В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В результате получим Му, =, )й (7е) (1+ — у~7(р — 1с)) и (е яе '"") + + ч5 1,(уе)и), (57.5) где векторный индекс означает пространственную компоненту Фурье. С точностью до члена Уе ') — Иеегп 8ЯУеет (57.6) (и- 1с)' получим (57.6а) Дифференцирование этого выражения по параметру Л дает 8хЛ (ч гЛ) (57.6б) ') Функция (57.3) была получена для расстояний г 17(гное~), на которых пОправочный члЕн в нЕй отвоеительного порядка величины Лез. Но для основного состояния (а также и для всех вообще а-состояний) формула (57.3) пригодна для любых г, поскольку производная от чисто экспоиенциальной функции (56.6) (а с нею и поправочный член в (57.3)) всегда пропорциональна Яе~.
Это обстоятельство позволяет воспользоваться формулой (57.3) в рассматриваемой задаче, в которой существенны малые г. (При е 1 существенны г 1/пь) ) Взяв компоненту Фурьо от обеих сторон равенства (Ь вЂ” Л') — = — 4~5(~), 247 1 57 ФстсэФФект. РелятиВистский случАЙ Для вычисления же компоненты Фурье 4»2~ пишем уравне- (1) ние, которому удовлетворяет функция 2»2( ): гт 2 (у е+ гуу — т)2»г( ) = е(уиА„)и'е"'" = — ' » ие'и' (оно получается подстановкой (57.2) в (32.1)).
Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор (уое + гу47+ т), получим (Ь+ р )4»2( ) = — е е ( у е+ 2 уА2+ га)(у и') — е'"'. г умножим это уравнение на е ™ и проинтегрируем по е»зт, причем в членах с Ь и у производим обычным образом интегрирование по частям: (р — 1с )ф, = — Хе (у е — у1с+ т)(» и') (-1 се/ И вЂ” и = — ее (2еу — у(1с — р))(у и') (1 — р)' В последней строке учтено, что амплитуда и' удовлетворяет уравнению (е'у — р'у — т)и' = О, или (еу~+ р'у — гп) уои' = О Отсюда находим , »1), »1)4 о 4 ~ 24 2е'у -~- у(14 — р) о (57.7) 2»8 1,— — 2»гк у = ге еи у.
Жг — ргН1 — р)2 Подставив (57.6), (57.7) в матричный элемент (57.5), представим его в виде 4~ В(2е~иг)»г уг= и и (ет)»2(1с — 12) де А = (уе)+ (М7'(ууг)+ (усЬ'(-» ), а= 1 е 1 Р 1с— (14 12)2 т )ег 122 ' 2т(14 р)2 ' Сечение 12 — р 2т(142 — рг) Е» 8ег(Хе'тУ'~Р~ (игАи)(24 ~и')Е»О ег(14 р)епг где А = уоАЧ уо (см. 8 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона.
Эти действия производятся по описанным ниже, в 8 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности на сального и конечного состояний: р = — ( у + 1), р' = -( у е — ~р + та) 2 2 1 58 Фотоглсщкплениь лей'ГРонл полного сечения 1г) Бии/ет, 1931): 2 я5 4„2Ь'-1) в х е ~ 1)е х — + г~з ) (1 — 1п ~ г/~ )1, 157.10) х(- ( — )), о. /г 1 З /г 1/!' где для краткости введен елоренцев множительа 157.11) т/1 — ог гп т В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к простому выражению о.
= 2ттХ5ойт~~!"/ 157.12) В случае же 1 « ог « тп переход в 157.10) к пределу малых / — 1 приводит к известному уже нам результату 156.14). й 58. Фоторасьцепление дейтрона Характерной особенностью дейтропа является малость его энергии связи (по сравнению с глубиной потенциальной ямы). Это обстоятельство позволяет описывать происходящие с участием дейтропа реакции без детального знания хода ядерных сил, с помощью одной лишь энергии связи 1см.
П?, 3 133). При этом предполагается, что длины волн сталкивающихся частиц велики по сравнению с радиусом действия ядерных сил а. Это относится и к расщеплению дейтрона у-квантами, для которых ка « 1. Предполагается также, что и ра « 1, где р импульс относительного движения освободившихся нейтрона и протона 1это условие более сильное, чеал предыдущее ') ). Исходим из нерелятивистской формулы для сечения фотоэффекта 156.5), тгроинтегрировав ее по направлениям: ар М4яо ) ~2 2лъг 2 3 Здесь р импульс относительного движения протона н нейтрона '), а тп в (56.5) заменено их приведенной массой М,12 (где М класса нуклона).
Матричный элемент берется от скорости протона чр, поскольку лишь протон взаимодействует с фотоном. Выразив ттр через импульс р15т, = и/2 = р/М), получим 158.1) ЗЛг аг ') Энергия фотона, при которой ра 1 1а = 1,5 10 'г см), составляет 15 51аВ. ) В атом параграфе р обозначает ~р~. 250 излсу сенин гл м Индекс (э) указывает, что эта формула соответствует электрически-дипольным переходам: ер/М = елс„= Й, так что ер1,/М = = лннлр. Нормированная воляовая функция начального (основного) состояния дейтрона: »с = л/М1, (58.2) где 1 = 2,23 МэВ -- энергия связи (см. 1П, 8 133) ') . В качестве же волновой функции конечного состояния можно взять функцию свободного движения, т. е.
плоскую волну ср = е'1'". (58.3) Причина заключается в том, что в рассматриваемой теории «размер дейтрона» 1/лс считается больнгнм сто сравнению г эффективным радиусом взаимодействия а. Поэтому взаимодействие между протоном и нейтроном надо учитывать лишь в Я-состояниях, пренебрегая им в состояниях с л ф 0, волновые функции которых малы на малых расстояниях. Между тем, согласно правилам отбора, электрические дипольные переходы между двумя Я-состояниями (основным состоянием и Я-состояние»с непрерывного спектра) запрещены.
Это и дает возможность в данном случае пренебречь взаимодействием нуклонов в конечном состоянии. Путем интегрирования гго частям находим для матричного элемента (см. примеч. на с. 246). Заметив также равенство М вЂ” (м2+р2) =1+ —" = М ') Эта функция может быть уточнена введениелс поправки, связанной с конечностью а. Это достигается заменой нормировочного коэффициента в (38.
2) коэффициентом лс 2я(1 — алс) (см. П1, (133.13И. Соответственно появится множитель 1/(1 — ам) и в формулах для сечения. срактически эта поправка не так мала: для основного состояния дейтрона ам О, и Основное состояние дейтрона является состоянием ля~ с малой лприлсесью» состояния 1эы связанной с действием тензорных ядерных сил (см. 111, 3 117). Этой примесью, а тем самым и тензорнылси силами мы будем пренебрегать. 251 1 58 ФотоРлсщенленне дейтРОнх выражающее сохранение энергии, получим окончательно сечение фоторасщепления в виде (в обычных единицах) (,) 8к ае,г7(ге, 1)'н (58А) м (д )з (Н.
А. ВЕ16е, Л. РеьегЬ, 1935). Оно имеет максимум при 6ГЕ = 21 и обращается в нуль при 6Гн — е 1 и при 6ГН -+ оо. Описываемое формулой (58А) электрически-дипольное поглощение фотона не дает, однако, главного вклада в сечение вблизи порога фотоэффекта (652 близкие к 1). Дело в том., что в этой области главный эффект должен происходить от переходов в Я-состояние, которых в электрически-дипольном поглощении нет. Их нет также и в электрически-квадрупольном поглощении: хотя они пе противоречат в этом случае правилу отбора по четности, но запрещены правилом отбора по орбитальному моменту (напомним, что мы пренебреГаем тензорными силами, без которых 1 и Я сохраняются по отдельности).
Для вычисления сечения фоторасщепления вблизи порога надо поэтому рассмотреть магнитно-дипольное поглощение, для которого правила отбора допускают переходы между Я-состоянияеГи (Е. РЕГтт', 1935). Заменяя в формуле (58.1) электрический момент магнитным, имеем (и) 1 М ~ ~2 (58.5) Магнитный момент орбитального движения не дает вклада в 1Г1„ так как орбитальный момент 1 не имеет матричных элементов для переходов между Я-состояниями. Спиновый магнитный момент /4: 2йрвр + 2йнвн 2(йр 1Гп)вр + 2РНВ~ ГДЕ Я = Вр + В„, а ГГР, ГГ„МНГПИтНЫС МОМЕНТЫ ПРОтОНа И Нсйтрона. В пренебрежении тензорными ядерными силами полный спин сохраняется, так что его оператор не дает переходов. Поэтому 121 — 2(вр)1ю(рр яв).
В том же приближении (без тензорных сил) спиновые и координатные переменные разделяются. Вместе с волновыми функциями представится в виде произведения спиповой и координатной частей также и матричный элемент , = 2( „— „)~ „Б'МР! „~ „ЯМ' Фь( )ФО 13, Но наличие спин-спиновых ядерных сил приводит к тому, что волновое уравнение для координатных функций у51г) содержит 252 изб!у !ение гл м в качестве параметра значение спина Я. Если Я' = Я, то ф(г) и ь(~(г) собственные функции одного и того же оператора и поэтому ортогональны.
Таким образом, из начального состояния зЯ фоторасщепление будет происходить лишь в состояние непрерывного спектра Я. Квадрат ~7з~,;~~ в (58.5) должен быть, конечно, усреднен по проекциям М спина Я в начальном состоянии. Таким образом, задача сводится к вычислению величины 1 ~ ~( УМ!~ ~в оМ)~2 ЛХ причем вр — — а„= ~~2., Я = 1, У = О. По общим формулам для матричных элементов при сложении моментов эта величина равна (25 + Ц(25' -ь 1) !Маг~~ )~'=-,!Мв ~~ М' (использованы формулы П1, (107.11), (109.3)). Приведенный ма- тричный элемент = ь/3/2. (Зг((вг!)ал) = Формула (58.5) принимает в результате вид 2 -М = т ыМР(п — рв)2 $'"'Ф дзх .
(58.6) 3 Начальная функция ф дается формулой (58.2). Конечная же функция ч" Лго(г). Это -- первый (1 = 0) член разложения (56.7) функции, содержащей асимптотически плоскую и сходящуюся сферическую волны; опущен несущественный фазовый множитель. Поскольку интегрирование производится по области вне радиуса действия ядерных сил, радиальная функция Л (.) =2""'"г""' Фаза д связана с энергией виртуального уровня (1~ = 0,067 МэВ) системы «протон+нсйтрон» при Я = 0: $85 = Ж, ~ = ~/М1~ Р 253 1 58 ФОТОРАОЩЕП11ЕНИЕ ДЕЙТРОНА (см.
П1, 3 133). Теперь Г 51 РХ1З 12 ) ~/1 ~l~ 1 / — нс-~-1рс М 1 12 ) 6 ~~~ 1 РЕ Р71 1с — 1Р После простых алгебраических преобразований получим следующее выражение для сечения фотораспгеплсния (в обычных единицах): При 61с — ~ 1 это сечение обращается в нуль как „Лм — 7 в соответствии с общими свойствами поведения сечений вблизи порога реакции (см. П1, 3 147). Процессом, обратным фоторасщеплению, является радиационный захват протона нейтроном. Сечение захвата (о,) получается из сечения фотоэффекта (о4,) с помощью принципа детального равновесия (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
