В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Другилли словаели, суммирование осуществляется просто заменой <Л)р)з) (Л~) — > блл' <М7~р~у) (М~~) 4 бм лр <48 7) 206 ИЗ3!У !ВНИЕ гл м Таким образом, угловое распределение — ( ) — (зз ~")(2~*+1) '~>''~'( 1)""т1(2Т,+1)Ф~(п) х 8к ь М Эту формулу можно существенно упростить, произведя сум- мирования по ги-индексам. Прежде всего замечаем, что (Л вЂ” 'Л О) =( ') ( — 'Л Л О) (46.6) и потому сумма Т' (~ .( г) — ~ ~о -1 ю~ /~ ~' т'1 Л вЂ” Л О Л.=т1 О при нечетных Й. Таким образом, в сумме по А остаются лишь члены с четными Б, т. е.
в пее входят шаровые функции (О „) лишь четных поряд(ц ков. Этот результат можно было предвидеть: в силу сохранения четности вероятность должна быть инвариантна по отношению к инверсии, т. е. к замене и — ~ — и. Таким образом, — ( ) %+1Н2А,+1) ~ (2Т 1) /~,~ Т') фй( ) Е( — )"""(„'„', „) ( й, '„„, 'и') Отметим, что здесь легко проверить нормировку: в силу фор- мулы Ц>„ (и) — = бьодро (ь) 4о после интегрирования по направлениям остается лишь член с т = р, = О; с помощью форму,л убедимся, что интеграл равен 1.
1 48 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 207 Дальнейшее суммирование по Гпт М7 во внутренней сумме в ю(п) производится с помощью формулы (108.4) (см. П1). В результате получим для углового распределения фотонов следующую окончательную формулу: -( ) =( — ц" ' ' ("+') '~'+'х1 (-')'ЛХ+1х 4к алчет Ь х (1~ ~1 0) ~ ' ' 7 ~ ~ Р '„*РО„'(и), (48.9) где обозначено Р() =гь (2Т +1)(2.7, +1) х(М,~р(О~М,'), Р(0* ( 1)ь-иР(0 (48.10) Внутренняя сумма в (48.9) берется по всем )74! < Ь,. а внепшяя по всем четным значениям 1О удовлетворяющим уст!Овины 7 < 27, Т < 274 (48.11) (эти условия следствие правила треугольника, которому должны удовлетворять 7-индексы в Зухсглмволах, фигурирующих в (48.9)! (48.10)).
В силу этих условий число членов в сумме обычно невелико. Так, при 71 = 0 или Щ остается лишь член с Т = О, т, е. излучение изотропно (легко убедиться в том, что член с Ь = 0 равен 174, как и должно было быть по условию нормировки). При ,7; = 1, 878 или при 7' = 1 в сумме по Ь остается два члена: Т = О, 2. Отметим также, что если матрица плотности р(') диагональна (М, = М!), то р = О, и функция распределения (48.9) принимает вид разложения по полиномам Лежандра (согласно (16.5) и (58.23) (см. П1) функции 7) сводятся к функциям Р1,(сов 0)). Наконец, если (М,~р(') ~М,') = 171(274 + 1)бм,м,' т. е, начальное ядро не поляризовано! то все Р „= О1 кроме (!) Роо =1 (1) ') Действительно, заметив,что ( 1= — 1 ' 6 7 0 71 з — и 1 -ЛХ О йХ,~ =(-') У12з -> 1 имеем ~ мм,(-1)'-"( '„! „',',1)УА!А! = й 5,7 О = А!27+ 1 х' мм, ( !7' Д .у7' ( —.47' 0 .47) У12у+ 1осео'е' после чего из определения (48.10) найдем указанный результат.
208 гл ъ излу !ение Величины Рьл - удобные характеристики поляризационного состояния ядра: назовем их поллризационными моментами. Формула (48.10) определяет эти величины через матрицу плотности рмм . Прямой проверкой легко убедиться в справедливости обратной формулы, выражающей эту матрицу через поляризациопные моменты: Рмм = ~ ~/ 1 ( — 1)' ( М~ Мз) 'Рв„. (48.12) 2Л-»1. ь 1 ал1,7 5 .7 1 'у' 21-»1 ~, Р Пусть )вл некоторый сферический тензор, зависящий от поляризационного состояния ядра. Согласно общим правилам (см. П1, (14.8)) его среднее значение в состоянии с матрицей плотности Рмм Равно 1ь», Х~~ Рмм' (1М й а~.1М). (48.13) мм' Выразив матричные элементы величин (ь„через приведенный элемент Я~с((,7) согласно (,1М (~в„~ЯМ) =1'( — 1)' ~! М (,7!)(ь)),У) и введя поляризационные моменты согласно определению (48.10), получим (.0~1г~~~) ~, (48.14) '»г+ «»у+ « Поляризация фотона. При заданных (наряду с Р(')) матрицах р1т1 и Р(т) формула (48.5) определяет вероятность перехода, при котором испускаемый фотон и ядро оказывак>тся в определенных поляризационных состояниях.
Эти состояния являются по существу характеристикой не процесса излучения как такового, а тех детекторов, которые регистрируют фотон и ядро отдачи, выделяя их определенные поляризации. Более естественна другая постановка вопроса, в которой конечное состояние системы «ядро+фотон» заранее не фиксируется, и требуется определить поляризационную матрицу плотности этого состояния при заданном лишь направлении испускания фотона.
Ответ на этот вопрос дается той же формулой (48.5). Если представить ее в виде ш = ш(п)~Л (М1;пЛ/Р/М~,.пЛ')(Л'!Р~т~!Л)(М~/Р(П/Му), (48.15) (т) то выражение (МПпЛ!р!М~,пЛ') и будет искомой матрицей плотности, так как согласно общим правилам квантовой механики вероятность ю перехода в наперед заданное состояние дается УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕННЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 209 1 48 (Мс:, пЛ(р(Му; пЛ) = 1.
лАВ Если мы интересуемся поляризацией только фотона, то надо просуммировать по Мс = М~.. (пЛ/р/пЛ~) = ~~с (Му; пЛ!р!М1; пЛс). Вполне аналогично выводу формулы (48.9) получим (пЛ~р~пЛ') = ( 1)ГР Г 4 44 (21+ 4)У 2~' + 4 х 8ЕЮ(П) х 1 ( — 4) 'Ах+1(Л ~ ~ ) (~' ~' 1~) ~'гг~ ваР. (и) (48.16) (Л = Л вЂ” Л'), причем суммирование производится по всем целым значениям б, удовлетворяющим условиям (48.11).
В частности, круговая поляризация определяется параметром Стокса ~2 = (п1~р~п1) — (и, — 1~р~п, — 1) (см. задачу к 8 8). В силу соотношения (48.8) в этой разности выпадают все члены с четными А, и для ~з получается формула, отличающаяся от выражения (48.9) лишь тем, что суммирование производится по нечетным (вместо четных) значениям ь. Поляризация вторичных ядер. Наконец, если нас интересует только конечная поляризация ядер, надо положить р~з~ -э В. Если при этом произвести также и интегрирование по направлениям фотона, то матрица плотности вторичного ядра будет (Му~р~М~) = ю(п)(Муп~р~М~п)41о = = (2А+ 1) ~ ~( — 1)' * ' ( 'Л44 м,м,' 11 4 — М' — ьа — ГП Мс) (М,~рй1 ~М,').
ее «проекцией» па данные р~(~4р(~). множитель й~(п) выделен в (48.15) для того, чтобы эта матрица была нормирована обычным условием 210 гл м излу !ение Вычисленные по этой матрице поляризационные моменты равны Р®= ( — 1)у ~~1+ в~у 127, +1)127 +1) 1' ' ' .~уР~~. 148 17) ,и= ' 1 Ж ду Э'! ьв Если начальное ядро пе поляризовано, то и конечное ядро не будет поляризовано. Однако при этом будет иметься корреляционная поляризация, т. е.
поляризация ядра после излучения в задашюм направлении. Положив рй) — 1 д/12,7; + 1) 1и соответственно в1п) = 1/14я)) и произведя вычисление, аналогичное выводу 148.9), получим для описывающей эту поляризацию матрипы плотности (Му; п~р~ЛХ~, и) = =(21«П(-П'' 2; (2ь4 1)(1~ ~~ «) ( м~, и )" чет ь х (' у 1 7 ~ Р~~~„'~(п). 148.18) Соответствующие этой матрице поляризационные моменты Р~~ ~ = гв( — 1)1ж~'+'~1121 + 1) х ьр х 8 21 9) ( 1 у 1).09„' 1п).
148.19) Возникают моменты лишь четного порядка 1это —. тоже следствие упоминавшегося уже сохранения четности). Если вторичное ядро в свою очередь излучает, то, будучи поляризованным, оно даст неизотропное распределение фотонов. Так как поляризационныс моменты 148.19) зависят от направления и фотона, испущенного при первом распаде, возникает определенная корреляция между направлениями последовательно испущенных фотонов 1при неполяризованном первичном ядре). Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие корреляционные явления при каскадных испусканиях 1корреляция поляризаций и т.
п.) ') Задача Связать поляризапионные моменты Ры и Рэ„со средними значениями вектора мОмента Л и тензора квадрупольного момента Я,ы Р е гп е н и е. Приведенные элементы вектора Д и тензора С1м определяются из равенств —,е (УИЮ' —, Яс2Ю« 2«т1 ' '" 2«т1 ') Подробное изложение этих вопросов можно найти в статье А. 3. Дол- гинова в книге «Гамма-лучи« 1издгво АН СССР. 19бЦ, 211 1 49 излучение атомов элекггичеокий тип (ср. П1, (107.10), (107.1Ц). Оператор ©ь выражается через операторы момента формулой (75.2) (см.
П1): Отсюда находим среднее зна 1ение 34;) в в в3(У 4- Ц(22+ 3) 214(27 — Цв 2У(2У вЂ” Ц Приведенные матричные элементы: 1ЛР1Л = ЗО Ч1З+ Ч (УИР) = 1) Из (48.14) видно теперь, что поляризационвые моменты 711„совпадают со сферическими кОмпонентами вектора 3 У(У 4- Ц Л, а момонты 71ЕР— со сферическими компононтами тензора ь 10,У(2,У вЂ” Ц 12,1 3(,У+ Ц(2,7+ 3) 1У. 8 49. Излучение атомов.
Электрический тип ') Энергии внешних электронов атома (приним1ающих участие в оптических радиационных переходах) в грубой оценке имеют порядок величины Е те у'11, так что излучаемые длины волн 4 2 Л - й.УР) - й2~(отпе2). Размер1И же ~~~~~ и - бз~тпе2. Поэтому в оптических спектрах атомов, как правило, выполняется неравенство а71Л а « 1. Такой же порядок величины имеет отношение пу'с од где и скорости оптических электронов. Таким образом, в оптических спектрах атомов выполняется условие, в силу которого вероятность электрического дипольпого излучения (если оно допускается правилами отбора) значительно превосходит вероятности мультипольных переходов в) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
