В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Выберем, как и в (45.2), трехмерно поперечную калибровку фотона. Тогда Т вЂ” 1 Ъу, = — ВА31, = — ем4к — М1„ где обозначено М1, = 4'(ске)Р""ун16 к (56 2) (у5— : ф; и 6Г— : 61 начальная и конечная волновые функции электрона). Заменив в (56.1) гор — Р рзд~р~до = к~р~йИо и проинтегрировав 5-функцию по дк, перепишем эту формулу в виде — ~ М11 ~ (56.3) Мы произведем вычисления в двух случаях, различающихся значением энергии фотона: для и» 1 и для ш « т.
Поскольку 1 те Я (( т, эти две области частично перекрываются (при 1 « 5В « т), так что исследование этих случаев дает по существу полное описание фотоэффекта. Начнем со случая (56 4) 5В « т. При этом скорость электрона мала как в начальном, так и в конечном состояний, так что по отношению к электрону задача- - целиком нерелятивистская.
Соответственно этому заменим в (56.2) а нерелятивистским оператором скорости к = — Л7/та 242 гл у ИЗ>7У >ЕНИЕ (56.7) ') Ниже в агом параграфе р обозиачает ~р~. (ср. 2 45). Кроме того, можно перейти к дипольному приближению положить е'~г — 1, т. е. пренебречь импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Тогда Йсг = е ~Р~~7еуу:,', Йо ч11 = — — 1 7)7'* у7)7 Й'т. (56.5) 2по7 7п,7 Будем рассматривать фотоэффект с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона). Тогда (йе'т)в>е Яе>тг (56.6) У>П (в обычных единицах гпе — > 177ао, где аа = 77277те2 боровский радиус).
В качестве же 7р~ надо взять волновую функцию, асимптотическая форма которой годер>кит плоскую волну (е'рг) и наряду с ней сходящуюся сферическую (см. П1, 3 136, где такая функция обозначалась через 7рр ). В силу правила отбора по 1 переход из е-состояния возможен лишь в р-состояние (дипольный случай). Поэтому в разложении ') 7)7р — — — ~ 7~(21 + 1)е м7Лр1(г)Р1(пп1) 2р 1=О п = р17р, п1 = г77г) достаточно оставить лишь член с 1 = 1. пустив несущественные фазовые множители, получим ф' = — (пп> )Лр1(г). (56 8) 2р С функциями 7р и 717' из (56.6), (56,8) имеем — 7Е 7П7 еу1, = 1 ) // (пп>)(п>е)е Яе '""Л 1ЯЙо гдйг = 2угптр / / / г е р1(г) г.
У2П1ве т)' Г 2 — Яе>>ППР7 р>7П о Согласно формулам (36.18) и (36.24) (см. П1) радиальная функция (в принятых здесь единицах) Л = У>~~~в т 1э р ге ергрч2+ги 4 31 г) 3 п(1 — е 7 ') где обозначено: Хе т йе Яб й) Р 7777 243 ФотоэФФккт. Икиклятивистский ссгучая 1 56 Нужный нам интеграл вычисняотся с помощью формулы е 'кт г (сг, 7. Ьск)61к = Г(7)Л т(Л вЂ” Ь) о (см. П1, (1.
3)). Заметив также, что и + 7 ) — 2Р агсгак и ( =е и — 7 ПОЛУЧИМ 2779 а е — 2иагссгв и 2 7ги (пе) ,а ( ° "Гм 97 -.- * Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона) 1 = Хзе4тп72. Поэтому 9 2 Р +аг Й (1+ 2) (56.10) 2т 2гк Учитывая это соотношение, пишем окончательное выражение для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент телесного угла 74о; — 4и агсссв и аг 27 2(4 ) ( )21 (56.11) (пе) -+ — [пвп), 2 где пе = 1677Ь (см. (45.4б)). Интегрирование же формулы (56.11) по углам дает полное сечение фотоэффекта: 9 7 7 4 е — 4РагссгаР Сг= — Оа ( — ) (56.12) 1 — с 2Р (М. СтсЬЬК, 1930).
Предельное значение о при ггсс — 7 4 (т. е. и — ~ сс): 9 9, 9 9 9 9 2К 2 2Я "аа 0,23"9 Зс' Зса га ' га (56.13) где а = 74277(тИ 62) = а6774 (здесь и ниже обычные единицы). Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определяется множителем (пе) . Он максимален в направлениях, параллельных направлени7о поляризации падающих фотонов, и обращается в нуль в перпендикулярных вектору е направлениях, в том числе в направлении падения.
Для неполяризованпых фотонов формула (56.11) должна быть усреднена по направленияаи е, что сводится к замене гл у излу !ение (в знаменателе е = 2,71...!). Как и должно быть для реакции с образованием заряженных частиц (см. П1, 8 147), сечешле фотоэффекта вблизи его порола стремится к постоянному пределу. Случай же око» 1 (причем по-прежнему бгс « пчс2) отвечает борновскому приближению (и = Ле2/(йе) « 1). Формула (56.12) принимает вид (56.14) 21лз о рок — пф рз (р = гптг импульс падающего электрона, 1с емого фотона). (56.15) импульс испуска- Задачи 1. Получить формулу (56.14) путем прямого использования борновского приближения в нерелятивистском случае.
Р е ш с н и в. В борновском приближонии в качество ЛУ в формуле (56.5) надо писать просто плоскую волну лс = с и, а Л5 - по-прежнему функция (56.6). Тогда 1 /, з р (Хс'т)'~' я,л, т~з = ч,л = — ~ фри'г1' в = — (с ' ')р. т,/ т угя Фурье-компонента дается формулой (57.66), так что уг, — 8угяр зт~Лз(2е~)ывп. Подставив в (56.5) и проинтегрировав по до, получим (56.14) (при этом, с достаточной точностью, р 7(2т) и). 2.
Определить полное сечение радиационной рекомбинации быстрого перелаз ивистского электрона (1 « пир « тсз) с ядром (заряд Я « 137). (1е = елт/(262) энергия ионизации атома водорода). Процессозл, обратнывл фотоэффекту, является радиационная рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого процесса (ор„,) можно найти лю сечению фотоэффекта (оф) с помощью принципа детального равновесия (Ш, 8 144).
Согласно этому принципу сечения процессов г — э 7 и 1 -+ 1 (с двумя частицами в каждом из состояний л и 1) связаны соотношением 2 2 ЙРл о~-~7 = Куруггр-лб где Р,, Рг-- импУльсы относительного движениЯ частиц, а Ям 67 .-спиновые статистические веса состояний г и 1. Учитывая также, что для фотона я = 2 (два направления поляризации), а статистический вес свободного электрона и иона равен статистическому весу основного состояния атома водорода, получаем для этого состояния 245 1 57 ФОТОЗФФвкт Релятивис'Гский случАЙ Р е ш е н и е. Сечение захвата на Л-оболочку (главное квантовое число и = 1) получается подстановкой (56.14) в (56.15): (е = тплл~/2 — энергия падающего электрона; йш с). Из других состояний образующегося атома существенны лишь з-сол:тояния: при вычислении матричного элемента в борновском приближении существенны зна гения волновой функции связанного состояния при малых г (как это будет видно из вычислений в 3 57), а при 1 > 0 зги значения малы по сравнению со значениями функций с 1 = 0; при атом достаточно учитывать два первых члена разложения лр по степеням г.
Для состояний с 1 = 0 и произвольным и эти члены т. е. содержат и лишь в виде общего множителя лл зг (написанное выражение получается разложением функцилл (36.13) (см. ШП). Поэтому полное сечение рекомбинации РР'" = ~ ~пг'" = игл" Д ~— = Г(3)ог' пз =1 (значение Г-фупкции: Г(3) = 1,202). 3 57. Фотоэффект. Релятивистский случай Обратимся к случаю (57.1) пл )) 1. При этом также е = оз — 7» 7, и потому влияние кулонова поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона (ул') может быть учтено с помощью теории возмущений. Пишем л(л' в виде ул = (и е р + л(л( )).
(57.2) ул2е лРотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозмущенная функция в (57.2) написана в виде релятивистской плоской волны (23.Ц. Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, в его волновой функций ул тем не менее должна быть (по выясняющимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка ( Яе~). Такая функция дается формулой (см. задачу к 3 39) У5 = (1 — — 'У~'У'У") У)пр. (57.3) где у)„р нерелятивистская функция связанного состояния (56.6), а и-- биспипорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием йи = 2тп.
246 гл и излу !ение Подставим функции (57.2), (57.3) в матричный элемент (56.2) '): Лн /(е ~т' (( ( ф~)( ) гйг ~ )йэ Имея в виду получить первый член разложения этой величины по Яе~, мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить гр„р просто постоянной (Яе~т)ь~~7'л(л. Первый же член в результате такой замены обратился бы (при р — 1с ф 0) в нуль (именно поэтому в ф необходимо учитывать также и первую релятивистскую поправку, пропорциональную Ее; при и 1 эта поправка дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член разложения Чзир по Яс ). В первом члене в (57.4) производим интегрирование по частям, переводя действие оператора ~7 с ф„р на экспопенциальный множитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
