В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вычисление относительных интенсивностей штарковских компонент спектральной линии аналогично изложенному выше для эффекта Зеемана ') . При этом надо иметь в виду, что в интенсивно<ть я-компонент дают вклад (при М Х- .О) переходы М -+ — + ЛХ и — М вЂ” > — М а в интенсивности о-компонент переходы М вЂ” э М 3: 1 и — М -+ — (М х 1). Поэтому, например, при поперечном наблюдении эффекта интенсивности л-компонент пропорциональны (М О вЂ” М) ' а интенсивности и-компонент пропорциональны суммам 2г,Мх1 -г1 Му 2( М-г1 х1 Му ,Х' =(М*, ) (напомним, что при изменении знака всех чисел второй строки Зу-символы могут изменить лишь знак, квадраты их не меняются). Во внешнем, даже слабом поле полный момент Л, строго говоря, перестает сохраняться; в однородном поле соблюдается точно лишь сохранение проекции момента М.
Поэтому и при радиационных переходах в слабом поле сохранение момента становится не строго обязательным, и в спектре атомов могут появиться линии, запрещенные обычными правилами отбора. Вычисление интенсивностей этих линий сводится к вычислению поправок в матрице дипольного момента, что в свою очередь требует определения поправок к волновым функциям стационарных состояний. В первом приближении теории возмущений (по слабому внешнему полю) в волновой функции появляются «при- 1 ) Эти переходы обычно имеют частоты в сантиметровом диапазоне и наблюдаются в поглощении и вынужденном испускании (электронный пара- магнитный резонанс): поглощающие атомы находятся в сильном постоянном магнитном поле (производящем зеемановское расщепление) и слабом радиочастотном поле резонансной частоты.
э) в1ы имеем здесь в виду квщгратичный эффект Штарка., свойственный всем атомам, за исключениелг водорода (см. П1, З 76). Поле предполагается настолько слабым, что вызываемое им расщепление уровней мало по сравнению даже с интервалами тонкой структуры. 223 1 52 ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ АТОЛ1 ВОДОРОДЕ меси» состояний, соединенных с исходным отличными от нуля матричными элементами возмущения ( — Ес1 в электрическом поле): добавка некоторого состояния фз к состоянию ф2 есть — Ес121 Ес — Е2 В результате в матричном элементе «запрещенного» перехода ПОЯВИТСЯ ЧЛРП вЂ” (Ес1м )с122 Ес Е2 отличный от нуля, если разрешены переходы из «промежуточного» состояния 2 в нссисальное и конечное состояния 1 и 3.
9 б2. Излучение атомов. Атом водорода Атом водорода представляет единственный случай, в котором вычисление матричных элементов перехода может быть произведено до конца в аналитическом виде ( И'. Согдоп, 1929). Четность состояния атома водорода равна ( — 1), т. е. однозначно определяется орбитальным моментом электрона (напомним, что число 1 как определяющее четность состояния сохраняет свой смышс и для точных релятивистских волновых функций, т. е.
при у сете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому правило отбора по четности строго запрещает электрически-дипольные переходы без изменения 1: возможны лишь переходы с 1 — 2 1 х 1. Изменения же главного квантового числа п не ограничены. Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-вектору электрона: с1 = ег. Поскольку волновая функция элексрона в атоме водорода представляет собой произведение угловой части и радиальной функции Явь приведенные матричные элементы радиус-вектора тоже представляются в виде прослзведения (гс'21 — 1(Нп1) = (1 — 1))сс))1) К 2 2ТК22г Йг О где (1 — 1О2251) приведенные матричные элементы единичного вектора сс в направлении г.
Последние равны (1 — 1/!22/!1) = (1/!22/!1 — 1) = 25Л (см. П1, (29.14)). Таким образом, (и',1 — Ц)1))о1)= — (н1!)~ ))и',1 — 1)=2527 Вссс 2К„ст' Й»5 (92.1) 0 224 изтту !ение гл у Нсрелятивистские радиальные функции дискретного спектра, атома водорода даются формулой (36.13) (см. П1) ') 2 (и ' 1)' 12г)! гIи х и' ' е(21+ 1)! (и — 1 — 1)! х Р( — и+1+ 1,21+ 2, — ). (522) п Интеграл (52.1) с произведением двух вырожденных гипергео- метрических функций вычисляется с помощью формул, приве- денных в т.
Ш, 9 1 ') . Вычисление приводит к результату (и,1 — 19'т''О'тт1) = и ( — Ц" ' (и+ Щи'+1 — 1)! (4пи') ы(и — тт')"~" 4(21 — 1)! 1т~ — 1 — П Цтя — 1)! (т~ + и')'"э"' ! (тт — тр) е — (" ") е~- ~~-1,— '~ск,— "" Л), эхт) где Г(о, 1з, у, г) —. гипергеометрические функции. Поскольку па- раметры а., тз в данном случае равны отрицательным целым чи- слам (или нулю), эти функции сводятся к полиномам ') .
Приведем для справок выражения, получатощиеся из (52.3) в некоторых частных случаях (значение 1 указываем спектроско- пи веским символом 8, р, д., ((1з'О'г'О'ттр) ! (52.4) 1(~Р~! ~~и~1) ~ 2 2'эи (и — 1Ни — 2)'" ~(2ХЧИ! ) !' = ') В этом параграфе пользуемся атомными единицами.
В обычных едияицах написанные ниже выражения дня матричных элементов координаты должны бьгп, умножены на Гт~/(теэ) (если жс речь идет о водородоподобном ионе с номером л, то на тт !(тиХет)). э) Во введенных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла 3т ~~~э т,— и+1+1, — и+В. Опо осуществляется с помощью формул (б 12) - (б 1б).
) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов для водорода можно найти в книге: Бете Г., Солтттиер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: ИЛ, 19бо. 225 1 52 ИЗЛУЧЕНИЕ ЛТОМОВ. ЛТОЛ1 ВОДОРОДЛ Формула (52.3) непригодна для переходов без изменения главного квантового числа п (переходы между компонентами тонкой структуры уровня). В этом случае (и = и') для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра; В интеграле о о заменяем один из полнномов его выражением через производяп1ую функцию (см.
111, 8 11): и — 1 — 1 ~21-511 ) (и + В1 р — 21 — 1 — р и;1-1 ВЧ1 После (и — 1 — 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида и и у 1 и — 1 — 1 . 'ри+'~ — ) Ф" 1' (р)ор иэ— о в котором заменяем полипом Лагерра его явным выражением согласно формуле После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление приводит к простому результату: (т1,1 — 1~~т~~п1) = 1Л вЂ” и,/~~ — 12. (52.6) Интеграл О О (где ти1 = тВВ1) представляет собой коэффициент разложения функции тзти1 по системе ортогональных функций оти51 1(п' = 1, 8 Л.
Д. Ландау и Н.М, Лифшиц, тои 1 1' 226 излу !ение гл я 2, ... ). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна интегралу от квадрата разлагаемой функции ') . Поэтому (52.7) Воспользовавшись известным выражением для среднего квадрата г в состоянии п1 (см. П1, (36.16)), найдем следующее правило сумм: е ((тг,',1 — 1((г((п1)(~ = 1— " (анв+ 1 — 31(1+ 1)). (52 8) 2 и При заданных значениях и, 1 и больших значениях и' матричный элемент перехода п1 — г и'15 убывает по закону (52.9) в чем можно убедиться как из частных выражений (52.4), так и из общей формулы (52.3) . Этот результат вполне естествен: кулоновы уровни энергии Е' = — 1/2п'~ при болыпих и' расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале г1Е' пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама сх и' з. Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфический характер (см.
П1, 3 77) расщепление п)юггорционально первой степени электрического поля. При этом поле предполагается хотя и не сильным (ущговие применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих условиях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны классифицироваться по параболическим квантовым числам пм п2, т. Последнее из них магнитное квантовое число т по- прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось г (направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется. Поэтому для него имеет место обычное правило отбора т,' — т = 0,~1. (52.10) Ограничений же для изменения чисел п~., пв не имеется. Матричные элементы дигюльного момента в параболических координатах тоже могут быть вычислены аналитически.
Полу- ) Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров. 227 1 52 ИЗЛУЧЕНИЕ АТОЛ|ОВ АТОМ ВОДОРОДА ча)ощиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем приводить их здесь '). Задачи 1. Найти штарковское расщепление уровней водорода в случае, когда расщепление мало по сршлнению с интервалами тонкой структуры (но вели- ко по сравнение с лэмбовским сдвигом).
Р е ш е н и е. В указанных условиях остается двукратное вырождение невозмущенных уровней с 1 = У Ъ 1/21 в связи с чем штарковское расщепле- ние остается линейным по полю. Значение расщепления 25 определяетг:я из секулярного уравнения — г5 — Е(В ))2 = 0, г5 = ~ЕИ22,) (индексы 1, 2 отвечают состояниям с 1 = У ш )/ и задшшым магнитным квантовым числом т; возмущение 1» = — Е)1, диа) онш)ьно по т и не имеет элементов, диагоншгьных по 1). 51атричный элемент орбитальной величи- ны 21, вычисляется с пол)ощью формул (29.7) и (109.3) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
