --плотность энергии в стоячей волне в спектральном интервале 51ы (множитель 5/г учитывает, что энергия волны разделена поровну меж- ду фотонами противоположных направлений). Импульсы 15 всех фотонов, образующих стоячую волну, параллельны определенному направлению и (»направление» стоячей волны). Другими словами, плотность энергии как функция частоты и направления фотонов и: С5„„= Ез„,е (и — и).
Соот(з5 ветственно этому число фотонов с импульсом — к равно (ср, (44.8)): з з дт „4~~ 855 с с' 15»>з 2 В результате получаем для вероятности рассеяния электрона (в 1 с) 255 е з з гн>й>З Множитель ы ~ вынесен за знак интеграла, поскольку степень пемонохро- матичности Ьь> предполагается малой. Значение интеграла обратно пропор- ционально 5З»> 1при заданной полной интенсивности). 8 60. Рассеяние свободно ориентирующимися системами Если уровень энергии атома не вырожден, то поляризуемость и интенсивность когерентного рассеяния определяются одним и тем же тензором озА = (сзь)11. Если же уровень вырожден, то наблюдаемые значения указанных величин получаются усреднением по всем состояниям, относящимся к данному уровню.
Поляризуемость должна быть определена как среднее значение сзьь = (сз»ь)11. Наблюдаемая >ке интенсивность рассеяния определяется средними значениями произведений (сзь)ы(с1 )ы. Поэтому связь между поляризуемостью и рассеянием становится менее прямой. Отметим, что хотя каждая из величин (сзе)ц может быть комплексной, их средние значения вещественны (предполагается, что поглощение отсутствует и озь эрмитов тензор). Действительно, при усреднении можно произвольным образом выбрать совокупность независимых волновых функций (отвечающих данному вырожденному у.ровгно), а при этом можно всегда добиться того, чтобы все функции были вещественными. 266 ГЛ.
гг! РАссь5!Вие с!ВЕТА где (2Ц 1 1 СгЬ! — — ~ '!Сгв)21'!С1т)21 — — !2,72+ 1ИСгв)21!С1т)21 г !60.2) 2.1! + м,м, а черта с индексом 1 означает усреднение по М!. Для несмещенного рассеяния состояния 1 и 2 относятся к одному и тому же уровню энергии (О!12 = О). Если речь идет лишь о когерентном рассеянии, то состояния 1 и 2 должны совпадать полностью, т. е.
должно быть: М1 = М2. Суммирование по М2, а с ним и множитель 212 + 1 в (60.2) при этом отпадают: !ЕОГ5 1 с.ь1 — (с,ь)11(сгт)11 (60.3) Результат усреднения можно написать без особых вычисленийг если Учесть, что УсРеДнение по М! эквивалентно УсРВДнепию по всем ориентациям системы, после чего среднее значение может выРажатьсЯ только чеРез еДиничный тепзоР д;55. ПРи этом могут оказаться отличными от нуля только средние значения произведений компонент скалярной, симметричной и аптисимметричной частей тензора рассеяния в отдельности; ясно, что с помощью единичного тензора нельзя составить выражения, которые по своим свойствам симметрии могли бы соответствовать перекрестным произведениям. Таким образом, С Ы = С2155гЬ61т + С!5!1 + С Ы (20 О (2Ц г (20 О (60.4) где Сг5 12 52 + 1Н о),, ' (60.5) СгРгт =(2'52 + 1)(С Ь)21(С1т)21 Другими словами, сечение (а с ним интенсивность) рассеяния свободно ориентирующейся системой распадается на сумму трех Для свободных (не находящихся во внешнем поле) атомов или молекул вырождение уровней связано обычно со свободно ориентирующимся в пространстве моментом.
Пусть начальное состояние при рассеянии имеет момент Уы а конечное 12. Как обычно, сечение рассеяния должно быть усреднено по всем значениям проекции М1 и просуммировано по значениям М2. После первого усреднения сечение перестает зависеть от М2, так что дальнейшее суеимирование сводится к умножению на (2,72 + 1).
Таким образом, усредненное сечение рассеяния (60. ) независимых частей, о которых мы будем говорить как о скалярном, симметричном и антисимметричном рассеянии. Каждый из трех членов в (60.4) выражается всего через одну независимую величину. Скалярное рассеяние . через величину С21, а для симметричного и антисимметричного рассеяния имеем о 1 2 10 С251(05101т + 5515В51Ы агь01т)~ з 1 (252 + 1)(с1ь)21(с ь)21 8 С21(55п55ЕВЪ 5555П51ы)~ (2,72 + 1)(с~ )21(с~ )21 1211 5 5ыт С21 121) а 1мт (60.6) С21 (комбинация единичных тензоров составляется по свойствам симметрии., после чего общий коэффициент находится свертыванием по парам индексов 12 н ет). Подстановка формул (60.4) -(60.6) в (60.1) приводит к следующему выражению для сечения рассеяния: 54а = 0505'з) С2~1~е'*е~~ + — С2, 1+ ~е'е~~ — — ~еме~~) + 10 з + -С21(1 — ~е'е~ ))ао'.
(60.7) Эта формула определяет в явном виде угловые зависимости и поляризационные свойства рассеяния. Полное сечение рассеяния по всем направлениям, просуммированное по поляризациям конечного фотона и усредненное по поляризациям и направлениям падения начального фотона, легко получить прямо из (60.1). Для этого замечаем, что е,*еь = д,ь,53, если усреднение производится как по поляризациям, так и по на- правлениям распространения фотона (суммирование же по ним соответственно даст результат в 2 4Я раз больший). В результате получим — 855 58 (21) 8Я 53 0 5 а о = — аха с1,ь —— — ыы (ЗС2, +С2, +С2,).
(60.8) Выше уже было указано, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов произвольного тензора второго ранга. В связи с разложением интенсивности рассеяния на три независимые части целесообразно сформулировать эти правила для каждой из частей в отдельности. 1 60 РАссеяние сВОВОднО ОРиентиРующимис55 системАми 267 268 РАссь5!вне светА о су,е = (снь)5! = (со)5! б,лю Симметричная и антисимметричная части тензора рассеяния при усреднении выпадают: д;ь есть единственный изотропный тензор второго ранга.
Выше было отмечено, что диагональные матричные элементы скаляра не зависят от числа М!. Поэтому знак усреднения пад (с )5! можно вообще опустить (и вычислять (с )5! при лю.о о' бом значении М!), так что поляризуемость а,е = (С ) ! ! бее. о (60.9) ') Речь идет, конечно, о тех правилах отбора, которые связаны с симметрией, а не с конкретным видом акеиальпого вектора в случае излучения: вектор магнитного мОмента содержит спиновую часть, между тем как при ассеянии рассматриваются матричные элементы от величин орбитальной координатной) природы. Правила отбора для симметричного рассеяния совпадают с правилами отбора для электрически-квадрупольного излучения, поскольку последнее тоже определяется неприводимым симметричным тензором (тензором квадрупольпых моме55тов).
Для антисимметричного рассеяния правила отбора совпадают с таковыми для магнитно-дипольного излучения, поскольку оба определяются аксиальным вектором (напомним, что антисимметричный тензор эквивалентен (дуален) аксиальному вектору) ') . При этом, однако, имеется отличие в том, что диагональные матричные элементы, которые в излучательном случае дают средние значения электрических или магнитных моментов (и не соответствуют излучательным переходам), в случае рассеяния существенны — опи относятся к когерентному рассеянию. Для скалярного рассеяния правила отбора совпадают с таковыми для матричных элементов скалярной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
