В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Рассмотрим рассеяние света совокушюстью Х одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупностью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с помощью которых вычиш5яются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми.
Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо. Тензор рассеяния (с5ь)з! каждого атома содержит множитель ег~"и ""), где !р5, !рз -фазы волновых функций на5ального и конечного состояний. Для смещенного рассеяния состояния 1 и 2 различны, и этот множите.ль отличен от единицы. В квадрате елодуля )е,*еь ~~5 (с5ь)25! 259 1 59 тензоР РАссеяния (сумма..
по всем Х атомам) произведения членов суммы, относящихся к различным атомам, будут содержать фазовые множители, которые обратятся в нуль при независимом усреднении по фазам атомов; останутся, лишь квадраты модулей каждого из членов. Это значит, что полное сечение рассеяния гу' атомами получится умножением на Лг сечения рассеяния па одном атоме (рассеяние некогерентно). Если же начальное и конечное состояния атома совпадают, то множители е'('" "') = 1. Множителем йг будет отлглчаться в этом случае амплитуда рассеяния совокупностью атомов от амплитуды рассеяния на одном атоме, сечение же рассеяния— соответственно множителем Хз (рассеяние когерентно) ') .
Если уровень энергии атома пе вырожден, то несмещенное рассеяние будет, таким образом, полностью когерентным. Если же уровень энергии вырожден, то будет иметься также некогерептное несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома между различными взаимно вырожденными состояниями. Отметим, что последнее представляет собой чисто квантовый эффект: в классической теории рассеяние без изменения частоты всегда когерентно. Тензор когерентного рассеяния дается диагональным матричным элементом (ось)11, обозначим его через сггь (опустив для упрощения обозначений индекс, который должен был бы указывать состояние атома).
Согласно (59.6) ( ) ( ) Хт ~(А)п 0)г);1 (г(е)н(ш)РН1 (59 17) ~-~ ~и 1 — ш — 10 ш 1 -'и ш — 10) Это выражение можно представить также в виде Г Г ее )' ~5 „1 С ((р)ы(ре) ~ (рг)1-(15)-11), тше ). ки ~-~ (ш,п — ш — 10 ш„1 + ш — 10) .) и (59. 18) где выделено предельное выражение (59.14). Здесь р — — суммарный импульс электронов атома, в эквивалентности этих формул легко убедиться, заметив, что матричные элементы импульса и дипольного момента связаны друг с другом соотношениями ЕРги/т = Маг С1пм и учтя соотношения, использованные при выводе (59.14). Если сумма или разность Е1 асс не совпадают пи с одним из уровней энергии атома Е„(в том числе в области непрерывного ) Заметим, что множитель У в формулах (59.15), (59.16) имеет ту же природу: сечение когерснтного рассеяния на У электронах одного атома в о~ раз больше сечения рассеяния на одном электроне.
260 Гл. (г! Рлссьяние светл Это означает, что его скалярная и симметричная части вещественны, а антисимметричпая -- мнима. Отметим, что антисимметричная (асть заведомо обращается в нуль, если атом находится в невырожденном состоянии; волновая функция такого состояния вещественна, а тем самым вещественны и диагональные матричные элементы. ТензоР о,ь свмзан с полЯРизУемостью атома во внешнелг электрическом поло.
Чтобы установить эту связь, вычислим поправку к среднему значению дипольного момента системы, еш(и система помещена во внешнее электрическое поле — (Ее * '+ Е'ег"'). (59. 20) 2 Это можно сделать, воспользовавшись известной формулой теории возмущений (см. Ш, 2 40): если на систему действует возмущение рс — иМ + и'"з-Егг( то поправка первого порядка к диагональным матричным эле- ментам некоторой величины 2 равна (о> (о( ~11) г1) ~~ ~ г(„гьг + Х г гг„1 гегг + (. (лгго — аг — гО ю„( + м + гО) (0( * (е(,„ „ Г уг.
Рг' , ~; 2"-' 1,г 1) Гьг,г -Ьыг — гО ю„г — ы+гО) (возмущение гг должно рассматриваться как бесконечно медленно включающееся от 2 = — оо, так что в первом члене аг должно пониматься как о(+ 10, а во втором как ог — 10; в соответствии с этим и написаны мнимые добавки в знаменателях). В данном случае Р = — с1Е((2 и поправка к диагональному матричному элементу дипольпого момента оказывается равной 0<1) 1( —,1 — г+ —,1* 1 1) (59.21) ы 2 где 11 - вектор с компонентами — (гг) (1г = Огь Еьг (59.22) ') Этот результат связан с пренебрежением естественной шириной линии, а тем самым и с возможностью поглощения падаюгдего света (слг. 1 62).
спектра), можно опустить члены 10 в знаменателях. Заметив, что Р(В = РВ(г НайДЕМ тОГДа, ЧТО тЕНЗОР Стг(г ЭРМИТОВ ): стг(г = гт(гг' (59.19) 261 1 59 тьнзоР РАссеяния причем выражение для тепзора гг,ь (со) отличается от выражения (59.17) для сгсв обратным знаком мнимой добавки в знаменателе второго члена.
По определению, сг, (сп) есть тензор поляри(и) зуемости атома в поле с частотой со. Для частот, при которых мнимые добавки в знаменателях могут быть опущены и тензор сг;ь эрмитов, тензоры ст,ь и сг, просто совпадают друг с другом. (и) В частности, при со = 0 формула (59.22) переходит в формулу (76.4) (см. Ш1, причем выражение для тензора статической поляризуемости (76.5) (см. П1) совпадает с сг;ь(0) из (59.17).
Отметим также, что если состояние 1.-- основное '), то все юи1 ) 0 и правило обхода в первом члене в (59.17) существенно только при оз ) О, а во втором при оз (О. В таком случае СГСЬ( ) = ~А.~М). (59.23) По смыслу формул теории рассеяния в них подразумевается, что сп ) 0; тогда тепзор сыь совпадает с тензором поляризуемости. В дальнейшем нам понадобится наряду с сечением еще и амплитуда рассеяния фотона 7". Как обычно в теории возмущений, она совпадает, с точностью до нормировочного множителя, со взятым с обратным знаком матричным элементом (59.2).
Подобрав этот множитель так,. чтобы представить сечение (59.7) в виде дсг = ~ 1~ г1о', найдем для амплитуды упругого рассеяния 1 = оз аде,; еы (59.24) Согласно оптической теореме (сьь ниже формулу (71.10)) мнимая часть амплитуды рассеяния вперед (т. е. без изменения импульса и поляризации) определяет полное сечение пг всех возможных упругих и неупругих процессов для данного начального состояния фотона: пг — — — 1гггОН сзгье,*еь) = 4нсо *' " е,*еы (59.25) 2ю Таким образом, полное сечение определяется антиэрмитовой частью тензора рассеяния.
Формула (59.25) имеет простой классический смысл. Электрическое поле Е производит в единицу времени над системой зарядов работу, равную 2;етгЕ = Ед. Представив поле в виде (59.20), а дипольный момент в виде (59.21), (59.22) и усреднив эту работу по временидюлучим ~Е~2 е о е — оы ') Только такой случай (который мы и будем иметь в виду в последуюРдих рассуждениях) допускает вполне строгое рассмотрение из-за конечности времени жизни возбужденных состояний (см.
5 62). 262 РАссь5!ние светА ГЛ. 551 (Е = еЕ). С другой стороны, если Е -поле падающего света, то средняя плотность потока энергии в нем равна ~Я~2/(8н), а поглощаемая атомом энергия равна — '!Ь.~зо!. 8н Приравняв друг другу полученные выражения, получим формулу (59.25). Если момент,1 основного состояния атома равен нулю, то в силу сферической симметрии сггь = сгб;я. Тогда о.! — — 4но5 1п! о. (59.26) Для системы с моментом такое же соотношение верно для величин, усредненных по его направлениям в пространстве (сы. '8 60). Для энергий фотона выше порога ионизации атома главный вклад в полное сечение сг! вносит процесс иопизации - поглощение фотона при фотоэффскте.
Сечение же рассеяния является величиной более высокого порядка по ев (ср.! например, (56.13) с (59.16)). Если же энергия фотона лежит ниже гюрога ионизации (но не близко к резонансу, т. е. к какой-либо из дискретных частот возбуждения атома), то сечение, сводящееся в этом случае к сечению рассеяния, а вместе с ниа! и мнимая часть амплитуды, оказывается более высокого порядка малости, чем ее вещественная часть. Пренебрегая мнимой частью, мы снова получаем (59.19). Положение дел меняется вблизи резонанса, где сечение возрастает; эта ситуация будет рассмотрена в 8 63. Наряду с рассеянием, к двухфотонным процессам, появляющимся во втором порядке теории возмущений, относится также и двойное исггускаггие одновременное непускание атомом двух квантов.
Выражение для вероятности этого процесса отличается от формулы (59.5) только заменой а5 — 5 — о5, е — + е' (непускание фотона о5 вместо поглощения) и лишним множителем ,33 ь 34, (2н)3 (2н)3 --. числом квантовых состояний испускаемого фотона в заданных интервалах частоты а5 и направлений 1с; частота же второго фотона определяется по о5 равенством а!+о!' = а!!2. Таким образом, вероятность излучения (в единицу времени) ') ,3 !3 Й~ = ~(бгь)2гегвеь~, оооо'Йа, (59.27) (2н)3с363 ) Здесь и ниже н атом параграфе — обычные единицы. 263 1 59 тензоР РАссеяния где (Ь ) 'с, ~ (г1 ) (г1А). (г19) (4.)» 1ы ~ -~- ы — 10 ы 1 + ы' — 10 Л отличается от (ось)21 (59.6) лишь знаком перед ю.
Просуммировав это выражение по поляризациям фотонов и проинтегрировав по направлениям их вылета '), получим Выразив отсюда Хк через 511 и разделив на Ы вероятность про- цесса, получим его сечение 13 сЬт =, ~(Ьсь)12е~ еь( 51о~. (59.29) Аналогичным образом, если атом находится в поле фотонов со', 1с', то при падении на него фотона ы, 1с происходит нынуждеьное комбинационное рассеяние, сечение которого пропорционально плотности числа фотонов оз'.,1с'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
