В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 48
Текст из файла (страница 48)
вывод (бб.15)). Спиновый статистический вес нейтрона и протона равен 2 2 = 4. Статистический же вес дейтрона (в состоянии с Я = 1) и фотона равен 3 2 = б. Поэтому (58.8) 2 с1р1 23Хс1(61с — 1) ГЛЛВЛ Ч1 РАССЕЯНИЕ СВЕТА й 59. Тензор рассеяния Рассеяние фотона электронной системой (будем для определенности говорить об атоме) представляет собой поглощение начального фотона )с с одновременным испусканием другого фотона 1с'. При этом атом может остаться либо на начальном, либо иа каком-то другом дигкретном уровне энергии. В первом л.лучае частота фотона не меняется (рэлеевскве, или несмещенное рассеяние), а во втором меняется на величину со — оэ = Ел — Ег, / (ог9 1) где Ьм Ег начальная и конечная энергии атома (комбинационное, или смещенное рассеяние) ') .
Если начальное состояние атома является основным, то при комбинационном рассеянии Ег > > Ем так что ло' ( ло рассеяние происходит с уменьшением частоты (так называемый сгпвксвв случай). При рассеянии же на возбужденном атоме возможен как стоксов, так и онтисплвксов (со' > ол) случай. Поскольку оператор электромагнитного возмущения не имеет матричных элементов для переходов с одновременным изменением двух фотонных чисел заполнения, эффект рассеяния появляется лишь во втором приближении теории возмущений.
Его надо рассматривать как происходящий через определенные промежуточные состояния, которые могут быть двух типов: 1. Фотон 1с поглощается, атом переходит в одно из своих возможных состояний Е„; при последующем переходе в конечное состояние испускается фотон 1с'. П. Испускается фотон 1с', атом переходит в состояние Е„;при переходе в конечное состояние поглощается фотон 1с.
Роль матричного элемента для рассматриваемого процесса играет сумма (ель П1, (43.7)) (59.2) гл — ~ ).,+ ) В этой главе величины, относящиеся к начальному и конечному состояниям рассеивающей системы, отмечены индексами 1 и 2. 255 1 59 тьнзоР РАссеяния где начальная энергия системы «атом+фотоны» Е1 = Ез + нг, а энергии промежуточных состояний 'Р матричные элементы поглощения фотона 1с, 'Р" матричные элементы испускания фотона 1«; начальное состояние из суммирования по и исключается 1что отмечено штрихом у знака суммы). Сечение рассеяния ггй да = 2Я~7~1~~~ 159.3) 12х)з ' где г4о' --элемент телесного угла для направлений 1с'. Энергия света «11', рассеянного (в 1 с) в телесный угол до', выражается через интенсивность 1 (плотность потока энергии) падающего света формулой г11« = 1 — Йа.
Будем считать, что длины волн начального и конечного фотонов велики по сравнению с размерами и рассеивающей системы. Соответственно этому рассматриваем все переходы в дипольном приближении. Если описывать состояния фотонов плоскими волнами, то этому приближению отвечает замена множителей е™ единицей. Тогда волновые функции фотонов 1в трехмерно поперечной калибровке) Ае = Агг4и Р— гые А г г АУ4л г,— г«г г В рассматриваемых условиях оператор электромагнитного взаимодействия может быть написан в виде 'Р' = — с)Е, (59.4) где Е = — А оператор напряженности поля, с1 оператор дипольпого момента атома 1аналогично классическому выражению энергии системы малых размеров в электрическом поле — см. П, 9 42).
Его матричные элементы: 'Р'„1 = — Ьъ 2лог (ег1„1), Ъ~„= гН 2иог' (е'*ггзн). Подставив эти выражения в (59.2), (59.3), получим сечение рассеяния (пишем его в обычных единицах) '); 51 = ~(1 '" )1 ' ) 1 '" )1 ' )) — 51о' (595) м„г — ог — го аг„г + ы — гО йгсг п I нг — ог = нг12. бог„г = ń— Ем ') Эта формула была впервые получена Кремерсом и Гейзенбергом ЬН.
А. Кгопгег»., Иг. НегаеггЬегй, 1925) ееде до создания квантовой механики. 256 Гл. Ч! РАссь5!нне с!Вита Суммирование производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом состояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, поскольку диагональные матричные элементы с111 = дая = 0). Бесконечно мш!ые мнимые добавки в знаменателях соответствуют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (сы.
П1, 3 46): к энеРгиЯм пРомежУточных состоаний Еп, по котоРым происходит суммирование, добавляется бесконечно а!алая отрицательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда полюсы выражения (59.5) по переменной Ев попадают в область непрерывного спектра (так, если состояние 1 основное состояние атома, то для этого г!о! должно превышать порог ионизации атома) ') .
Введем обозначение (обычные единицы) ') ( ) = — з ! ~ *)'"'~ О"' ~ ')'*'! *)гм 1 (59.6) 6 ~ — ~ ~ы„! — ы — гО и !+ы' — г01 (!з к = т, у, з трехмерные векторные индексы). С его помощью формула (59.5) перепишется в виде (59.7) Обозначение (59.6) оправдано тем, что эту сумму действительно можно представить как матрн пгый элемент некоторого тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную величину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению зЬ + и!Ь = с1.
Ее матричные элементы с1„! Ьв! ы — ы ! с1з„ Ь2в— ыз-ы з так что (сгв)91 = (5ап! — с!!51)з! (59.8) Матричные элементы (сгв)з! будем называть тензором, рассея; ния света. Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов произвольного тензора второго ранга. Сразу же отметим!, что если система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут ) Длн молекулы роль порога иопизации в данном аспекте играет порог диссоциации на атомы. ') Болыпинство результатов, излагаемых в 9 39-61, принадлежит Плевену (С, Р1асхек, 1931 — 1933).
257 1 59 тьнзоР РАссеяния классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь между состояниями одинаковой четности (в том числе без изменения состояния). Это правило противоположно правилу отбора по четности при излучении (электричсски-дипольном), так что имеет место а.льтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассеянии †запреще в излучении. РаЗЛОжИМ тЕНЗОр Сгь.
На НЕПрИВОдИМЫЕ ЧаетИ: сгь = с дгй + с.ь + сгьг О и а (59.9) где с = -с;гг сгь — — -(сгь+ сьг) — с дгь, с;„= -(суь — сы) (59.10) ,О 1 ,и 1 О ,а 1 —. соответственно ока,ляр, симметри шый тепзор (с равным «гулиг следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы: (~та)21 ~, Мг)зп(С)гг)гг1+(511)2п(11г)п1] (С )21дгйг 2 (ог„г — аг)(аг„г + аг) п, (59.12) (59.13) г а г 2ш+агг ~з ~(гг )г (ггг) г — (ггг)г (гг )„г (Сга)21 2 (ш„г — аг) (ог„г + аг) гг 1 1 [(Сгк)2п(ггг)п1 (Сгг)2п(ггЬ)гг1) = (Сгвггг', гггггЬ)21 и ') Случай резонанса (когда аг близко к одной из частот ш„г или агг„) будет рассмотрен в З бз.
9 Л. Д. Ландау и Н.М, Лифшиц, том 1 г' (знаки обхода полюсов для краткости опускаем). Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предельных случаях малых и болыпих частот фотона ') . Для несмещенного рассеяния (ог12 = 0) антисимметричная часть тензора при ог — 1 0 обращается в нуль (из-за множителя оз перед суммой в (59.13)). Скалярная же и симметричная части тензора рассеяния стремятся при ог — у 0 к конечным пределам.
Соответственно сечение при малых ог пропорционально ог~. В обратном случае, когда частота ог велика по сравнению со ВСЕМИ СущЕСтВЕННЫМИ В (59.6) ЧаСтОтаМИ Огп1, гап2 (НО, КОНЕЧНО, по-прежнему длина волны» о), мы должны вернуться к формулам классической теории.
Первый член разложения тензора рассеяния по степеням 1/го равен 258 РАССЬ5!ВНЕ С!ВЕТА ГЛ. 551 и обращается в нуль в силу коммутативности В5ч, ХЬ. Следующий член разложения 1 х (с5ь) 2! . 7 (В52п (51ь)2п (515)55! (51!) ЕВВ5В! (!аде) и !) = —., (51ьь!! — 51551ь)з! 1 Используя определение с1 = 2 ег (сумма по всем электрона.м в атоме) и правила коммутации между импульсами и координатами, получаем (с5ь) 5! = — В5ь, (с5ь)2! = 05 (59.14) где Я общее число электронов в системе, т масса электрона. Таким образом.
в пределе болыпих частот в тензоре рассеяния остается лишь скалярная часгь, причем рассеяние происходит без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком когерептно —. см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае 51о = ! 22з~е5*е~~с1о5, (59.15) где г, = ее/Еп. После суммирования по поляризациям конечного фотона получим формулу а55т = Его(1 — (еп') )51о' = Т~У~В5п 0 51о'„(59.16) действительно совпадающую с классической формулой Томсона (см. П, (80.7); 0 -- угол между направлением рассеяния и вектором поляризации падающего фотона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
